1.2. Основные аксиомы и законы булевой алгебры

Булева алгебра оперирует двоичными переменными, которые подчиняются условию: Х=1, если Х0 и Х=0, если Х1.

Переключательная, или булева, функция вида Y= f(х₁,х₂,....,х_n) относительно аргументов х₁,х₂,....,х_n, как и ее аргументы, может принимать только два значения - 0 и 1.

Все аксиомы и законы булевой алгебры могут быть представлены в двух видах, что следует из принципа дуальности (двойственности) логических операций, согласно которому операции конъюнкции и дизъюнкции допускают взаимную замену, если одновременно поменять логический 0 на логическую 1, а 1 на 0.

Аксиомы (тождества) алгебры логики

а) аксиомы операции отрицания:

_

0 = 1 или дуальное отношение ;

б) аксиомы операций с константами 0 и 1:

0  0 = 0 или 1  1 = 1;

1  0 = 0 1 = 0 или 0  1 = 1  0 = 1;

1  1 = 1 или 0  0 = 0.

Из аксиом вытекаютзаконы булевой алгебры.

а) Переместительный закон (закон коммутативности):

Х₁  Х₂ = Х₂  Х₁ или Х₁  Х₂ = Х₂  Х₁.

б) Сочетательный закон (закон ассоциативности):

Х₁  Х₂  Х₃ = Х₁  (Х₂  Х₃) = (Х₁  Х₂)  Х₃ или

Х₁  Х₂  Х₃ = Х₁  (Х₂  Х₃) = (Х₁  Х₂)  Х₃.

в) Распределительный закон ( закон дистрибутивности):

Х₁  (Х₂  Х₃) = Х₁  Х₂  Х₁  Х₃ или

Х₁  (Х₂  Х₃) = Х₁  Х₂  Х₁ Х₃.

г) Закон повторения (тавтологии, идемпотентности):

Х₁  Х₁  Х₁= Х₁ или Х₁  Х₁  Х₁ = Х₁.

д) Законы операций с константами:

Х₁  0 = 0 или Х₁  1 = 1;

Х₁  1 = Х₁ или Х₁  0 = Х₁.

е) Закон двойной инверсии:

Х = Х.

ж) Закон обращения:

__ __

если Х₁ = Х₂ , то Х₁ = Х₂.

з) Закон дополнительности:

__ __

Х₁  Х₁ =0 или Х₁  Х₁ = 1.

и) Законы дуальности (законы де Моргана):

_______________ ___ __ __

Х₁  Х₂  ....  Хn = Х₁  Х₂  .....  Хn.

Инверсия конъюнкции (логического произведения) двух и более переменных равна дизъюнкции (логической сумме) инверсий этих переменных.

_______________ __ __ ___

Х₁  Х₂  ....  Хn = Х₁  Х₂  ....  Хn.

Инверсия дизъюнкции (логической суммы) двух и более переменных равна конъюнкции (логическому произведению) инверсий этих переменных.

к) Закон (правило) поглощения:

Х₁  (Х₁  Х₂) = Х₁ или Х₁  ( Х₁  Х₂) = Х₁.

Поглощается переменная Х₂.

л) Закон (правило) склеивания:

__

( Х₁  Х₂ )  ( Х₁  Х₂ ) = Х₁ или дуальная форма

__

( Х₁  Х₂ )  ( Х₁  X₂ ) = Х₁.

м) Правило вычеркивания:

__ __

(Х₁  Х₂ )  Х₁ = Х₂  Х₁ или дуальная форма

___ ___

(Х₁  Х₂ )  Х₁ = Х₂  Х₁.

Задание.

Используя полученные ранее выводы о соответствии логических уравнений и релейно-контактных схем, сопоставьте логическим уравнениям рассмотренных законов релейную схему и проанализируйте ее работу.