2.1. Двумерные примитивы
В компьютерной графике простейшие геометрические объекты, которые служат элементами для синтеза более сложных объектов, принято называть примитивами. К двумерным примитивам относят точки, линии, отрезки прямых (векторы) и кривых линий, многоугольники, ограниченные области плоскости. Границей области могут служить многоугольник или кривая линия, например окружность. Конкретный состав используемых примитивов в зависимости от прикладного назначения программы может быть различным.
Примитивы характеризуются описанием их геометрии и видом закрашивания. Закрашивание может быть однотонным, т.е. задаваться кодом цвета. Кроме этого используется текстурное закрашивание ограниченных областей с помощью образцов текстур. Рассмотрим описание геометрии наиболее общих видов примитивов.
Точки на плоскости обычно задаются своими координатами (x, y).
Для аналитического задания линий используют алгебраические уравнения или системы функций. Алгебраические линии описываются алгебраическими уравнениями вида F(x, y) = 0. Из них на практике чаще используют прямые линии и линии второго порядка (эллипсы, параболы, гиперболы).
Прямые линии в алгебраической форме задаются уравнением первого порядка:
a1 x + a2 y + a3 = 0. (2.1)
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
a11 x2 + a22 y2 + 2 a12 x y + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0. (2.2)
Произвольные гладкие кривые принято задавать параметрическими функциями вида
.
(2.3)
Матрица-строка P(t) содержит функции x(t), y(t) от общего параметра t, которые определяют значения координат x, y всех точек параметрической кривой. Если дополнительно ограничить область изменения параметра t1 t t2, то на линии будет выделен отрезок. Например, отрезок параболы между точками (x0, y0) и (x0 + kx, y0 + ky) задается функциями x(t) = x0 + kx t, y(t) = y0 + ky t2 и ограничением 0 t 1.
В качестве базисных функций для x(t) и y(t) используют полиномиальные функции, такие, как полиномы Лежандра, Ньютона, Эрмита, Бернштейна. Выбор базиса зависит от постановки задачи и требований к качеству кривой. Полиномиальные параметрические кривые называются сплайнами.
Кроме выбора базиса для описания конкретной кривой нужно задать начальные условия. Начальные условия определяют расположение, размеры и общий характер линии, поэтому при конструировании сплайнов в качестве начальных условий стремятся использовать такие, которые имеют понятный геометрический смысл: узловые точки кривой, касательные векторы к кривой. В то же время начальные условия должны однозначно определять все коэффициенты функций x(t) и y(t).
Многоугольник общего вида описывается списком его вершин, т.е. списком точек P1, P2,…, Pn на плоскости, которые последовательно соединяются отрезками прямых, причем имеется в виду, что последняя точка соединяется с первой:
Pg = (P1, P2,…, Pn). (2.4)
В этом смысле многоугольник является частным случаем ломаной линии и не представляет особого интереса для синтеза более сложных объектов, поэтому в компьютерной графике, говоря о многоугольнике, в качестве примитива обычно рассматривают ограниченную многоугольную область, т.е. область плоскости с границей в виде многоугольника (рис. 2.1).
Частными случаями многоугольников являются правильные многоугольники, т.е. многоугольники, у которых равны все стороны и углы между смежными сторонами. Правильный многоугольник может быть вписан в окружность (рис. 2.2), поэтому правильные многоугольники удобно задавать через параметры описанной окружности (xc, yc), R и число сторон n.
Следует только отметить, что в этом способе задания однозначно не определяется расположение вершин многоугольника на окружности. Однако если в программной процедуре расчета вершин многоугольника определенный порядок их расположения на окружности выбирается по умолчанию, то в большинстве случаев это бывает приемлемым.
|
Рис. 2.1 |
Рис. 2.2 |
Области на плоскости могут ограничиваться не только многоугольниками, но и кривыми линиями, например окружностями, но для сокращения объема вычислений при визуализации их обычно аппроксимируют многоугольниками, т.е. все ограниченные области приводятся к единому полигональному формату.