Закон сохранения энергии

Работа и кинетическая энергия

Уравнение движения материальной точки

m dv

F

vdt dr

mvdv Fdr

dt

1)

mvdv

1

mv2

2

md(v,v) d

2

K

mv2

p2

– кинетическая энергия

2

2m

2)

dA Fdr – элементарная работа

2
A12 Fdr	– работа на конечном перемещении
1

Закон сохранения энергии

Работа и кинетическая энергия

		dK dA		– закон изменения кинетической энергии
		K2 K1 A12		(неофициально)
	Для системы материальных точек:
		K Ki	– кинетическая энергия системы
					K2 K1 A12
	A12 A12i
			– работа сил, действующих на систему

	dA			dA		Fdr	dr
P	dt	– мощность	P	dt		dt	F dt

P F v

Закон сохранения энергии

Консервативные и неконсервативные силы

консервативные

Силы неконсервативные диссипативные гироскопические

Примеры: сила тяжести – консервативная сила сила трения – неконсервативная сила

Определение:

Консервативные силы – это силы,

1)которые зависят только от координат материальных точек;

2)работа которых определяется только начальным и конечным положениями системы и не зависит от пути.

Закон сохранения энергии

Консервативные и неконсервативные силы
	3	A132		Для консервативных сил:
				1)	A132	A142
							A142	A241	0 или
			2	2)	A142	A241
1	4	A142

ÑdA 0

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.

Примечание: Центральные силы являются консервативными.

Закон сохранения энергии

Потенциальная энергия

Консервативная система – это система, в которой действуют только консервативные силы.

Для консервативной системы A12 не зависит от пути 1 → 2 и поэтому можно определить функцию U:

Определение:			U1 U2 A12		( dU dA)
U – потенциальная энергия
dK dA dU				dK dU 0
				– закон сохранения механической энергии
	K U const
				(для консервативных систем)
	E K U	– механическая энергия

Закон сохранения энергии

Потенциальная энергия силы тяжести

h		F mg
		2
		2	2
	g	A12 mg dr mg dh mg(h2 h1)
		1	1
		A12 (U2 U1 )
1
		U mgh C = 0	Нормировка h = 0, U = 0

U mgh

Закон сохранения энергии

Потенциальная энергия силы упругости

	Fу					Fу kx
								2	2	1 k (x
0					x							2	x2 )
						A		Fdr k x dx
						12				2	2		1
								1	1
						A12 (U2 U1 )
		U	kx	2	C	= 0		Нормировка x = 0, U = 0
			2

U kx22

Закон сохранения энергии

Потенциальная энергия гравитационного (кулоновского) поля

1

F

M

– неподвижна (центр)

F Mm

r

r

m

2

r2 r

2

rdr

2

dr

1

1

A Mm

Mm

Mm

M

r3

r2

12

r

r

1

1

2

1

	A12 (U2 U1 )
U Mm C = 0			Нормировка r = , U = 0
	r
	Mm			U	1 q1q2		– для кулоновского
	U r
					4 0	r	поля

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии

Закон изменения кинетической энергии:

dK dA dAк dAд	dAк – работа консервативных сил,
	dAд – работа диссипативных сил
dAк dU	dE d (K U ) dAд

DE D(K U ) Aд	– закон изменения механической энергии
	(неофициально)

1) В замкнутой системе dAд ≤ 0, т.е. E уменьшается; 2) Уменьшение E сопровождается нагревание тел.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии

Свяжем с внутренним состоянием тел новый вид энергии и положим, что ее убыль в точности равна работе диссипативных сил dAд = –dUвн.

Uвн – внутренняя энергия.

K U Uвн const

Для замкнутых систем сумма всех видов энергии (полная энергия) сохраняется.

	В общем виде
		– закон сохранения энергии
	Ui const
		(для замкнутых систем)
	i
	где Ui – вид энергии