70

Аналогичным образом получаем одиннадцать уравнений для пяти точек соединения проводников (i = 1, 2, … , 5), имеющих координату z =l1 +l2:

	∑5	Uim [eiθ2m X12+m − e−iθ2m X17+m − X 22+m + X 27+m ]= 0,			(4.67)
	m =1
			5
			− Z2 X 2 + ∑U5m [X 22+m − X 27+m ]=	Z2 a2 ,	(4.68)
			m =1
	∑5		Iim [eiθ2m X12+m + e−iθ2m X17+m − X 22+m − X 27+m ]= 0	(i ≠ 5) ,	(4.69)
	m =1
−X 2	+ ∑5		I5m [eiθ2m X12+m + e−iθ2m X17+m − X 22+m − X 27+m ]= − a2 ,		(4.70)
Z2	m =1			Z2

где θ2m =km l2 – электрическая длина центрального отрезка для m-й волны. Наконец, пять уравнений для правых концов проводников правого

отрезка, замкнутых на емкости, то есть уравнения для точек с координатой z =l, имеют вид

∑5 [(Iim + iωCiUim )ei θ1m X 22+m + (Iim − iωCiUim )e−i θ1m X 27+m ]= 0 . (4.71) m =1

Уравнения (4.71) получаются из условия (4.61), в котором изменен знак перед током, так как этот ток в случае подключения емкости к правому концу проводника является уже не вытекающим из емкости, а втекающим в нее.

Таким образом, мы записали 32 уравнения для 32-х неизвестных амплитуд Xi . Эта система уравнений решается численно. Затем, так как b1 = X1 и b2 = X2, элементы матрицы в соответствии с определением (4.20) находятся по формулам

S11

= X1

a

=1, a

2

=0 ,

S21 = X 2

a

=1, a

2

=0 ,

1

1

(4.72)

S12

= X1

S22 = X 2

a =0, a

2

=1,

a =0, a

2

=1.

1

1

4.5. Произвольное соединение многополюсников

Рассмотрим схему СВЧ, полученную произвольным соединением многополюсников [11]. Пусть схема содержит i внутренних и p внешних вхо-

дов (см. рис. 4.11).

71

1

p

2

Рис. 4.11. Схема СВЧ с i внутренними и p внешними входами

Для всех компонент схемы вектор амплитуд всех выходящих волн b связан с вектором амплитуд входящих волн a соотношением

b =Sa.

(4.73)

Строки и столбцы в (4.73) можно перегруппировать так, чтобы волновые переменные разделились на две группы: первая соответствовала бы p внешним входам, а вторая – i входам, соединенным внутри схемы. Тогда уравнение (4.73) можно записать в виде

b p		S pp	S pi a p		,	(4.74)
		=
bi		Sip	Sii ai

где bp и ap – волновые переменные, соответствующие p внешним входам; bi и ai − волновые переменные, соответствующие i внутренним входам. Ограничения, накладываемые внутренними соединениями для i внутренних входов, могут быть записаны в виде

bi = Γai ,

(4.75)

где Γ − матрица соединений, содержащая нули и единицы. Из выражений (4.74) и (4.75) можно получить

Γai = Si p ap + Sii ai
или
ai = (Γ− Si i)−1Si p ap.	(4.76)
Подставляя (4.76) в (4.74), получаем
bp = [Spp +Spi (Γ− Si i)−1Si p]ap,	(4.77)

72

откуда матрица рассеяния

Sp = Spp +Spi (Γ− Si i)−1Si p.

(4.78)

Уравнения (4.76) и (4.75) могут использоваться для получения волновых переменных на внутренних входах при произвольном способе возбуждения внешних входов.

Пример 1. Расчет S-матрицы составной схемы. Рассмотрим схему на рис. 4.12, состоящую из узлов A, В и С. Матрицы рассеяния составляющих компонентов обозначим SA, SB и SC.

C
6	1 A 2	3
5		1 B 2	C

1 A 2 3 B 4

Рис. 4.12. Составная схема и ее компоненты A, B и C

Запишем параметры всех трех компонентов схемы в виде (4.74):

b				A	0 |		A	0		0	0	a
	1			S11			S12						1
b4				0	S22B | 0			0		S23B S21B		a	4
	−			− − + − − − −								−
b2			= S A		0 | S A			0		0	0	a	2	.
				21			22
b				0	0	|	0	S	C	0	0	a	6
	6
b				0	B	| 0		0		B	B	a	5
	5				S32					S33	S31
b				0	B	| 0		0		B	B	a	3
	3				S12					S13	S11

Матрица соединений Γ может быть записана в виде

b2 0 0 0 1 a2b6 = 0 0 1 0 a6 .b5 0 1 0 0 a5b3 1 0 0 0 a3

(4.79)

(4.80)

73

Полную матрицу рассеяния находим по формуле (4.78), используя (4.79) и (4.80):

								− S A		0		0	1	−1		A
	A	0			A	0 0 0			22	− S	C	1	0		S21		0
S p = S11				+ S12					0							0	0B	. (4.81)
	0 S22B				0	0 S23B S21B			0	1		− S33B − S31B				0	S32
									1	0		B	B			0	B
												− S13	− S11				S12

Пример 2. Расчет S-матрицы схемы, один из входов которой нагружен.

Пусть схема A, описываемая матрицей SA, имеет p+1 вход. Требуется рассчитать матрицу SВ схемы B, которая получается подключением к (p+1)-му входу схемы A нагрузки с импедансом Z. Объединенная матрица схемы A и нагрузки Z имеет вид

	A	|	A	0
	S pp		S pi
	−	+	−	−			,	(4.82)
[S]=	A	|	A	0
Sip			Sii
	0	|	0	S	Z

где SZ – параметр рассеяния нагрузки Z; i указывает на вход, к которому подключена нагрузка Z. Матрица соединений Γ может быть записана в виде

b		0 1 a			(4.83)
i		=	i	,
b		1 0 a

где ai и bi – волновые переменные для нагруженного входа i схемы A; a и b − волновые переменные для нагрузки Z. Подставим (4.82) и (4.83) в общую формулу (4.78):

SB = S App + [S Api	0] − SiiA	1 Z −1			SipA	.	(4.84)
	1	− S			0
После выполнения произведения матриц получаем
SB = S App +	1			S ApiSipA .			(4.85)
	(S Z )−1 − SiiA

Вычислим параметр рассеяния для нагрузки Z. Будем исходить из того, что ток I и напряжение U на нагрузке Z связаны равенством

U/I = Z.