Напряжение и деформация сплошной среды напряженное состояние в точке тела

Упругое твердое тело представляет собой наиболее простую и широко распространенную модель твердого тела. Для таких тел характерно отсутствие остаточной деформации при снятии внешних сил. Здесь А_деф.=А_{восстан.}

Предположим, что упругое тело находится под действием внешней нагрузки. Для определения напряжений в любой точке тела вырезаем элементарный куб в окрестностях этой точки. Действие отброшенных частей тела заменяем напряжениями на гранях куба, которые разложим по направлениям осей координат.

Напряжения, перпендикулярные граням куба, называются нормальными и обозначаются , а действующие в плоскости грани - касательными и обозначаются  с соответствующими индексами (рис.1).

Рис.1

Схема компонент напряжений на гранях куба

Из условия равновесия элементарного куба можно записать, что _xz=_zx;

_yz=_zy;

_xy=_yx.

Таким образом, напряженное состояние в точке описывается шестью компонентами напряжений - _x,_y,_z,_xz, _yz, _xy.

Можно подобрать ориентацию граней куба так, что

_xz=0, _yz, =0, _xy=0.

В этом случае соответствующие нормальные напряжения, называемые главными нормальными напряжениями, обозначаются ₁,₂,₃, причем ₁ ₂ ₃.

Сумма нормальных напряжений, действующих по трем взаимно перпендикулярным направлениям, есть величина постоянная:

_x+_y+_z = ₁+₂ +₃ = 3₀,

где ₀ - среднее нормальное напряжение (гидростатическое давление в точке).

По аналогии с главными нормальными напряжениями, рассматриваются и главные касательные напряжения. Они могут быть определены по формулам:

Деформации растяжения или сжатия принято обозначать .

Согласно закону Гука величина деформации прямо пропорциональна нормальному напряжению

,

где Е - модуль деформации при растяжении и сжатии (модуль Юнга).

Рассматриваемая же обобщенный закон Гука, можно сделать вывод, что упругое тело характеризуется модулем Юнга и коэффициентом Пуассона и что этот закон справедлив только для изотропного тела, в то время, как чаще приходится иметь дело с анизотропными телами. Это значительно усложняет их математическое описание.

Применительно к горным породам закон Гука соблюдается лишь в области малых деформаций.

Для решения большинства задач механики горных пород рекомендуется исходить из следующих общих положений:

1. Направления главных нормальных напряжений и главных деформаций удлинения совпадают.

2. Объемная деформация пропорциональна среднему номинальному напряжению и описывается уравнением

где - начальный объем элементарного куба;

- изменение объема элементарного куба под действием внешней нагрузки;

K - модуль объемной деформации;

,

где - коэффициент Пуассона

,

где - относительная поперечная деформация;

- относительная продольная деформация.

3. Главные касательные напряжения пропорциональны главным деформациям сдвига

,

где - модуль пластичности;

модуль G - деформации при сдвиге в пределах пропорциональности.

Коэффициент пуассона , модуль упругости (юнга) е и модуль сдвига g

Измерив относительные поперечные _b и продольные _i деформации, можно определить коэффициент Пуассона () из следующего соотношения

Точность определения коэффициента Пуассона значительно ниже, чем модуля упругости (Юнга).

Для горных пород  колеблется в пределах от1,0 до 0,45.

Коэффициент Пуассона для горных пород не является величиной постоянной. На величину  оказывает влияние способ определения, вид деформации, структура, текстура, глубина залегания и др.

Модуль Юнга (Е). Для минералов и некоторых горных пород, подчиняющихся закону Гука модуль упругости Е можно определить по формуле

кг/см² или (бар)

где - конечная нагрузка в рассматриваемом интервале нагрузок, в кг;

- начальная нагрузка в этом же интервале, кг;

- длина, на которой замеряются деформации, см;

S - площадь поперечного сечения образца, см²;

- конечная деформация в рассматриваемом интервале нагрузок, см;

- начальная деформация в том же интервале, см.

Установлено, что между величинами модулей упругости при растяжении Е_р, изгибе Е_н и сжатии Е_сж существует неравенство

Е_р  Е_U « Е_сх

Модуль сдвига G определяется лишь при испытании горных пород на кручение (т.е. редко).

Если известны  и Е, то G можно легко вычислить из формулы

Е = 2G ( 1 +  )

К моменту перехода от упругого деформирования к пластическому, в твердом теле достигается предельное напряжение или предел упругости.

Пределом упругости называют то максимальное напряжение, при котором почти вся деформация является упругой и обнаруживаются только первые следы остаточной деформации.

Точное измерение предела упругости представляет большую трудность, поэтому для горных пород определяют более легко измеримую величину - предел текучести.

Предел текучести соответствует тем напряжениям, при которых начинается заметная текучесть материала, когда остаточная деформация достигает 0,2-0,5% от величины образца.