1.1. Основные логические функции

Возьмем в качестве аналога логической функции электрическую цепь с контактами. Обозначим наличие входного сигнала управления контактом Х=1, а его отсутствие Х=0. Если в результате действия входного сигнала цепь замкнется, будем считать выходной сигнал Y= 1, если цепь будет разомкнута, то Y=0. В современной технике контактные элементы заменяют бесконтактными (например, на тиристоры или транзисторы в ключевом режиме). Два значения логических сигналов в этом случае физически представляются в виде двух уровней электрического напряжения: низкого и высокого.

а) Рассмотрим цепь с одним замыкающим контактом (рис.1).

Логику ее работы можно записать следующим образом:

“Если Х= 0, то Y= 0. Если Х= 1, то и Y= 1”;

Для сокращения записей анализ связей входных и выходных сигналов оформляется в виде таблицы, называемой таблицей состоянияилитаблицей истинности. Эта таблица имеет (m+ n ) столбцов и 2ⁿ строк, гдеn— число входных переменных (сигналов), а m— число выходных сигналов.

Х	Y
0	0
1	1

Мы имеем 1 входной сигнал и 1 выходной сигналы, следовательно, таблица состояний имеет два столбца и две строки. Выходной сигнал Y повторяет значение входного сигнала Х.

Такая функция называется функцией повторения.

1

Рис.3. Графическое обозначение элемента повторения.

Уравнение: Y = X.

б) Рассмотрим цепь с размыкающим контактом (рис. 2). Если нет воздействия на контакт цепи, то цепь замкнута, иначе цепь размыкается.

Логика работы может быть словесно описана следующим образом:

“ Если Х НЕ 1, то Y = 1 ”.

Х	Y
0	1
1	0

Выходной сигнал имеет значение, противоположное (инверсное) входному. Такая логическая функция получила название функцииотрицания, или функцииинверсии, или функцииНЕ.

__

Уравнение: Y = Х (читается Y НЕ Х).

Черта над переменной обозначает инверсию сигнала.

Графическое обозначение элемента НЕ:

Кружок на выходе обозначает инверсию

выходного сигнала.

Рис.4. Обозначение элемента НЕ.

Рассмотрим далее логические функции двух переменных, что соответствует электрической цепи с двумя контактами.

в) Цепь с последовательно соединенными замыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х1	Х2	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Х₁  Х₂  Y

Рис. 5.

Словесная формулировка алгоритма работы схемы:

“ Если Х₁ = 1 И Х₂ = 1, то У = 1”.

Логическая функция получила название функции И,или функции логического умножения(конъюнкции).

Уравнение функции: Y = Х₁  Х₂ (читается: “ Y равно Х₁ И Х₂“),

где - символ операции конъюнкции.

Допускается использовать знак обычного умножения ( ). Y = Х₁Х₂.

Графическое обозначение Х₁

логического элемента И : Y

Знак & - символ логической операции И. Х₂

г) Цепь с параллельно соединенными замыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х1	Х2	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Х1	Х2	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Х₁ 

Y

Х₂ 

Рис.6.

Словесное описание работы схемы:

“Если Х₁ = 1, ИЛИ Х₂ = 1, ИЛИ оба равны 1, то Y = 1”.

Эта логическая функция получила название функции ИЛИ, функции логического сложения(дизъюнкции).

Уравнение функции: Y = Х₁  Х₂ (читается : Y равно Х₁ ИЛИ Х₂),

где — символ операции дизъюнкции.

Допускается использовать знак обычного сложения “+” с учетом понимания из контекста, что речь идет о логическом сложении.

Y = Х₁ + Х₂.

Х₁

Графическое обозначение элемента ИЛИ: Y

Х₂

д) Цепь с последовательно включенными размыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х1	Х2	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Х₁  Х₂  Y

Рис.7.

Описание работы схемы:

“ Если Х₁ = 1 ИЛИ Х₂ = 1, то Y НЕ 1”.

Это логическая функцияИЛИ-НЕ. Она имеет специальное название - стрелка Пирса. _______ Х₁

Уравнение функции: Y = Х₁  Х₂ . Обозначение: Y

Х₂

Сначала производится логическая операция ИЛИ над входными сигналами, а затем операция НЕ (инверсия) над результатом.

Проанализировав таблицу состояний элемента ИЛИ-НЕ, его работу можно описать другим способом:

“ Если Х₁ НЕ 1 И Х₂ НЕ 1, то Y = 1”.

