Статистика / СТАТ. Учебник для вузов

(однофакторным) анализом, а двух и больше факторов – многофакторным. Среди множества функций чаще всего в парном анализе используют наиболее простую и надежную линейную функцию:

	+а1 X
Y = ао		(8.11)

где а0 и а1 - параметры искомой прямой линии, которые определяются способом наименьших квадратов.

Методика расчета и использования линейного уравнения регрессии приведена в п.6.4. «Тенденции развития и прогнозирования рядов динамики».

Для оценки тесноты связи между факторным и результаным показателем при линейной зависимости используют линейный коэффициент корреляции:

	r =			-		×
			XY		X		Y
			σ xσ y
	xy									(8.12)
где X - факторный показатель (аргумент);
Y –	результатный показатель (функция); σx и σy -
средние	квадратические отклонения значений									X и Y;

			∑ (XY)f				∑(Xf )				∑(Yf )
				; X =
	XY =		∑f				∑f	; Y =			∑f .
							211

Значение коэффициента корреляции rхy

колеблются от-1 (случай полной обратной связи) до +1 (случай полной прямой связи). Чем ближе значение rхy к

единице, тем более тесная связь, чем ближе rхy к нулю,

тем слабее связь. При r < 0.30 связь считается слабой, при r = 0.3-0.7 – средней, при r > 0.7-0.9 – сильной, при r > 0.9 –

очень сильной (тесной).

Для нелинейной формы зависимости теснота связи определяется при помощи корреляционного отношения:

η =	σ2	,
	x		(8.13)
	σ2
	y

где σ2y − общая дисперсия результатного показателя,

которая зависит от вариации всех факторов; σ2х − факторная

дисперсия, которая зависит от вариации лишь отобранных для уравнения регрессии факторных

			∑(Y − Y )			f
	σ2	=	ˆ		2		,		ˆ
			∑f
показателей;	x							где	Yx - теоретические

(расчетные) значения результатного показателя, которые получены по уравнению регрессии; Y – среднее значение

212

результатного показателя, вычисленное по фактическим (исходным) данным;

			∑ (Yi −		)2 f
	2	=		Y			Y
f - весы;	σy		∑ f			, где
							i - фактические

(исходные) значения результатного показателя. Отношение факторной дисперсии к общей, то есть

σ2x

σ2y характеризует тесноту корреляционной связи. Это

отношение показывает, какую часть общей вариации результатного показателя составляет вариация факторов, которые отобраны для уравнения регрессии.

Корреляционное отношение (η ) изменяется от 0 до 1.

Чем ближе η к 1, тем более тесной является корреляционная связь. При η = 1 связь является полной,

функциональной. При η = 0 связь отсутствует.

Проверка существенности корреляционной связи

основывается на сравнении фактической величины η 2 с

так называемой критической. Существуют таблицы критических значений η 2 . Если фактическая величина

213

η 2	больше критической, то	связь считается
существенной.
	Корреляционное отношение	используют для

измерения тесноты связи как показателей однофакторного уравнения регрессии, так и многофакторного.

В многофакторном КРА на практике также чаще всего применяют простое и надежное линейное

уравнение множественной регрессии:

	ˆ	= a0 + a1X1 + a2X2 + ... + an Xn , (8.14)
	Y
где	ˆ	результатный, функциональный показатель
	Y –

(зависимая переменная); X1, X2,..., Xn - факторные показатели, факторы, которые определяют величину

результатного	показателя	(независимые переменные);
a0 , a1..., an	- параметры	регрессионного уравнения,

которые обычно определяются способом наименьших квадратов.

Выбор оптимальной формы связи и факторов регрессионного уравнения производится на основе совместного, комплексного использования качественного (содержательного) и количественного (числового) анализа. В количественном анализе применяются

214

коэффициенты	множественной	(многофакторной)
детерминации R2 и корреляции		R, F -	критерий
Фишера, t – критерий Стьюдента, критерии К.			Пирсона,

А. А. Чупрова, Г. Крамера, П. Хьюбера и многих других. При этом еще в 1934 г. норвежский экономист Рагнар Фриш обратил внимание на недопустимость использования в регрессионных моделях излишнего количества второстепенных, несущественных факторов.2

Коэффициент множественной детерминации определяют по формуле:

	σ2
R 2 =	ˆ
	Y	,
	σY		(8.15)
	2

где σ2 - факторная дисперсия результатного показателя,

ˆ

Y

которая получена по теоретическим (расчетным) значениям многофакторного уравнения регрессии; чаще всего – это линейное уравнение множественной регрессии

(8.14); σ2y - общая дисперсия результатного показателя.

2 Frisch R.A. Statistical confluence analysis by means of complete regression

systems. – T ubingen, 1934.

215

Коэффициент множественной детерминации – это отношение факторной дисперсии к общей. Как и в случае парной корреляции, он показывает, какую часть общей вариации результатного показателя составляет вариация факторов, которые отобраны для уравнения регрессии.

