AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

Следовательно, условия признака

A BBYY

c

исходный ряд сходится условно.

52

Лейбница выполнены. Таким

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

образом,

A B BYY

c

O

2. Степенные ряды

Ряд, члены которого являются функциями переменной x, т.е. ряд вида u1(x) + u2(x) + … + un(x) + …

называется функциональным рядом.

Степенной ряд – это функциональный ряд вида

c	+ c	(x - x	) + c		(x - x	)2 + ... + c (x	- x )n + ...	¥	(x - x )n ,		(18)
				2				= c
0	1	0			0	n	0	å n		0
								n=1
где c0, c1,…,cn,… -			числа, называемые коэффициентами степенного								ряда.
Говорят,	что	степенной			ряд (18) сходится		в точке x*, если			сходится числовой
ряд

O	c0 + c1 (x* - x0 )+ c2 (x* - x0 )2	+ ... + cn (x* - x0 )n	+ ...;

при этом x* называют точкой сходимости ряда (18), а совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости данного ряда.

Теорема (об области сходимости степенного ряда). Если для степенного

ряда (18) с коэффициентами c ¹ 0,"n , существует	lim |	cn+1	|=	1		, то:
n	n®¥	cn		R

1)ряд (18) сходится во всех точках x, для которых |x-x0|<R;

2)ряд (18) расходится во всех точках x, для которых |x-x0|>R;

3)в точках х, для которых |x-x0|=R, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости ряда (18).

Число R = lim | cn | называют радиусом сходимости, а интервал

n®¥ cn+1

|x-x0|<R -интервалом сходимости степенного ряда (18).

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

Y

P

or

e

Y

P

or

e

B

Y

m

B

Y

m

buy

r

B

buy

r

2

2

0

0

to

.

A

to

.

here

53

here

Click

Click

w

m

w

m

w

w. .

o

Замечание. В области сходимости по

w

w. .

o

c

отношению к степенным рядам

A BBYY

A B BYY

справедливы все правила действий с многочленами. В частности, их можно складывать, умножать на число, дифференцировать, интегрировать.

¥ xn

? Задание 1. Найти область сходимости степенного ряда å .

n=1 n

Решение. Сначала найдем радиус сходимости данного ряда:

R = lim |	cn	|= lim	n	= 1.
n®¥ cn+1		n®¥ n +1
Следовательно, по теореме обобласти сходимости степенного ряда, для
всех х, удовлетворяющих условию -1<x<1,			данный ряд сходится; для всех х,

удовлетворяющих			условию х<-1 или x>1, данный ряд расходится. Исследуем
сходимость нашего ряда при х = -1 и x=1.
1) Рассмотрим			точку х = -1 и подставим			значениех = -1 в выражение
данного ряда. Получим числовой ряд:
					n
				å(-1 ) .
				¥
				n=1 n
Этот	ряд	является		знакочередующимся		,рядкомторый	удовлетворяет

условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится, а потому сходится и данный ряд при х = -1.

2) Рассмотрим точку х = 1 и подставим значениех = 1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд:

å¥ 1 .

n=1 n

Это - гармонический ряд. Следовательно, он расходится, а потому расходится и данный ряд при х = 1.

Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток x Î[-1, 1) .

O

3. Ряды Тейлора

Рядом Тейлора для данной функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

54

cn = f (n) (x0 ) , n=0, 1, … n!

Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

¥	f	(n) (x	)		n
å		0		(x - x0 )		(19)
		n!
n=0

В частном случае, если x0=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.

Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для

Oтого, чтобы функцию f(x) можно было представить в окрестности точкиx0

рядом Тейлора:

¥ f

(n) (x

)

n

f (x )= å

0

(x - x0 )

,

(20)

n!

n=0

необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора

Rn (x )=

f (n+1)

(x )

(x - x0 )

n+1

,

x Î(x, x0 )

(n +

1)!

стремился к нулю при n ® ¥ , т.е. lim Rn (x) = 0 .

n®¥

Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться

следующими разложениями:

¥

x

n

1)

ex = å

,

"x Î(-¥,¥);

(21)

n=0

n!

¥

n

x

2n

2)

cos x = å(-1 )

, "x Î(-¥,¥);

(22)

n=0

(2n)!

¥

n

x2n+1

3)

sin x = å(

-1 )

, "x Î(-¥,¥);

(23)

n=0

(2n +1)!

4)

ln (1 + x=)

¥

n xn+1

"x Î(-1,1] ;

(24)

å(-1)

,

n=0

n +1

¥

n

x2n+1

5)

arctgx = å(-1 )

,

"x Î(-1,1);

(25)

n=0

2n +1

¥

m (m -1)

×××(m - n +1)x

n

6)

(1 + x=)m

1 + å

, "x Î(-1,1)

(26)

n!

n=1

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

?