Здесь сначала входные сигналы инвертируются, а затем производится операция И.

Это соответствует уравнению:

Из рассмотренного примера следует интересная формула, которую в дальнейшем мы встретим в виде закона или правила Де Моргана:

________ ___ ___

Y = Х₁  Х₂ = Х₁  Х₂.

е) Цепь с параллельно включенными размыкающими контактами

Схема Таблица истинности

Х₁ 

Х1	Х2	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

 Y

Х₂ 

Рис.8.

Описание работы схемы:

“Если Х₁ = 1 И Х₂ = 1 , то Y НЕ 1“.

Цепь разомкнута только тогда, когда разомкнуты оба контакта.

Это логическая функция И-НЕ,илифункция Шеффера.

_______

Логическое уравнение:Y = Х₁  Х₂. Х₁ Y

Условное графическое обозначение (УГО): Х₂

Аналогично предыдущему логику работы схемы можно описать по-другому:

“ Если Х₁ НЕ 1 ИЛИ Х₂ НЕ 1, то Y = 1”.

Это будет соответствовать уравнению:

Y = Х₁  Х₂ = Х₁  Х₂.

Далее рассмотрим несколько цепей, содержащих и замыкающие, и размыкающие контакты двух переменных.

ж) Цепь с последовательно включенными замыкающим и размыкающим контактами.

Схема Таблица истинности

Х1	Х2	Y
0	0	0
1	0	1
0	1	0
1	1	0

Х1	Х2	Y
0	0	0
1	0	1
0	1	0
1	1	0

Х₁  Х₂ 

Y

Рис.9.

Выходной сигнал Y повторяет входной сигнал Х₁, если нет сигнала Х₂, иначе выходной сигнал равен 0. Логическая функция называется:Запрет по Х2 . Применяется на практике для блокировки прохождения управляющего сигнала Х₁в зависимости от значения сигнала Х₂(например, контроль наличия ограждения и других защитных барьеров).

__

Логическое уравнение функции: Y = Х₁Х₂.

Поскольку переменные равноправны, переставив символы Х₁и Х₂, получим функцию “Запрет по Х1” __

Y = Х₂Х₁.

з) Цепь с реверсивными управляющими сигналами (ВПЕРЕД - НАЗАД).

Схема Таблица истинности

Х₁  Х₂ 

Х1	Х2	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Y



Х₁  Х₂ 

Рис.10.

Выходной сигнал Y будет равен 1, если Х1=1 ИЛИ Х₂=1, но исключается случай, когда Х₁И Х₂равны 1. То есть цепь замкнута, если входные сигналы Х₁и Х₂разные. Эта логическая функция называетсяфункцией неравнозначности, или функциейИсключающее ИЛИ (в англоязычной литературе -Exclusive ORили XOR), или функциейСложения по модулю 2. Последнее название отражает то, что таблица истинности данной функции соответствует таблице арифметического сложения одноразрядного двоичного числа, когда при сложении 1 + 1 результат равен 0 и возникает перенос 1 в старший разряд. __ __

Логическое уравнение: Y = Х₁  Х₂  Х₁  Х₂ = Х₁  Х₂,

где  - символ сложения по модулю 2.

Х₁

Условное графическое обозначение функции: М2 Y

Х₂

и) Цепь с последовательно включенными замыкающими и размыкающими контактами, соединенными параллельно.

Схема Таблица истинности

Х₁  Х₂ 

Х1	Х2	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Y

Х₁  Х₂ 

Рис.11.

Цепь будет замкнута, когда входные сигналы Х₁, Х₂одинаковые. Это будет логическаяфункция равнозначностиили эквивалентности.

___ ___ ________

Логическое уравнение цепи: Y = (Х₁  Х₂)  ( Х₁  Х₂ )=Х₁  Х₂.

В заключение сделаем выводы о соответствии релейно-контактных схем и логических уравнений:

— замыкающий контакт соответствует переменной уравнения в прямой форме;

— размыкающий контакт схемы соответствует переменной уравнения в инверсной форме;

— последовательное соединение контактов соответствует конъюнкции (операции И) переменных;

— параллельное соединение контактов соответствует дизъюнкции (операции ИЛИ) переменных.

Получив начальные сведения по базовым логическим операциям и функциям, перейдем к изложению основных законов булевой алгебры.