63

4.2. Расчет ABCD-матрицы отрезка связанных многопроводных линий

Рассмотрим отрезок связанных многопроводных линий передачи для квазипоперечных волн (см. рис. 4.8). Пусть он содержит n незаземленных проводников и один заземленный провод (не отображен).

1

2

U1, I1

3

U2, I2

n

0

l

z

Рис. 4.8. Отрезок связанных многопроводных линий передачи

Как мы уже знаем, в случае четырехполюсника напряжение U1 и ток I1 на входе 1 отрезка линии связаны с напряжением U2 и током I2 на выходе 2 с помощью ABCD-матрицы равенством (4.1). При этом напряжения U1, U2 и токи I1, I2, а также параметры A, B, C и D являются обычными числами, то есть скалярными величинами.

Рассчитаем ABCD-матрицу для случая n-проводного отрезка линии передачи. В рассматриваемом случае напряжения U1, U2 и токи I1, I2 являются уже векторами, i-е составляющие которых равны напряжениям U1i, U2i и токам I1i , I2 i на i-м проводнике. Поэтому параметры A, B, C и D будут матрицами.

Выбирая отсчет фазы в точке z =l, формулы (1.53) для распределения тока и напряжения перепишем в виде

	Ii (z) = ∑n	[Iim X mпад eikm (z −l) + Iim X mотр e−ikm (z −l) ],
	m =1	[Uim X mпад eikm (z −l) −Uim X mотр e−ikm (z −l) ].	(4.41)
	Ui (z) = ∑n

m =1

Используя (4.41) при z =0 и z =l, получаем

	64
U1i = ∑n	Uim [X m− cos θm − iX m+ sin θm ],
m =1
I1i = ∑n	Iim [X m+ cos θm − iX m− sin θm ],
m =1
	n
	U2i = ∑ Uim X m− ,
	m=1
	n
	I2i = ∑ Iim X m+ ,
	m=1
где
X m± = X mпад ± X mотр,		θm = kml .

Уравнения (4.42), (4.43) можно переписать в матричной форме:

U			Ucos θ	− i Usinθ		−
I	1		= − iIsinθ	I cos θ	X	+	,
1					X

U2		=	U 0 X−			,
				0 I	+
I2				X

(4.42)

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

где									X± = [X m± ],
U =[Uim ],						I =[Iim ],									(4.47)
			θ1		0	0			0 0		0
θ =				0	θ2	0	0 =		0 0		0				(4.48)
						,					.
				0 0
						θn			0 0		0
Из (4.46) находим
					X−	U−1 0		U2
					X+	= 0	I−1	I2 .							(4.49)
Подставляя (4.49) в (4.45), получаем
U	1				Ucos θ U−1		− i Usin θI−1				U	2		.	(4.50)
			=			θ U−1			θI−1
I1				− i Isin			I cos				I2

Сравнивая (4.50) с (4.1), находим искомую ABCD-матрицу n-провод- ного отрезка линии передачи

A B		U cos θ U−1		− i Usin θI−1			(4.51)
C D	=		−1	I cos θI	−1	.
	− i Isin θ U

65

4.3. Связь между ABCD-матрицей и S-матрицей 4n-полюсника

Выразим S-матрицу 4n-полюсника через его ABCD-матрицу. Для этого матричное уравнение (4.10), связывающее напряжение U1 и ток I1 на n входах 4n-полюсника с векторами напряжения U2 и тока I2 на его n выходах, распишем покомпонентно:

	U1	= A U2	+ BI2	,	(4.52)
	I1	= CU2 + DI2 .

Выразим в (4.52) напряжения и токи через волновые переменные:

	Z10 2 (a1 + b1) = A Z10 2 (a2	+ b2 ) + B Z0−1 2 (−a2	+ b2 ),	(4.53)
	Z0−1 2 (a1 − b1) = CZ10 2 (a2 + b2 ) + DZ0−1 2 (−a2 + b2 ).

где Z0 – диагональная матрица, диагональные элементы которой равны волновым сопротивлениям линий на входах и выходах 4n-полюсника. Решая эту систему матричных уравнений, находим

b1 = [(A + Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1]−1[− (A + Z0−1B)−1+ (D + Z0C)−1]a1 +
		+ [(A + Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1]−1 ×
		×[(A + Z0−1B)−1(A − Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1(D − Z0C)]a2 ,						(4.54)
b	2	= 2(A + Z−1B + D + Z		C)−1a + (A + Z−1B + D + Z			C)−1 ×
		0	0	1	0	0

×(−A + Z0−1B + D − Z0C) a2.

