для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 28.Предел последовательности, предел функции одой переменой

Предел последовательности в метрическом пространстве.

Опр. Отображение Множества натуральных чисел N в множестве Х называется последовательностью. N Х

В зависимости от природы элементов можно говорить о последовательности функции, отрезков, чисел и так даллия. В любом случае, последовательность - это упорядоченное счетное множество.

Опр. Элемент Х называется пределом последовательности {xn}, если для любого как угодно малого Е 0 можно указать такое натуральное число n0=n0(E), что при всех значениях n n0, выполняется следующее условие: расстояние между xn и n меньше числа Е. (р(хn;n) E Геометрически это можно представить как точки находящиеся в окружности с радиусом

Е.

Важным частным случаем определения (1) является предел числовой последовательность где Р(х,хn)=xn-x.

Теорема (о единственности предела). Всякая последовательность в метрическом пространстве может иметь не более одного предела.

Предел отображения.

Пусть заданы метрические пространства Х и У, в которых введены метрические р(х) и р(у) кроме того задано метрическое отражение х y, которое по другому можно записать у=f(х).

Опр.(1) Элемент у0 называется пределом функции у=f(х) в точке х0, если для любого как угодно малого Е 0 существует такое число , зависящее от Е , что при всех значениях, удовлетворяет условию. 0 р(хn;n) , 0 р(f(х);fn(x)) E

Геометрически это можно интерпретировать так: каждому числу хn у которого p(x0,xn) соответствует уn у которого р(у0;уn) Е.

Всякое отображение также может иметь не более 1 предела при х х0. Запишем частные случаи общего определения (1)

1. Рассмотрим функцию одной переменой у=f(х) где у и х действительные числа. Опр. Число у0 называется пределом функции y=f(x) при х стремящимся к х0, если для

любого как угодно малого Е 0, можно указать 0, такое что бы выполнялись условия:

Ix-x0I и Iу-у0I Е

Рассмотрим поведение функции, когда х стремиться к бесконечности.

Опр. Число у0 называется пределом функции у=f(х) при х стремящемся к бесконечности, если для любого как угодно малого Е 0 р=р(Е) 0 р 0, такое что для всех значение IxI p выполняется неравенство Iу-у0I Е.

Геометрически такое определение можно истолковать в виде следующего изображения.

Предел функции нескольких переменных

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки

a = (a1, a2, … , an) О Rn , за исключением, быть может, самой точки a.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a1, a2, … , an),

если

Обозначение: lim (x → a) f(x) = A.

В пространстве R2 предел функции f(x,y) в точке a(a1, a2) принято обозначать следующим образом:

lim (x → a1 y → a2 ) f(x, y) = A или lim (x →a1 y → a2) f(x, y) = A.

Замечания.

Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал

(a − δ, a + δ), а n–мерный открытый шар

Если a — граничная точка области определения D(f) функции f, то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции,

подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева)

и правосторонним пределом (пределом справа).

Односторонние пределы и виды точек разрыва для числовой функции одной переменной.

Понятие одностороннего пределов функций в точке х0 включает в себя левосторонний предел, или предел слева, который записывается формулой:

x x0, и правосторонний предел, который записывается формулой: