175

7.10. Симметричная пара нерегулярных МПР. Резонансная частота

Рассмотрим особенности взаимодействия нерегулярных микрополосковых резонаторов, содержащих скачок ширины полоскового проводника[26]. Ограничимся рассмотрением резонансного случая. Расчет произведем для симметричной пары полуволновых МПР, связанных по всей длине (рис. 7.26).

W1

W2

S

−l		−l1		0	l1		l =l1+l2		z

Рис. 7.26. Два нерегулярных микрополосковых резонатора

На резонансной частоте функции распределения токов и напряжений на правой половине резонаторов в приближении усредненных волн имеют вид

jk (z)

uk (z)

− i

Uk

cos [θ1a z /l1]

Z

1a

sin θ

1a

=

− i

cos [θ2a (z − l) /l2 + π/ 2]

Uk

cos θ2a

Z2a

sin [θ

z /l ]

Uk

1a

1

sin θ

=

1a

sin [θ2a (z − l) /l2 + π/ 2]

Uk

cos θ2a

при 0 ≤ z ≤ l1,

при l1 ≤ z ≤ l,

(7.112)

при 0 ≤ z ≤ l1,

при l1 ≤ z ≤ l,

где Uk – амплитуда напряжения k-го резонатора в точке z = l1; Zi a и θi a – волновое сопротивление и электрическая длина i-го участка резонаторов в приближении усредненных волн (k, i = 1, 2). Выражения для функций токов и напряжений на левой половине резонаторов легко получить из симметрии задачи.

176

Из формулы (7.112) и условия непрерывности тока в точке z = l1 получаем уравнение для резонансной частоты

tg θ2a tg θ1a = Z2a /Z1a.

Оно совпадает с известной формулой (6.17).

Подставляя в формулы (7.68), (7.69) выражения для энергий, вычисленные по формулам (7.87)–(7.90) с учетом функций (7.112), получаем коэффициенты индуктивной и емкостной связи нерегулярных МПР:

k

=

K

L l [cos−2θ

+ θ−1 tgθ

] + K

L l

2

[cos−2θ

2a

− θ−1 tgθ

2a

]

,

L

L1 1 1

1a

1

1a

L2 2

2a

L l cos−2

θ

+ L l

2

cos−2θ

2a

1 1

1a

2

(7.113)

K

L l

[cos−2θ

− θ−1 tgθ

]

+ K

L l

[cos−2θ

+ θ−1 tgθ

]

k

= −

2

2a

2a

,

C

C1 1 1

1a

1a

1a

C2 2

2a

L l

cos−2

θ

+ L l

2

cos

−2θ

2a

1 1

1a

2

где KLi , KC i – коэффициенты индуктивной и емкостной связи микрополосковых линий на i-м участке резонаторов, определяемые формулами (7.27); Li – погонная индуктивность проводников на том же участке.

Рис. 7.27. Зависимости коэффициентов связи от зазора между нерегулярными МПР

177

Видно, что коэффициент kL всегда положителен, а коэффициент kC отрицателен. При l1 = 0 или l2 = 0 формулы (7.113) совпадают с формулами (7.30) для регулярных МПР.

На рис. 7.27 построены зависимости коэффициентов k, kL и kC от величины зазора между проводниками резонаторов. При расчете использовались электрические параметры εe i, εoi, Ze i, Zoi связанных МПЛ, вычисленные в квазистатическом приближении. По ним рассчитывались значения остальных требуемых параметров. Расчет производился приh =1 мм, εr =10, W1=0.5 мм, W2=3 мм, θ1a = θ2a. При этомотношение l1/l изменялось в пределах 0.510–0.525.

На рис. 7.27 видно, что коэффициенты kL и kC являются монотонными функциями зазора S. Напротив, коэффициент k, являющийся их «суммой», может быть немонотонной функцией, обращающейся в нуль при некотором зазоре. В этой точке имеет место взаимная компенсация индуктивного и емкостного взаимодействий.

Важной особенностью функции k(S) является существование аномальной области значений S, где коэффициент k возрастает по абсолютной величине с увеличением зазора S между резонаторами. Это приводит к тому, что заданная величина |k| может быть получена при трех различных значениях S. Так, на рис. 7.27 видно, что три значения зазора: S1 =0.68 мм, S2 =1.52 мм, S3 =3.32 мм – обеспечивают одинаковую связь между резонаторами, характе-

ризуемую |k| = 0.015.

Проследим влияние конструктивных параметров на зависимость k(S). На рис. 7.28 видно, что аномальная область, в которой |k| возрастает с увеличением S, появляется только при εr > ε′r. Величина ε′r убывает с уменьшением отношения W2 /W1. Для случая, приведенного на рис. 7.28, ε′r ≈2. Максимум k(S) убывает до нуля при уменьшении εr до ε′r. Графики на рис. 7.29 показывают, что увеличение отношения W2 /W1 также приводит к уменьшению максимума k(S).

Оценим точность приближенных формул (7.113). Для этого по формулам (7.24) и (7.113) вычислим коэффициент связи k и сравним его с точным значением, получаемым из резонансных частот ωe и ωo по формуле (7.20).

В рассматриваемом случае эти частоты являются корнями уравнений
tg θe2 tg θe1 = Ze2 /Ze1,	tg θo2 tg θo1 = Zo2 /Zo1.	(7.114)

178

Рис. 7.28. Влияние диэлектрической проницаемости на зависимость коэффициента связи от зазора

Рис. 7.29. Влияние скачка ширины проводников на зависимость коэффициента связи от зазора

179

Рис. 7.30. Зависимости относительной погрешности расчета коэффициента связи от зазора

На рис. 7.30 построены зависимости относительной погрешности коэффициента связи k/k от зазора между резонаторами для двух скачков ширины полосковых проводников. Видно, что в точке S =S0, где k(S0) =0, отношение k/k →∞. Для зависимости, изображенной сплошной линией, относительное различие S0 составляет S0/S0 =0.5 10−4, а для зависимости, изображенной штриховой линией, — S0/S0 =2.6 10−4.

Наличие аномальной области для коэффициента связи нерегулярных МПР означает, что задача синтеза микрополоскового фильтра решетчатого типа может иметь до трех различных решений, различающихся лишь величиной зазоров между резонаторами [27].

180

Рис. 7.31. АЧХ трехзвенных решетчатых МПФ при диагональном (д) и смежном (с) кондуктивном подключении для трех различных зазоров

Рассмотрим свойства фильтров, имеющих одинаковые полосы пропускания при различных зазорах между резонаторами. На рис. 7.31 приведены АЧХ трехзвенных фильтров решетчатого типа на микрополосковых резонаторах со скачком ширины полоскового проводника. Все фильтры выполнены на подложке с εr =9.8 и h =1 мм. Их полосковые проводники имеют W1 = 1 мм, W2 = 2 мм, l1 = l2 ≈50 мм. Зазоры между проводниками подобраны такими, чтобы относительная ширина полосы пропускания всех фильтров составляла 5 %. Их значения указаны на рисунке. Видно, что положение полюсов затухания фильтров зависит как от способа кондуктивного подключения, так и от величины зазора между проводниками.