Отсюда получаем искомую S-матрицу для 4n-полюсника

S	S		(4.55)
S = S11	S12	,
21	22
где
S11 = [(A + Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1]−1[− (A + Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1],
S12 = [(A + Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1]−1 ×
×[(A + Z0−1B)−1(A − Z0−1B)−1 + (D + Z0C)−1(D − Z0C)],			(4.56)

S21 = 2(A + Z0−1B + D + Z0C)−1,

S22 = (A + Z0−1B + D + Z0C)−1(−A + Z0−1B + D − Z0C) .

66

4.4. Расчет S-матрицы микрополоскового решетчатого фильтра

Микрополосковый решетчатый фильтр представляет собой отрезок связанных микрополосковых линий. Каждый полосковый проводник такого отрезка является микрополосковым резонатором. Все микрополосковые резонаторы фильтра электромагнитно связаны между собой по всей их длине. Вход и выход фильтра подключаются непосредственно к проводникам крайних резонаторов, как показано на рис. 4.9. Такое подключение резонаторов называют кондуктивным. Как и во всяком фильтре, каждый из его микрополосковых резонаторов настроен с учетом влияния всех его связей на центральную частоту полосы пропускания. В частности это может достигаться путем регулирования ширины полосковых проводников.

а

б

Рис. 4.9. Микрополосковый решетчатый фильтр:

а – диагональное кондуктивное подключение; б – смежное кондуктивное подключение

Как видно из рис. 4.9, существуют два способа симметричного подключения решетчатого фильтра – диагональный и смежный. Мы будем рассматривать случай диагонального кондуктивного подключения фильтра. Такое подключение, как показывают исследования, обеспечивает более симметричные склоны полосы пропускания.

Микрополосковый решетчатый фильтр наиболее просто можно рассчитать, используя приближенную модель (рис. 4.10), которая содержит три каскадно соединенных отрезка связанных микрополосковых линий. На схеме вытянутые прямоугольники изображают протяженные проводники отрезков микрополосковых линий. Два прямоугольника с разрывом – вверху и внизу – изображают подводящие линии внешнего тракта СВЧ. Сплошными линиями показаны соединения протяженных проводников. Эти соединительные линии имеют нулевую физическую длину. Свободные концы проводников отрезков

67

замкнуты на емкости Ci . Эти емкости моделируют эффективные концевые емкости разомкнутых концов полосковых проводников. Их величина определяется шириной проводника W, толщиной подложки h и диэлектрической проницаемостью εr ее материала.

								1
С1							3	8		13	18			23	28							С1
							4	9						24	29
С2										14	19											С2
							5	10		15	20			25	30
С3																						С3
							6	11						26	31
С4										16	21											С4
							7	12						27	32
С5										17	22											С5
														2
				0					l1
												l1 +l2					l z

Рис. 4.10. Расчетная модель микрополоскового решетчатого фильтра

Пусть на верхний вход фильтра, который обозначен цифрой 1, падает волна заданной амплитуды a1. Этой амплитуде отвечает напряжение и ток на входе 1

U1 = a1 Z1 ,

I1 = a1 Z1 ,

(4.57)

где Z1 – волновое сопротивление линии на входе 1. На нижний вход фильтра, который обозначен цифрой 2, падает волна амплитудой a2. Этой амплитуде отвечает напряжение и ток

U2 = a2 Z2 , I2 = a2 Z2 , (4.58)

где Z2 – волновое сопротивление линии на входе 2. Напомним, что положительные направления токов на входах направлены внутрь четырехполюсника.

Падающие на фильтр волны a1 и a2 вызывают в подводящих линиях отраженные волны b1 и b2, а также вызывают в каждом проводнике фильтра по две волны, распространяющиеся в противоположные направления. Пронумеруем все вторичные волны, начиная с b1 и b2, как показано на рис. 4.10. Амплитуды вторичных волн обозначим Xi , где i =1, 2, …, 32. Номера волн, распространяющихся слева направо, расположим на левом конце проводни-

68

ка, а номера волн, распространяющихся справа налево, расположим в правом конце проводника.

