Статистика / СТАТ. Учебник для вузов

текущих цен к полной сумме базисных цен. При этом

количества товаров ( m1k ) выступают в роли весов к полной сумме цен. В индексе цен индексированные

величины - это текущие и базисные цены. Поэтому Χ1i -

это текущие цены (2116 и 1100 евро), а Χ 0i - базисные

(2000 и 1000 евро). Цены, в отличие от количеств товаров, рассчитаны на одну единицу товаров, то есть количества товаров являются как бы их "знаменателями" (например, цена в 2000 евро рассчитана на одну единицу продукции, цены молока - на 1л, нефти - на 1барель или 1т и т.д.). Поэтому в общем индексе цен количества товаров,

которые	"попали"	в	знаменатель	индексированной
				L
величины,	берутся на текущем уровне,			то есть ∏ m1k	-
				k =1
это текущие количества товаров (5500				шт. и 12000	т).
	z
Величины	∏ m 0 f	в	данном индексе нет, поскольку
	f =1

здесь рассматриваются только два, а не три или большее число факторов (эти два фактора индексной модели - количества товаров и цены; их произведение образует двухфакторную модель объема (стоимости) проданных

161

товаров). В результате получим индекс цен, который широко используется в экономике, статистике и бизнесе:

	Ι P =				Полная сумма текущих цен				=
			Полная сумма базисных цен (на текущие товары)
		n		L	z		n
		∑ (Χ1i		∏ m1k	∏ m0f )		∑ (p1iq1i )
	=	i=1		k =1	f =1	=	i=1	=
		n		L	z		n
		∑ (Χ0i		∏ m1k	∏ m0f )		∑ (p0iq1i )
		i=1		k =1	f =1		i=1

=(2116 × 5500 ×1) + (1100 ×12000 ×1) =

(2000 × 5500 ×1) + (1000 ×12000 ×1)

=24,838 млн.евро = 1,08, или 108%.

23 млн.євро

Индекс показывает, что цены проданных товаров в текущем году по сравнению с прошлым годом поднялись на 8%. Индекс объема реализованной продукции определяется простым делением текущей стоимости

	товаров		на	базисную:
	ΙQ =	24,838 млн.евро	= 1,242, или124,2% .	Индекс
		20 млн.евро

показывает, что объем реализованной продукции предприятия увеличился на 24,2%.

Три индекса образуют индексную систему:

Ι q × Ι p = Ι Q , или 1,15 × 1,08 = 1,242.

162

В настоящее время индексы количества товаров и услуг, их цен и объемов реализации (продаж) вычисляются как для стран, регионов, предприятий, фирм и организаций, так и для различных групп населения, "типичных" семей, "стандартных" покупателей и т.д. При этом в экономически развитых странах динамика количеств товаров и услуг, цен и объемов реализации прослеживается не только по годам, кварталам и месяцам, но и в разрезе отдельных декад, недель и дней.

Общая агрегатная формула индексов (7.5), в отличие от традиционных индексных формул, может использоваться не только для двух-трех факторов индексной модели, но и для многофакторных расчетов (при количестве факторов больше 3). По общей формуле индексов можно определять как традиционные, так и совсем новые индексы. Теперь нет никакой

необходимости использовать огромное количество промежуточных, частных индексных формул, которыми заполнены многие страницы специальной статистической литературы. Если же учесть, что полученные по общей формуле агрегатные индексы легко

превращаются	в	соответствующие	средние
арифметические	(7.6)	и средние гармонические (7.7)
		163

взвешенные индексы, то становится очевидным, что

новая рекомендуемая формула (7.5) является основной для построения всех индексов экономических и социальных показателей.

Средняя арифметическая взвешенная формула индексов - это превращенная общая агрегатная формула (7.5). Если в агрегатной формуле текущую

индексированную величину (Χ 1i )

разделить и умножить

на базисную

(на

Χ 0i ),

то

получим

среднюю

арифметическую взвешенную формулу индексов:

n

Χ 1i

L

z

∑ (

Χ 0 i ∏ m1k

∏ m 0 f )

Ι

=

i =1

Χ

0 i

k =1

f =1

=

x

i

n

L

z

∑ ( Χ 0 i ∏ m1k

∏ m 0 f )

i =1

k =1

f =1

n

∑ ( i x i W i )

(7.6)

=

i =1

,

n

∑ W i

i =1

где

Χ1i

і Χ 0i - индексированные величины в

текущем и

базисном

периоде;

i xi = ( Χ1i

Χ 0i ) -

частные

индексы

индексированной

величины;

164

L	z
Wi = ( Χ 0i ∏ m1k ∏ m0 f ) - веса среднеарифметического
k =1	f =1

индекса.

По данным табл. 7.1 среднеарифметический взвешенный индекс количеств товаров составляет:

Ιq = [(5500 5000) × 5000 ×1× 2000]+ [(12000 10000) ×10000 ×1×1000] =
				(5000 ×1× 2000) + (10000×1×1000)
=	23	млн.евро		= 1,15, или115%.
		млн.евро
20

Индекс показывает, что количество проданных товаров в текущем году по сравнению с базисным, прошлым годом увеличилось на 15%.