Корень квадратный из коэффициента множественной детерминации называют коэффициентом

(индексом) корреляции:

						σ2
		R =	R 2 =		1 −
							(x )	,
						σY			(8.16)
							2
где	σ(2x)	= σY2 − σ2ˆ	- остаточная				дисперсия,		то есть
		Y

разность (остаток) между общей и факторной дисперсией. Для проверки надежности коэффициентов детерминации и корреляции чаще всего используют t –

критерий Стьюдента и F – критерий Фишера (F –

отношение). При этом t – критерий Стьюдента применяют также для отбора факторов уравнения регрессии. Проверка основывается на сравнении фактических величин η2 , R2, F и t с критическими (табличными).

216

Фактические величины η2 , R2, F и t должны превышать их критические значения.

Коэффициенты множественной детерминации R2

и корреляции изменяются от 0 до 1. Чем ближе R² и R к

1, тем более тесной является корреляционная связь. Например, если коэффициент множественной корреляции

R составляет 0.92, а коэффициент множественной

детерминации R 2 = 0.85 , то это может означать, что прирост или уменьшение результатного показателя на 85% зависит от отобранных для уравнения регрессии факторов и лишь на 15% от всех других факторов. Однако это не исключает возможности отбора для результатного показателя другого уравнения регрессии с другим составом факторов, который может иметь более высокие и

надежные значения η2 , R2, F , t а также других критериев. Такая неопределенность КРА является его особенностью, поскольку корреляционная связь, в отличие от функциональной, является нестрогой и неполной.

Влияние каждого фактора на прирост или уменьшение результатного показателя методом КРА чаще

217

всего определяется на основе линейного уравнения регрессии:

	xi	= a1iX1i − a0iX0i ,	(8.17)
где	хi - прирост (+) или уменьшение		результатного

показателя за счет соответствующего фактора Xі ; a1iX1i

иa0iX0i - фактическое и базисное значение

соответствующего фактора Xi и его параметра ai .

Например, в результате выборочного обследования было получено такое линейное уравнение регрессии, которое описывает корреляционную связь между денежными затратами человека за месяц на питание ( Y )

и его среднемесячным доходом ( X1 ), а также числом членов семьи ( X2 ):

ˆ	+ 0, 2182X1	− 56, 493X2,	(8.18)
Y = 98, 405

ˆ

где Y – среднемесячные денежные затраты человека на питание в относительно твердой валюте (в евро); X1 –

среднемесячный денежный доход в расчете на одного человека семьи (в евро); X2 – число членов семьи.

В линейном уравнении параметр ai называют

частным коэффициентом регрессии. Он показывает, как

218

ˆ

в среднем меняется результатный показатель Y при

изменении факторного показателя Xі на единицу (при условии, что другие факторные показатели остаются

неизменными). В данном случае	a = 0, 2182	и
	1
a2 = −56, 493 можно трактовать так:	a1 показывает, что

при росте дохода на 1 евро затраты на питание увеличиваются на 0,22 евро; a2 – при увеличении семьи на одного человека затраты на питание каждого члена семьи уменьшаются в среднем на 56,49 евро.

Определим по формуле 8,17 влияние первого фактора ( X1 ) - роста среднемесячного дохода на денежные затраты на питание. Если, например, в базисном году среднемесячный доход составил 600 евро, а в текущем 750 евро, то за счет этого фактора денежные

затраты		на	питание	увеличились	на:
x1	= 0, 2182 × 750 - 0, 2182 × 600 = 32, 73 євро.

В настоящее время техника корреляционных вычислений хорошо известна. Все расчеты целесообразно выполнять при помощи стандартных программ для ПЭВМ, в частности программы Excel или более специализированных Statgraphics, Statistica и т.п. Поэтому из-за ограниченного объема данной работы рутинные, но

219

довольно трудоемкие, корреляционные расчеты здесь не приведены.

Еще в 1877 г. английский антрополог Френсис Гальтон впервые сформулировал такие исходные для корреляционно-регрессионного метода понятия, как «регрессия» и «корреляция». С этого времени можно выделить три основных этапа в развитии данного метода: 1) применение традиционного корреляционнорегрессионного анализа, основанного на методе наименьших квадратов и предпосылке о «подчинении» исходных данных закону нормального распределения; 2) создание теории распределения и развитие непараметрической статистики; 3) формирование интегрированной теории – « робастного»1 корреляционнорегрессионного анализа (формирование этой теории далеко еще не закончено).

В последнее время самое важное значение приобретает проблема не изолированного, а системного, комплексного применения корреляционно-регрессионного метода совместно с другими статистическими, менеджментскими и иными методами. В частности, в

экономике, статистике и бизнесе весьма эффективным

1 От анг. robust – сильный, умный.

220