AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

		40
	y1	y2	...	yn
D =	y ¢	y ¢	...	y ¢
	1	2	...	n
	...	...		...
	y(n-1)	y(n-1) ...		y(n-1)
	1	2		n

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

был отличен от 0 хоть в одной точке промежутка (a, b).

Пусть функции y1, y2 ,..., yn образуют фундаментальную систему ЛОДУ(30).

Тогда общее решение этого ЛОДУ может быть записано в виде:

y = C1 y1 + C2 y2 +... + Cn yn ,

где C1 , C2 ,..., Cn - произвольные постоянные. Тогда общее решение ЛНДУ(29)

может быть получено в виде:

					y = C1 (x) y1 + C2 (x) y2 + ... + Cn (x) yn ,						(31)
где C1 (x), C2 (x),..., Cn (x)					- неизвестные функции, которые находятся из системы:
		ì		C1¢ (x )y1 + C2¢ (x )y2 +... + Cn¢ (x )yn = 0
		ï	C1¢ (x )y1¢ + C2¢ (x )y2¢ +... + Cn¢ (x )yn¢ = 0
		ï									(32)
		í		..............................................................
		ï
		ïC ¢ (x )y (n-1 )+ C ¢ (x )y (n-1 )+... + C ¢ (x )y (n -1) = f (x )
		î	1	1	2	2	n	n
		ï
Система		(32)	–	линейная		алгебраическая			система	с	неизвестными
C ¢ (x ), C ¢ (x ),..., C			¢ (x ),		определитель		которой	отличен от0.		Следовательно,
1	2		n
система		(32) имеет			единственное		решение.	Решив	систему (32),		находим
C1¢ (x ), C2¢ (x ),..., Cn¢ (x ),				следовательно, и C1 (x), C2 (x),..., Cn (x) (см. предыдущий
O	пример). Подставляя найденные функции C1 (x), C2 (x),..., Cn (x) в формулу
	(31), получаем общее решение ЛНДУ (29).

&5. Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами второго

порядка:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

41

ì dx		= a	x + a y
ï
		11	12
ï
í dt
ï	dy	= a21x + a22 y
ï
î dt

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(33)

Здесь a11, a12 , a21 , a22	- постоянные числа, x = x (t ), y = y (t ) - неизвестные функции.
Решением	системы (33) называется	совокупность	непрерывно

дифференцируемых функций x = j (t ), y = f (t ), обращающих уравнения системы

(33)в тождества.

Общим решением системы (33) называется совокупность непрерывно

дифференцируемых

функций x = j (t, C1, C2 ),

y = f (t, C1, C2 ),

где

C1, C2 -

произвольные постоянные, удовлетворяющих двум условиям:

1)

при

любых

значениях

постоянныхC и

C

2

функции

1

x = j (t, C1 , C2 ), y = f (t, C1, C2 ) являются решениями системы (33);

2)

любое

решение

системы(33)

может

быть

получено

из

функций

x = j (t, C1 , C2 ), y = f (t, C1, C2 )

при соответствующих значениях постоянных C1

и

C2 .

Рассмотрим

один

из

методов

решения

систем

дифференциальных

уравнений – метод исключения.

O

Продифференцируем одно из уравнений системы(33) по t (например,

первое уравнение). Получим:

d 2 x

= a11

dx

+ a12

dy

.

(34)

dt

2

dt

dt

Подставим в уравнение (34) значение

dy

из второго уравнения системы (33):

dt

d 2 x

= a

dx

+ a

(a

x + a

y )

(35)

dt 2

11

dt

12

21

22

Далее, из первого уравнения системы (33) находим значение y

1 æ dx

ö

.

(36)

y =

ç

- a11x ÷

,

a12 ¹ 0

a12 è dt

ø

и подставим его в уравнение (35). В результате получим уравнение:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

				42
	d 2	x	-(a11	+ a22 )	dx	+ (a11a22 - a12a21 )x = 0	.
	dt	2
					dt

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(37)

Уравнение (37) - линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными

коэффициентами

с

одной

неизвестной

функциейx = x (t ) .

Методы

интегрирования

ЛОДУ

рассмотрены

в

предыдущем пункте. Пусть общее

решение ЛОДУ (37) имеет вид:

x = j (t, C1 , C2 )

(38)

где C1, C2 - произвольные постоянные.

Подставляя функции

x = j (t, C1C2 ) и

x¢ = j¢(t, C1C2 )в

формулу (36),

находим

вторую искомую функцию:

y = f (t, C1 , C2 ).

(39)

Совокупность формул (38) и (39) дает общее решение системы (33):

ìx = j

(t, C , C

2

)

?

ï

1

î

í

(t, C1 , C2 )

ïy = f

Задание. Решить систему:

ì

dx

= x + 5y

ï

ï

dt

í

ï

dy

= -x - 3y

ï

î dt

Решение. Для данной системыa11 =1,= a=12 5, a21 -1,=a22					-3. Следовательно,
чтобы найти функцию x = j (t, C1 , C2 ), надо решить уравнение (см. (37)):
	d 2 x	+ 2	dx	+ 2x = 0 .	(40)
	dt2
			dt
Характеристическое уравнение для ЛОДУ (40) имеет вид:
l2 + 2l + 2 = 0

Его корни l1,2	= -1± i . Следовательно, общее решение уравнения (40) имеет вид:
	x = e-t (C1 cos t + C2 sin t ).	(41)
Далее, чтобы	найти функцию y = f (t, C1 , C2 ) воспользуемся	выражением(36).
Имеем:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

43

	1	ë(		2	1 )		(	1		2 )	û
y =		e-t é	C		- 2C	cos t -		C	+ 2C		sin t ù .
5

Совокупность формул (41) и (42) дает общее решение исходной системы:

ìx = e-t (C1 cos t + C2 sin t )
ï
íy =	1	e-t é(C		- 2C )cost -(C + 2C			)sin t ù
			2			2
ï	5	ë		1	1		û
î

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
(42)						A B BYY				c