	55
	1	sin x
	Задание 1. Вычислить интеграл ò		dx с точностью до 0,001.
	0	x

Решение. Воспользуемся разложением (23). Имеем:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

sin x

¥

n

x2n

= å(

-1 )

.

x

(2n +1)!

n=0

Следовательно,

1

1 ¥

2n

¥

-1

n

1

¥

-1

n

æ

2 n+1

ö

n

x

å (

òx2ndx

å (

òsin x dx = òå(-1 )

)=

)

ç= x

÷|0

1

0

x

0 n=0

(2n +1)!

n 0=

(2n +1)!

0

n 0=

(2n +1)!

è

2n +1

ø

¥

n

(-1 )

1

1

1

= å

=

1 -

+

-

+ ....

n=0

(2n +1)!(2n +1)

3!×3 5!×5 7!×7

Вычислим

несколько

последовательных

первых

членов

полученно

знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):

a1 =1,0000; a2 » 0,0555; a3 » 0,0016; a4 » 0,0000; ...

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося , рядаошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем:

				1		sin x
				ò			dx » 0,946		.
				0		x
			4. Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
		a0				¥
O					+ å(an cos nx + bn sin nx)
		2
						n=1
называется	тригонометрическим рядом.							Постоянные числа a0,			an и bn
(n=1,2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Рядом	Фурье для функцииf(x) на							промежутке [-p ,p ]			называется
тригонометрический ряд:

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

56

Click

w

m

w

o

w. .

A BBYY

c

a0

¥

+ å(ak cos kx + bk sin kx)

,

2

k=1

коэффициенты которого определяются формулами:

				1		p	f (x )cos kxdx,
	ak	=				ò		k = 0,1, 2,...,
				p
						-p
			1			p	f (x )sin kxdx,
	bk	=				ò		k =1, 2,3,....
			p
						-p

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(27)

(28)

В общем случае, рядом Фурье для функцииf(x) на промежутке [a,a+T]

называется тригонометрический ряд:

a

0

¥ æ

2kp

2kp

ö

+

åçak

cos

x + bk

sin

x

÷

,

(29)

2

T

T

k =1 è

ø

коэффициенты которого определяются формулами:

a

=

2

a+T

f (x )cos

2kp

xdx,

k = 0,1, 2,...,

k

T

òa

T

O

(30)

2

a+T

f (x )sin

2kp

b

=

òa

xdx,

k =1, 2,3,....

k

T

T

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на промежутке [a,a+T],

если она имеет на данном промежутке конечное число участков монотонности.

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на промежутке [a,a+T], она имеет на данном промежутке конечное число точек разрыва и все 1они-го рода.

Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции

рядом Фурье). Если функция f(x) кусочно-монотонна и кусочно-непрерывна на

промежутке [a,a+T], то	для "x Î[a, a +T ] ряд	Фурье(29),	составленный	для
функции f(x) на [a,a+T],	сходится, причем:
1) в точках непрерывности функцииf(x)		сумма S(x)	ряда Фурье	равна
значению функции в точке x : S(x) = f(x);

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

2) в точках разрыва

A BBYY

c

формуле:

57

функцииf(x) сумма

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

S(x) ряда Фурье вычисляется по

A B BYY

c

S (x )= f (x -) + f (x +) , 2

где f(x-) и f(x+) – это соответственно левосторонний и правосторонний пределы функции f(x) в точке x;

3) на концах промежутка[a,a+T] сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по формуле:

?

S (a )= S (a + T ) =

f

(a -) + f ((a + T ) +)

2

Задание 1.

Разложить

функцию f (x )=

x

в ряд Фурье

на

промежутке

2

[0, 2p ].

Решение. В

нашем случаеa = 0,

T = 2p .

Следовательно,

по

формулам

(30) имеем:

1

2p

x

æ

x

2

ö 2p

a0

=

ò

dx = ç

÷|0

= p ,

p

2

0

è

4p ø

		1	2p		x
	ak =		ò0				cos kxdx
		p			2
	1		2p x
	bk = =p		ò0			sin kxdx
				2

1 éæ x			ö	2p		1	2p	ù
=	êç		sin kx ÷|0		-		ò sin kxdxú
						k
2p ëè k			ø				0	û

1 éæ			x	ö	2p	1 2p	ù
	êç	-		cos kx ÷|0		+ = =ò cos kxdxú
			k
2p ëè				ø		k 0	û

=1			(cos kx) 2p		0,=
2p k 2				|0
1			æ -2p cos 2kp ö				-	1	.
			ç			÷
	2p			k				k
			è		ø

Подставляя значения коэффициентовa0, ak, bk, k=1,2,3,… в (29), получим

разложение данной функции f (x )=				x		в ряд Фурье на промежутке [0, 2p ]:
2
	x		p			¥	sin kx
		=			- å			.
2 2						k =1	k

Это разложение справедливо "x : 0 < x < 2p . На концах промежутка, те в точках

x = 0 и x = 2p , сумма полученного ряда равна p .

2