Статистика / СТАТ. Учебник для вузов

веса ( f j ), то используют формулу средней

арифметической взвешенной. Если веса ( f j ) отсутствуют,

n

но есть числитель агрегатной формулы ( ∑ zi ), то

i =1

среднюю определяют по формуле средней гармонической. При расчете темпов изменения (роста)

статистических показателей, характеризующих любой объект исследования, используют среднюю геометрическую. Различают два вида средней геометрической - невзвешенную (простую) и взвешенную

(сложную). Средняя геометрическая невзвешенная ( x г ) определяется по формуле:

									n
	x	г	=	x	× x	2	× ...x	n	= n ∏ x ,	(5.7)
				1					i
									i=1
где			xi		- варианты (темпы изменений
статистических показателей);								∏ - символ произведения.

Например, нужно определить среднегодовой темп роста прибыли фирмы, если известно в 2009 г. прибыль фирмы составляла 200млн. грн., 2010г. - 320 млн. грн., 2011г. - 800 млн. грн. Темп роста прибыли фирмы в 2010г. по сравнению с 2009 годом составляет:

111

x	=	320	= 1,6 раза и в 2011 г. к 2010 году:
1	200

x2 = 800 = 2,5 раза. Среднегодовой темп роста прибыли

320

n

xг = n

фирмы равен:

∏ xi

= 1,6 × 2,5 = 2 раза.

i =1

(

гзв )

Средняя

геометрическая

взвешенная

x

рассчитывается по формуле:

n

xгвз = ∑ f j x f1

× x f2 × ...× x fn

= ∑ f j ∏x f j ,

(5.8)

1

2

n

i=1

i

где xi

-

варианты

(темпы

изменения

статистических показателей);

f j - веса.

Средняя

геометрическая

-

это

также

преобразованная средняя агрегатная. Если варианты ( хі )

связаны между собой не как сумма слагаемых, а как произведение сомножителей, то используют их среднюю геометрическую. Для получения результатов по формулам средних геометрических их надо прологарифмировать:

1) средняя геометрическая невзвешенная:

						n
				lg x1 + lg x2 + ...+ lg xn		∑ lg xi
	lg		=		=	i=1		;
		xг							(5.9)
				n			n

112

2) средняя геометрическая взвешенная:

	lg			гвз =		(lg x1 ) f1 + (lg x2 ) f2 + ...+ (lg xn ) fn		=
			x
							f1 + f2 + ... fn
			n
			∑ (lg xi ) f j				(5.10)
	=	i =1					,
					n
					∑ f j
					i =1

Как видим, средняя геометрическая взвешенная

и невзвешенная - это преобразованная средняя агрегатная, поскольку числители этих средних - это сумма вариантов (в виде логарифмов), а знаменатели - сумма весов.

На практике чаще используется средняя геометрическая невзвешенная. Она применяется главным образом при исследовании динамики статистических показателей. Подробнее этот вид средней будем рассматривать при анализе рядов динамики.

5.3 Структурные и многомерные средние

Для характеристики структуры любой статистической совокупности рассчитываются особые структурные средние - мода и медиана. Мода - это

вариант, который чаще всего повторяется в

113

совокупности. В дискретном ряду моду определяют по наибольшему весу ( fmax ), а в интервальном - по специальной формуле. Например, распределение проданной мужской обуви за день в магазине характеризуется данными табл. 5.2.

Таблица 5.2 Распределение проданной мужской обуви по

размеру

	Размер обуви	39	40	41	42	43	44	45	Сумма
	(варианты)
	Количество пар	7	33	80	105	86	21	4	336
	(веса)
	Накопленные	7	40	120	225	311	332	336	х
	веса

По данным табл. 5.2 мода равна 42 размеру мужской обуви, поскольку этот размер пользовался наибольшим спросом покупателей. В интервальном ряду мода (Мо) определяется по формуле:

Mо = x0	+ h		f j − f j−1		,	(5.11)
		( f j	− f j−1 ) + ( f j −
				f j+1 )
где x0 – нижняя			граница модального интервала;			h	–
величина	модального интервала;			f j , f j −1, f j +1 –		веса
соответствующего			модального,	предмодального			и
			114

M о = 15 + 15		385 − 206		= 15 + 11.9 = 26,9 года.
		− 206 ) + ( 385
( 385			− 339 )

послемодального интервалов. Модальный интервал - это интервал с наибольшим весом. Например, определим моду по данным распределения населения города по возрасту (рис. 4.3).

В данном случае среди населения города чаще всего встречается возраст 26.9 года.

Медиана - это средний вариант, который

разделяет совокупность пополам на две равные части.

В дискретном ряду медиану определяют по порядковому номеру центрального варианта. Например, по данным дискретного ряда табл. 5.2 определим медианный размер проданной мужской обуви. Для этого сначала разделим количество проданных пар обуви на два: 336:2 = 168. Затем с накопленными весами определим, что 168 номер обуви находится в варианте 42. Таким образом, Ме = 42.

