для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 2.Логические высказывание
.pdfВысказывание - повествовательное предложение (утверждение, суждение), относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Как правило, высказывания обозначают заглавными буквами латинского или русского алфавита. Если высказывание А истинно, то записывают А — «и», если ложно, то А - «л».
Элементарное высказывание - высказывание, которое нельзя разложить на отдельные части, являющиеся самостоятельными высказываниями.
Абсолютно истинное высказывание - высказывание, истинное -при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний. Обозначается «И».
Абсолютно ложное высказывание - высказывание, ложное при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний. Обозначается «Л».
Равносильные {эквивалентные) высказывания - высказывания, которые одновременно истинны или одновременно ложны при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний, при этом записывают: А - В (читается «А равносильно В» или «А эквивалентно В»).
Высказывательная форма - предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных. Например, «число х > 6» - высказывательная форма.
Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.
Отрицанием некоторого высказывания р называется такое высказывание, которое истинно, когда р ложно, и ложно, когда р истинно. Обозначается отрицание высказывание р символом J? , читают «не р» или «неверно, что/ч». Определение отрицания можно записать в виде следующей таблицы, которую называют таблицей истинности.
Таблица истинности — таблица, с помощью которой устанавливается истинное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний.
Итак, конъюнкцией двух высказываний р и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Конъюнкция обладает следующими свойствами: 1) свойство коммутативности, т.е. p q= q р;
2)свойство ассоциативности, т.е. (р q) т - р (q т);
Итак, дизъюнкцией двух высказываний р и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний р или q.
Другими словами, дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания р или q и истина во всех остальных случаях.
Дизъюнкция обладает следующими свойствами:
1)свойство коммутативности, т.е. р v q — q v p;
2)свойство ассоциативности, т.е. (р v q) v m - p v (q v m);
3) |
свойство |
дистрибутивности |
конъюнкции |
относительно дизъюнкции, т.е. (р v q) |
m =(р m) v (q m); |
|
|
|
|
4) |
свойство |
дистрибутивности |
дизъюнкции |
относительно конъюнкции, т.е. (р q) v |
m =( pvm) (q v m):
Итак, импликацией двух высказываний p и q называется высказываниеc p => q, ложное тогда и только тогда, когда р истинно, a q ложно.
Операция импликация двух высказываний может быть выражена через операции
отрицания и дизъюнкции, т.е. для любых двух высказываний /;ия имеет место равенство:
Равносильность данного равенства можно установить при помощи таблицы истинности.
Итак, эквиваленцией двух высказываний рад называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания р и q истинны или ложны одновременно (т.е. если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно, то эквиваленцию считают ложной).