3.2. Совмещение преобразований. Преобразование относительно заданного центра

Часто над объектами приходится последовательно выполнять несколько преобразований. Пусть последовательность преобразований задана матрицами W₁, W₂, . . . , W_n. Рассмотрим преобразование точки с координатами C = [x y 1].

В результате преобразования W₁ получим

, (3.9)

а после преобразования W₂

(3.10)

Продолжая выполнять очередные преобразования, в итоге будем иметь

(3.11)

Если вычислить матрицу , то заданную последовательность преобразований можно заменить одним результирующим преобразованием с матрицей U.

Замечание. Умножение матриц некоммутативно, поэтому матрицы W₁, W₂, . . . , W_n следует умножать в той последовательности, в которой они заданы.

Такие элементарные преобразования, как масштабирование и поворот, приведенные в форме (3.6) и (3.8), выполняются относительно начала координат. Если же преобразование W необходимо выполнить относительно произвольно заданного центра (x_c , y_c), то его производят в следующей последовательности.

1. Заданную точку P с матрицей координат С и центр преобразования сместить преобразованием M так, чтобы центр преобразования совпал с началом координат:

(3.12)

2. Выполнить над P заданное преобразование W относительно начала координат, а следовательно, и относительно заданного центра преобразования:

(3.13)

3. Обратным преобразованием перемещения M^-1 точку и центр преобразования сместить так, чтобы центр преобразования снова оказался на исходном месте:

(3.14)

Матрица преобразования смещения M и обратная ей матрица M^-1 имеют следующий вид:

(3.15)

Таким образом, матрица U результирующего преобразования относительно заданного центра вычисляется как

(3.16)

Предварительный расчет матрицы U перед выполнением преобразования позволяет сократить объем вычислений при расчете новых координат точек.

3.3. Преобразование алгебраических линий

Линейные геометрические преобразования можно применять не только к отдельным точкам, но и к другим объектам, имеющим аналитическое описание. В частности, можно производить преобразование алгебраических линий.

Уравнение прямой линии общего положения

a₁ x + a₂ y + a₃ = 0 (3.17)

представим в матричной форме:

C  A = 0, (3.18)

где C  , A  .

Пусть над линией необходимо выполнить преобразование с матрицей W, т.е. всякой точке на прямой с матрицей исходных координат С нужно поставить в соответствие точку с матрицей координат C  = C  W.

Из последнего соотношения выразим C. Для этого умножим обе части равенства на матрицу W ^-1, обратную матрице W:

C   W ^-1 = C  W  W ^–1. (3.19)

После сокращения получим С = C   W ^–1. Подставим выражение для C в исходное уравнение прямой (3.17):

C   W ^-1  А = 0. (3.20)

Поскольку C – матрица координат после преобразования, то уравнение (3.20) будет соответствовать той же прямой после преобразования, а W ^-1  А – это матрица-столбец коэффициентов уравнения прямой после преобразования, т.е. для преобразования с матрицей W формула для расчета матрицы A новых коэффициентов уравнения прямой имеет следующий вид:

A = W ^-1  А. (3.21)

Рассмотрим теперь преобразование линии 2-го порядка общего вида с уравнением

(3.22)

Представим (3.22) в матричной форме:

C  A  C ^Т = 0, (3.23)

где – матрица коэффициентов уравнения линии. Причем матрица A симметрическая, т.е. a_ij = a_ji для i, j = 1, 2, 3. Матрица-столбец C ^Т означает транспонированную матрицу C.

Как и в предыдущем случае, сделаем в уравнении (3.23) замену С = C   W ^–1. В результате получим

С  W ^–1  A  (C   W ^–1)^T = 0. (3.24)

Чтобы привести (3.24) по форме к первоначальному виду, воспользуемся следующей известной в математике формулой о транспонировании произведения матриц: (C   W ^–1)^T = (W ^–1)^T  (C )^T. На основании нее уравнение (3.24) можно представить следующим образом:

С  W ^–1  A  (W ^–1)^T  (C )^T = 0. (3.25)

Сравнивая (3.23) и (3.25), можно заключить, что W ^–1  A  (W ^–1)^T должно быть матрицей коэффициентов уравнения линии. Следовательно, формула для вычисления новых коэффициентов уравнения линии 2-го порядка после преобразования W будет иметь следующий вид:

A = W ^–1  A  (W ^–1)^T. (3.26)

Приведенные здесь выводы позволяют производить геометрические преобразования над любыми объектами, заданными в аналитическом виде.