Как видим, все числа в расчете по среднеарифметической взвешенной формуле индексов полностью совпадают с числами вычислений по агрегатной формуле (7.5). Однако агрегатная формула требует меньше вычислений, поскольку она не нуждается

в определении всех частных индексов ( i xi ) .

Средняя гармоническая взвешенная формула индексов - это также преобразованная общая агрегатная формула (7.5). Если в знаменателе агрегатной формулы

165

базисную индексированную величину ( Χ 0i ) умножить и

разделить на текущую (на

Χ1i ), то получим среднюю

гармоническую взвешенную формулу индексов:

n

L

z

∑ ( Χ 1 i

∏ m 1 k

∏ m 0 f

)

Ι

x

=

i = 1

k = 1

f = 1

=

i

L

z

n

Χ 1 i

∏ m 1 k

∏ m 0 f

f = 1

∑

( Χ 1 i

Χ

0 i )

i = 1

,

(7.7)

n

∑ ( Ζ i )

=

i = 1

n

Ζ i

∑

(

)

i x i

i = 1

L

z

Ζ

i

=(Χ

m

m

)

где

1i ∏

1k ∏ 0f

-

веса

k=1

f =1

среднегармонического индекса.

Например, по данным табл. 7.1 среднегармонический взвешенный индекс цен составляет:

Ι p =		(2116 ×5500 ×1)	+ (1100 ×12000 ×1)			=	24,838 млн.евро	= 1,08, или108%.
		(2116 ×5500 ×1)	+	(1100 ×12000 ×1)			23 млн.евро
		(2116 2000)
			(1100 1000)

166

Индекс показывает, что цены проданных товаров в текущем году по сравнению с прошлым годом повысились на 8%.

Как видим, все числа в расчете по среднегармонической взвешенной формуле индексов полностью совпадают с числами вычислений по агрегатной формуле (7.5). Однако только содержание агрегатной формулы вполне определенно. Это отношение полной суммы текущих цен к полной сумме базисных цен (на текущие товары, то есть на те товары, цены на которые действительно изменились).

Таким образом, агрегатная формула (7.5) является основной формулой для построения общих индексов.

Однако, если известны частные индексы ( i xi ) и их веса

(Wi ), то целесообразно использовать среднюю арифметическую взвешенную формулу (7.6). Если есть

n

числитель агрегатной формулы ( ∑ Ζ i ) и частные i =1

индексы ( ixi ), то можно использовать среднюю гармоническую взвешенную формулу (7.7).

167

7.4. Индексные системы

Система индексов - это совокупность индексов, состоящая из индексов, взаимосвязей и взаимозависимостей между ними, а также особенностей среды их применения. Существует три основных вида индексных систем:

1)системы индексов-сомножителей;

2)системы индексных рядов;

3)системы индексов-индикаторов.

Индексы часто образуют системы индексовсомножителей. Например, по данным табл. 7.1 уже была образована система трех индексов:

Ι q × Ι p = Ι Q , или 1,15 × 1,08 = 1,242,

где Ι q - индекс количеств товаров (или

физического объема продукции); Ι p - индекс цен этих

товаров; Ι Q - индекс объема реализации товаров. Число индексов-сомножителей равно числу показателей, из которых они вычисляются. В многофакторных индексных системах число индексов-сомножителей превышает три индекса.

168

Система индексного ряда - это ряд последовательно вычисленных индексов одного и того же статистического показателя. Например, существуют ряды индексов количеств товаров (физических объемов продукции), индексов цен, индексов доходов и т.п. Системы индексных рядов зависят от базы сравнения. В зависимости от базы сравнения различают следующие основные системы индексных рядов:

1)системы базисных индексов динамики;

2)системы цепных индексов динамики;

3)системы индексов выполнения планов, проектов, программ, стандартов, прогнозов;

4)системы индексов сравнения аналогичных предприятий, организаций и учреждений;

5)системы территориальных индексов.

Система базисных индексов - это ряд индексов динамики одного и того же статистического показателя с постоянной базой сравнения.

Система цепных индексов - это ряд индексов динамики одного и того же статистического показателя с переменной базой сравнения от индекса к индексу.

Система индексов выполнения планов, проектов, программ, стандартов, прогнозов - это ряд

169

индексов одного и того же статистического показателя, базой сравнения которого является соответствующая плановая, проектная, программная, стандартная или прогнозная величина этого показателя.

Система индексов сравнения аналогичных предприятий, организаций и учреждений - это ряд индексов с базой сравнения лучших показателей соответствующих предприятий, организаций и учреждений. В п. 6.3 отмечалось, что для базы сравнения аналогичных предприятий, организаций и учреждений надо выбирать только лучшие статистические показатели, которые позволяют полнее выявить все неиспользованные резервы.

Система территориальных индексов - это ряд индексов, характеризующих изменение статистического показателя в разрезе территорий (в разрезе отдельных стран, регионов, районов, городов и т.д.). При этом базой сравнения может быть как лучший или средний показатель для этих территорий, так и показатель определенной территории.

Вычисления базисных и цепных рядов частных индексов тождественны расчетам базисных и цепных темпов изменения в рядах динамики. Примеры рядов

170