F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

44

Click

&

w

m

w

w

o

.c

.A BBYY

Глава 3.

O

Ряды

Теоретические вопросы

1.Числовые ряды. Основные понятия.

2.Необходимый признак сходимости числового ряда.

3.Признаки сравнения числовых рядов.

4.Признак Даламбера.

5.Признак Коши.

6.Интегральный признак Коши.

7.Знакопеременные ряды. Основные понятия.

8.Признак Лейбница.

9.Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов.

	10.	Ряды Тейлора.
4	11.	Ряды Фурье.

Литература

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-

еизд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2.

Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

2.Пискунов Н..С Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб.

пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.

пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

5.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х

томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов

в2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

Y

P

or

e

Y

P

or

e

B

Y

m

B

Y

m

buy

r

B

buy

r

2

2

0

0

to

.

A

to

.

here

45

here

Click

Click

w

m

w

m

w

w. .

o

7. Данко П.Е. и

др. Высшая

математика

в упражнениях

w

w. .

o

c

и задачах(с

c

A BBYY

A B BYY

решениями): в 2 ч./

Данко П.Е.,

Попов А.Г.,

Кожевникова Т.Я.-6-е

изд..-М.:

ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

&

1.Числовые ряды

Ряд – это выражение вида

a1 + a2 + a3 + … +an + …, (1)

составленное из бесконечного множества чисел a1, a2, … , an, … , называемых

членами ряда: a1 - первый член, a2 - второй член и т.д.; an называют n-ым или

¥

общим членом ряда. Ряд (1) можно сокращенно записать как åan . Конечные

n=1

суммы вида
O	S1=a1,
	S2=a1 + a2,
	S3=a1 + a2 + a3,
	……………………..
	Sn-1=a1 + a2 + a3 + … +an-1,
	Sn=a1 + a2 + a3 + … +an-1 + an,

называются частичными суммами ряда (1):
S1 – первая частичная сумма, S2	- вторая частичная	сумма, …,	Sn - n-ая
частичная сумма ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм
ряда (1) S = lim Sn , то говорят, что	этот рядсходится,	а числоS	называют
n®¥

суммой ряда (1). При этом можно писать:

a1 + a2 + a3 + … +an + …= S.

Если же последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, то говорят, что этот ряд расходится.

k-ым остаточным рядом ряда (1) называется ряд, который получается из ряда (1) в результате отбрасывания первых k его членов:

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

46

Click

w

m

w

w. .

o

ak+1

+ ak+2 + ak+3 + … +an + …

A BBYY

c

Основные свойства сходящихся рядов

1. Если ряд (1) сходится, т.е. существует lim Sn = S , то сходится и ряд

n®¥

¥

åcan ,

n=1

где c - любое число, причем сумма ряда (3) равна cS.

¥

2. Если сходится ряд (1) åan и его сумма равна S, и сходится ряд

n=1

¥

åbn

n=1

и его сумма равна S*, то сходится и ряд

¥

å(an + bn )

n=1

и его сумма равна S + S*.

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

(2)

w

w.

.

o

A B BYY

c

(3)

(4)

(5)

O			Основные теоремы
	1. Необходимый признак сходимости числового ряда
	Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член an стремится к нулю,
	т.е. lim a	n	= 0 .
	n®¥

Следствие. Если общий член an ряда (1) не стремится к нулю, то данный ряд расходится.

2. Критерий сходимости ряда

Теорема. Для того, чтобы сходился ряд(1) необходимо и достаточно,

чтобы сходился его k- ый остаточный ряд (2).

3. Признаки сравнения положительных рядов.

Теорема 1. Пусть даны два ряда с положительными членами:

¥
åcn = c1 + c2 + ... + cn + ...,	cn ³ 0,	"n ,	(6)
n=1
¥
ådn = d1 + d2 + ... + dn + ...,	dn ³ 0,	"n	(7)

n=1

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

и

A BBYY

c

47

пусть, начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство:

cn £ dn ,

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(8)

тогда:

1)из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (6);

2)из расходимости ряда (6) следует расходимость ряда (7).

Теорема 2. Если для рядов (6) и (7) существует предел

lim	cn	= A (0 < A < +¥, dn ¹ 0),	(9)
n®¥ dn

то ряды (6) и (7) ведут себя одинаково, т. е. либо сходятся, либо расходятся одновременно.

4. Признаки сходимости положительных рядов
Теорема 1 (Признак Даламбера). Пусть задан положительный					ряд(6),
члены которого отличны от 0, и существует предел
	lim	cn+1	= l		(10)
	n®¥ c
		n
Тогда:
1) Если l<1, то ряд (6) сходится;
2) Если l>1, то ряд (6) расходится;

	O	3) Если l=1, то теорема не дает ответа на вопрос о поведении ряда (6).
		Теорема 2 (признак Коши). Пусть задан положительный ряд(6) и
		существует предел
			lim n		= l	(11)
				cn
			n®¥

Тогда:

1)Если l<1, то ряд (6) сходится;

2)Если l>1, то ряд (6) расходится;

3)Если l=1, то теорема не дает ответ на вопрос о поведении ряда (6).

Теорема 3. (Интегральный признак Коши). Пусть члены

положительного ряда (6) не возрастают, т.е. c1 ³ c2 ³ ... ³ cn ³ ..., и пусть f(x)-