Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика.
ЛЕКЦИЯ № 9
.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах. Гармонические колебания. Амплитуда, круговая частота и фаза гармонического колебания. Комплексная форма представления гармонических колебаний. Векторная диаграмма. Свободные колебания. Энергия колебаний. Гармонический осциллятор. Математический, физический и пружинный маятники.
Гармонические колебания и их характеристики.
Кинематика гармонического колебания.
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости во времени.
Соответственно, сами эти процессы называются колебательными или периодическими. В зависимости от природы процесса различают механические, электромагнитные, биологические и т.д. колебания. В этом семестре мы с вами будем рассматривать по большей части механические колебания.
Колеблющееся материальное тело, помещённое в упругую среду, будет увлекать за собой и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды, т.е. оно будет являться источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны с определённой скоростью. Этот процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной..
Изучим основные характеристики колебательных процессов на примере механических колебаний материальной точки. Простейший пример колебаний – изменение со временем координаты вдоль оси 0Х ( или оси 0Y ) материальной точки D, равномерно вращающейся по окружности ( см. рис. 9.1 ).
Рис. 9.1. Равномерное вращение материальной точки по окружности как пример колебательного процесса.
Материальная точка М, обладающая одной степенью свободы и движущаяся вдоль некоторой линии, может с течением времени сколько угодно удаляться от своего исходного положения – это будет чисто поступательное движение. Колебательным же движением точки М будет называться такое движение, когда точка М не выходит за пределы какого-либо отрезка КL на этой линии и многократно проходит через одни и те же положения внутри отрезка КL.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин (или каких-то характерных параметров), описывающих поведение системы, повторяются через равные промежутки времени.
Наименьший промежуток времени Т, в течение которого физические величины, характеризующие колебательный процесс, в точности повторяют свои первоначальные значения, называется периодом колебания.
Простейшими периодическими колебаниями являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса:
S (t) = A сos ( ωot + φ ) = A Sin ( ωot + φ + π/2 ) ( 9.1 )
Система, осуществляющая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.
В уравнении ( 9.1 ) величина А, представляющая собой максимальное значение колеблющейся величины, называется амплитудой колебания; величина ωо называется круговой (циклической) частотой; величина φ - начальной фазой колебания в момент времени t = 0, величина ( ωоt + φ ) – фаза колебания в момент времени t.
Частотой колебания υ называется число полных колебаний, совершенных системой за единицу времени ( обычно – за 1 секунду ):
υ = 1 / Т ( 9.2 )
За промежуток времени, равный периоду колебания Т, фаза колебания получает приращение, равное по величине 2π радиан, так что:
ωо (t + T) + φ = (ωоt + φ ) + 2π; Т = 2π/ωо; ωо = 2πυ ( 9.3 )
Единица частоты – герц (Гц); [Гц] = [с-1].
Пусть мы имеем гармонически колеблющуюся величину S(t), удовлетворяющую уравнению (9.1).
Тогда:
(
9.4 )
(
9.5 )
т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой ωо.
Из уравнений ( 9.1 ) и ( 9.5 ) можно получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний, описывающее колебания гармонического осциллятора:
,
( 9.6 )
где S = А соs (ωоt + φ) – решение этого дифференциального уравнения.
Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной системе энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему ( систему, совершающую колебания ). Собственные колебания являются гармоническими.