2. Позиционная система счисления и кодирование чисел

В дальнейшем часто логическую функцию nпеременных будем представлять в виде набора значений аргументов, что естественным образом выводит нас к двоичным числам и числам с другим основанием.

Система счисления- это совокупность приемов и правил записи чисел цифровыми знаками.

Все системы счисления делят на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления значение символа (знака) не зависит от его положения в числе (пример - римская система счисления).

Преимущественное распространение получили позиционные системы счисления, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов e_ne_n-1....e_pe_p-1...e₂e₁. Здесь вес каждого символаe_ропределяется его позицией в записи числа и равенq^p-1 , гдеq- основание системы счисления, аe_р= 0, 1, 2, ...., q-1.

Тогда любое целое положительное число Е можно записать в виде:

_n

E = (e_ne_n-1... e_p... e₁) = e_nq^n-1 +e_n-1q^n-2+ .... +e_pq^p-1+ .... +e₁q⁰ =  e_pq^p-1 .

^p=1

При построении цифровых логических систем управления и микропроцессорных систем базовой является двоичная система счисления (q = 2), что определяется элементной базой этих систем. Широко применяются восьмеричная (q=8) и шестнадцатеричная (q=16) системы счисления, обеспечивающие более компактную запись двоичных чисел.

В цифровых устройствах для кодирования информации также используются другие двоичные коды, обладающие теми или иными достоинствами для конкретного применения. Например, для представления в двоичной системе десятичных цифр используются:

а) код 8421 (или код BCD) - естественный двоичный 4-разрядный код цифр от 0 до 9, старшие шесть комбинаций не используются и объявляются запрещенными;

б) код “2 из 5” - все кодовые 5-разрядные комбинации содержат точно две единицы, используется в телеграфии;

в) код 2421 - в отличие от (а) вес старшего разряда 2;

г) код с избытком 3 - получается из кода 8421 смещением на +3 и др.

q = 10 10^1 10^0	q = 2 2^3 2^2 2^1 2^0	q = 8 8^1 8^0	q = 16
0	0 0 0 0	0	0
1	0 0 0 1	1	1
2	0 0 1 0	2	2
3	0 0 1 1	3	3
4	0 1 0 0	4	4
5	0 1 0 1	5	5
6	0 1 1 0	6	6
7	0 1 1 1	7	7
8	1 0 0 0	1 0	8
9	1 0 0 1	1 1	9
1 0	1 0 1 0	1 2	A
1 1	1 0 1 1	1 3	B
1 2	1 1 0 0	1 4	C
1 3	1 1 0 1	1 5	D
1 4	1 1 1 0	1 6	E
1 5	1 1 1 1	1 7	F

В

Основание

Вес разряда

ес разряда 10 1 8 4 2 1 8 1 1

q = 10 10^0	8421 2^3 2^2 2^1 2^0	2 из 5	2421 2^1 2^2 2^1 2^0	код с избытком 3
0	0 0 0 0	1 1 0 0 0	0 0 0 0	0 0 1 1
1	0 0 0 1	0 1 1 0 0	0 0 0 1	0 1 0 0
2	0 0 1 0	0 0 1 1 0	0 0 1 0	0 1 0 1
3	0 0 1 1	0 0 0 1 1	0 0 1 1	0 1 1 0
4	0 1 0 0	1 0 0 0 1	0 1 0 0	0 1 1 1
5	0 1 0 1	1 0 1 0 0	1 0 1 1	1 0 0 0
6	0 1 1 0	0 1 0 1 0	1 1 0 0	1 0 0 1
7	0 1 1 1	0 0 1 0 1	1 1 0 1	1 0 1 0
8	1 0 0 0	1 0 0 1 0	1 1 1 0	1 0 1 1
9	1 0 0 1	0 1 0 0 1	1 1 1 1	1 1 0 0

Последние два кода характерны тем, что первые пять комбинаций и последующие являются инверсно симметричными.