Для интервального ряда медиана (Ме)

определяется по формуле:

		∑ f j	− S j −1
Mе = x0 + h		2		,	(5.12)
		fm
		115

где x - нижняя граница медианного интервала; h –

0

величина медианного интервала; ∑ f j - общая сумма

весов; S j −1 - сумма накопленных весов до медианного

интервала; f m - вес медианного интервала.

Например, по данным распределения населения города по возрасту (рис. 4.3) медиана составляет:

			1447	−	591
	Mе = 30+15	2				=30+5.9 =35,9 года.
		339

В данном случае средний год, который разделяет численность населения города на две равные части, равен

35,9 года.

Еще одним видом средних величин является

многомерная средняя. Со второй половины 20 в.

многомерные средние получили большое распространение в форме различных рейтингов разнородных экономических и социальных явлений.

Рейтинги ( R ) часто определяют в процентах (баллах) от 0 до 100% по формуле средней арифметической взвешенной:

			n		m
			∑(xi	f j	) / ∑ f j
	R =					,	(5.13)
			i=1		j =1
					116

где xi - экспертные оценки значений разнородных

(разнокачественных) факторов, которые влияют на

величину рейтинга (от 0 до	100%); f j - значимость
m
факторов (в % к 100%); ∑ f j	= 100%.
j =1

Например, экспертные оценки качества предоставления жилищно-коммунальных услуг населению трех городов составляют: города А - 82%, города В - 76%, города С - 65%. Общее количество населения трех городов - 3608 тыс. человек (100%). Среди них города А - 1353 тыс. человек (37,5%), города В - 1186тыс. человек (32,9%), города С - 1069 тыс. человек (29,6%). Поскольку жилищно-коммунальные услуги предоставляются населению городов, то весомость качества этих услуг можно определить по соответствующему количеству населения. В данном случае многомерная средняя составляет:

R =(82 × 37,5)+(76 × 32,9)+(65 × 29,6)/100=75,0%.

Многомерная средняя трех городов равняется 75,0% от 100%. В городе А она больше среднего уровня на 7% (82 - 75,0), в городе В - на 1%, а в городе С - меньше на 10%.

117

5.4. Показатели вариации

Вариация - это колебания значений вариантов

(xi) единиц совокупности. К основным показателям,

которые характеризуют вариацию относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации.

Размах вариации (R max ) – это разность между

максимальным	и	минимальным	значением
вариантов:
R max = xmax − xmin ,			(5.14)

где xmax и xmin - максимальное и минимальное значение вариантов.

По данным табл. 5,1 размах вариации оценок качества товара фирмы составляет:

Rmax = 5 – 3 = 2 балла.

Среднее линейное отклонение – это среднее

отклонение вариантов ( xi ) от их среднего значения (от

x ). Если в агрегатной формуле средних величин все

варианты ( xi ) заменить их отклонениями от среднего

118

значения, то есть xi − x , то получим среднее линейное

отклонение ( L ):

=

Полная сумма отклонений ( вариантов)

=

L

Полная сумма весов

n

∑

xi − x

f j

x1 − x

f1 +

x2 − x

f2 + ... +

xn − x

fn

=

=

j =1

, (5.15)

m

m

∑ f j

∑ f j

j =1

j =1

где x1 , x2 ,..., xn - варианты;

f1 , f 2 ,..., f m

- веса;

x - средняя взвешенная всех вариантов.

По данным табл. 5.1 среднее линейное отклонение отдельных оценок качества товара фирмы составляет:

L =

Полная сумма отклонений отдельных оценок ( вариантов) = Полное число количества единиц товара (весов )

=

"5"−4.2

4 +

"4"−4.2

4 +

"3"−4.2

2

=

6.4 балла

= 0,64 балла.

4 + 4 + 2

10 единиц товара

В данном случае среднее линейное отклонение показывает, что среднее отклонение отдельных оценок качества товара фирмы от их средней оценки равно 0,64 балла.

119

Дисперсия (σ 2 ) – это средний квадрат

отклонений вариантов ( xi ) от их средней величины:

	n
	∑ ( xi	− x )2 f j
σ 2 =	i =1				,	(5.16)
		m
	∑ f j
	j=1
Среднее квадратическое отклонение (σ )						– это

корень квадратный из дисперсии:

	n
	∑ ( xi	− x )2 f j
σ 2 =	i =1
		m			.	(5.17)
	∑ f j
	j =1

Определим дисперсию и среднее квадратическое отклонение по данным табл. 5,1:

("5"-4.2)2 ×4 + ("4"-4.2)2 × 4 + ("3"-4.2)2 ×2

σ 2 =						=	0,56
				4 + 4 + 2
балла.
	σ = 0.56 =0,75 балла.
	Вариацию			характеризуют	абсолютные		и

относительные показатели. Размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение - это абсолютные показатели

вариации, поскольку все они являются именованными

120