Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

Линейный осциллятор при наличии трения и действии внешних сил

F

F F0 cos t

– внешняя сила

Уравнение движения

mx& kx bx& F cos t

: m

b

,

02

k

m

0

2m

&x 2 x& 02 x

F0

cos t

– уравнение вынужденных колебаний

m

Согласно теории дифференциальных уравнений решение имеет вид

x(t) x0 (t) x1(t) x0(t) – общее решение однородного уравнения x1(t) – частное решение неоднородного уравнения

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

x0 Ae t cos( t ) 0

x(t) x1(t) – установившиеся колебания

Уравнение вынужденных колебаний преобразуем к комплексному виду

x 2 x 02 x (F0 m)ei t

Решение ищем в виде

x Aei t

Aei t ( 2 2i 02 ) (F0 m)ei t

	A	F	1				F		2	2 2i
		0					0		0
		m 02 2 2i					m ( 02 2 )2 4 2 2

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

A A ei
		0
A	F0					1
0		m			( 02 2 )2 4 2 2
tg				2
				2		2
						0

x A0ei( t )

– комплексное решение

x A0 cos( t )

– действительное решение

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

	Малое затухание				= 0
	Случай 1	= 0
	A	F0	F0	,	0
		m 2
	0		k
		0

Характер движения определяет сила упругости, влияние силы трения и инертности мало

0

&x 2 x& 02 x Fm0 cos t

x Fk0 cos t

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

Малое затухание				= 0
Случай 2		?		0
A		F0	,
0	m 2

Характер движения определяет инертность, влияние силы упругости и силы трения мало

0

&x 2 x& 02 x Fm0 cos t

x mF0 2 cos t

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

Малое затухание				= 0
Случай 3		0		Случай резонанса
A F0		1	,
0	m	2 0		2

Характер движения определяет сила трения, сила упругости обеспечивает ускорение системы

0

&x 2 x& 02 x Fm0 cos t

	x	F0	sin 0t
		2m 0

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

Резонансные характеристики осциллятора

Добротность

A2

A0рез2

0

Aрез

F0

F0

0

2

Q

:

1

A2

( )рез

Aстат

2m 0

k

2

2 T

2

0рез

Q

Ne

– добротность

A0стат2

0

Резонансная кривая

Колебания

Вынужденные колебания. Резонанс

Резонансные характеристики осциллятора

	Избирательность (ширина резонансной кривой)
	A2							A02																																							В окрестности					0				0
	0рез																																															F0		2	1					1
																																														2
																																															A0
																																																			2	2					2
1																																																m			4 0 1				( )
	A2																																												( )рез		ширина резонансной кривой
2	0рез																																																( )рез 2
	A0стат2																																																							0
																																																			( )рез
																																						0
																																																								Q

Резонансная кривая