Следует иметь в виду, что если проводник принадлежит отрезку связанных микрополосковых линий, то волна, номер которой расположен на этом проводнике, распространяется одновременно и по всем остальным проводникам этого отрезка.

Приступим к написанию системы уравнений для амплитуд Xi. Положительное направление для всех токов на проводниках отрезков связанных микрополосковых линий выберем слева направо, то есть вдоль оси z. Начнем с емкостей Ci, подключенных к левому краю левого пятипроводного отрезка. Все эти емкости имеют координату z =0.

Сформулируем сначала уравнение для произвольной емкости C, подключенной к левому краю какого-либо проводника. Заряд Q на емкости C,

находящейся под напряжением U, выражается формулой
Q = CU.	(4.59)

Так как ток I на левом конце проводника является током разряда емкости, то он связан с Q равенством

I = −∂Q/∂t.

(4.60)

Подставляя (4.59) в (4.60) и учитывая временную зависимость (1.1), получаем общее уравнение для левого конца проводника, замкнутого на емкость

I −iωCU = 0.

(4.61)

В соответствии с общим уравнением (4.61) записываем первые пять уравнений для емкостей Ci (i = 1, 2, … , 5), подключенных к левому краю пятипроводного отрезка, то есть для точек z =0:

∑5 [(Iim − iωCiUim )X 2+m + (Iim + iωCiUim )X 7+m ]= 0 .	(4.62)
m =1

Здесь первое слагаемое в квадратных скобках содержит вклад от вторичных волн с номерами от 3 до7, распространяющихся слева направо сразу по всем пяти проводникам левого отрезка связанных линий. Эти волны имеют амплитуды X3, X4, …, X7.

Второе слагаемое в квадратных скобках содержит вклад волн с номерами от 8 до12, распространяющихся справа налево. Эти волны имеют амплитуды X8, X9, …, X12. Так как они распространяются против оси z, а поло-

69

жительное направление токов выбрано вдоль этой оси, знак перед амплитудами напряжений Ui m этих волн изменен. Набег фаз в (4.62) отсутствует, так как их отсчет для всех волн на левом отрезке производится от точки z =0.

Запишем теперь уравнения для пяти точек соединения правых концов левого отрезка с левыми концами среднего отрезка, то есть для точек z =l1. Первые пять уравнений для этих точек являются уравнениями непрерывности напряжения по обе стороны соединения проводников:

∑5 [Uim eiθ1m X 2+m −Uim e−iθ1m X 7+m −Uim X12+m +Uim X17+m ]= 0 , (4.63) m =1

где θ1m =km l1 – электрическая длина левого отрезка для m-й волны. Здесь первые два слагаемых в квадратных скобках обусловлены волнами на левом отрезке, а последние два слагаемых – волнами на центральном отрезке. Набег фаз для последних двух слагаемых отсутствует, так как он отсчитывается от левого края центрального отрезка, то есть от точки z =l1.

Запишем еще одно уравнение непрерывности напряжения на входе 1 в точке кондуктивного подключения резонатора (i = 1) при z =l1:

Z1 X1 + ∑5 [−U1m X12+m +U1m X17+m ]= − Z1a1 .	(4.64)
m =1

Здесь выражение в квадратных скобках описывает напряжение на левом конце центрального отрезка. Остальные слагаемые описывают напряжение на входе 1, складывающееся из напряжения падающей волны с амплитудой a1 и напряжения отраженной волны с амплитудой b1 =X1.

Четыре уравнения непрерывности тока для проводников с i = 2, 3, …, 5 при z =l1 имеют вид

∑5 [Iim eiθ1m X 2+m + Iim e−iθ1m X 7+m − Iim X12+m − Iim X17+m ]= 0. (4.65) m =1

Пятое уравнение непрерывности тока для проводника с i=1 при z =l1 имеет вид

−X1 + ∑5 [I1m eiθ1m X 2+m + I1m e−iθ1m X 7+m − I1m X12+m − I1m X17+m ]=	− a1	. (4.66)
Z1 m =1	Z1

Это уравнение получается из условия, что сумма всех токов, входящих в точку соединения трех проводников, равна нулю.