181

7.11. Асимметричная пара связанных МПР

Рассмотрим коэффициенты связи асимметричной пары микрополосковых резонаторов [28], изображенной на рис. 7.32. Чтобы избежать громоздких формул, будем предполагать, что пара резонаторов подключается кондуктивно в тракт СВЧ за противоположные концы полосковых проводников.

	l1
	W1s		W1
U1	S		U2
	W2		W2s
l1s	lc	l2	l2s
0	z1	z2	z3 z

Рис. 7.32. Асимметричная пара микрополосковых резонаторов

В приближении усредненных волн функции распределения напряжения и тока на первом проводнике имеют вид

U1 u1 (z) =

U1

cos [θ1s (z−z1 ) l1s − ϕ1	]		при 0	< z < z1		,
cos (ϕ1 + θ1s )
						(7.115)
cosϕ1 cos [θ1a (z−z2 )	lc ]
			при z	< z < z		,
					2
cos (ϕ1 +θ1s )cosθ1a			1

			sin [θ1s(z−z1) l1s −ϕ1	]
	iU1					при 0	< z < z1,
			Z1s cos (ϕ1+θ1s)
j1
	(z) =		cos ϕ1 sin [θ1a(z−z2)	lc ]
	iU					при z	< z < z	2	,
		1	Z1a cos (ϕ1+θ1s) cos θ1a			1

где tgϕ1 = tgθ1a Z1s /Z1a. Аналогичный вид имеют функции распределения напряжения и тока на втором проводнике.

Подставляя в (7.68), (7.69) выражения для энергий, найденных интегрированием формул (7.87)−(7.90) с использованием функций распределения

182

(7.115), получаем формулы для коэффициентов индуктивной и емкостной связи

lc

sin θ1a − sin θ2a

KL

sin θ1a + sin θ2a

−

kL =

l1sl2s

θ1a + θ2a

θ1a − θ2a

,

cos2θ

L

sin

2θ

l

C

cos2θ

L

sin

2θ

l

C

c

2s

2a

2a

c

1s

1a

+

1s

1a

+

+

2s

+

C

+ C

m

L

l

C

2

+ C

m

L

l

2s

1

1

1s

2

(7.116)

lc

sin θ1a − sin θ2a

KC

sin θ1a + sin θ2a

+

kC =

l1sl2s

θ1a + θ2a

θ1a − θ2a

.

cos2θ

L

sin

2θ

l

C

cos2θ

L

sin

2θ

l

C

c

2s

2a

2a

c

1s

1a

+

1s

1a

+

+

2s

+

C

+ C

m

L

l

C

2

+ C

m

L

l

2s

1

1

1s

2

Заметим, что входящие в (7.116) погонные емкости и индуктивности полосковых проводников связаны с электрическими параметрами волн формулами

C +C		m	= ε2U21I12 − ε1U22 I11		,	L = ε2U12 I21 − ε1U11I22 ,
1			c(U12U21	−U11U22 )		1	c(I12 I21	− I11I22 )
C	+C	m	= ε1U12 I21 − ε2U11I22		,	L = ε1U21I12 − ε2U22 I11 , (7.117)
2			c(U12U21	−U11U22 )		2	c(I12 I21	− I11I22 )
	C	m	= ε2U11I12 − ε1U12 I11		,	L =	ε1U11I12 − ε2U12 I11		.
			c(U12U21	−U11U22 )		m	c(I12I21	− I11I22 )

Отсюда следует, что коэффициенты индуктивной и емкостной связи асимметричной пары связанных МПЛ могут быть вычислены по формулам

	KC =		ε2U11I12 − ε1U12 I11				,
		[	ε2U21I12 − ε1U22 I11][	ε1U12 I21	− ε2U11I22	]
							(7.118)
			ε1U11I12 − ε2U12 I11
	KL =						.
		[	ε2U12 I21 − ε1U11I22 ][	ε1U21I12 − ε2U22 I11]

Подробнее рассмотрим случай регулярных резонаторов, то есть будем считать, что W1s = W1, W2 s = W2. Тогда, используя приближенные равенства

C1s /(C1+Cm) = C2s /(C2 +Cm) = L1s /L1 =L2s /L2 =1,

183

формулы (7.116) можно переписать в упрощенном виде:

kL

=

KLlc

sin θ1a + sin

θ2a

−

sin θ1a

− sin θ2a

,

l1l2

θ1a + θ2a

θ1a

− θ2a

(7.119)

KC lc

sin θ1a + sin

θ2a

sin θ1a

− sin θ2a

kC

=

+

.

θ1a + θ2a

l1l2

θ1a − θ2a

Исследуем влияние некоторых конструктивных параметров на коэффициенты связи. Рассмотрим случай εr = 10, h = 1 мм, S = 1 мм.

Рис. 7.33. Частотные зависимости коэффициентов связи

На рис. 7.33 по формулам (7.119) и (7.24) построены частотные зависимости коэффициентов связи резонаторов при W1 =2 мм, W2 =1 мм, lc/l1 =0.8.

Рис. 7.34. Зависимости коэффициентов связи от длины области связи

184

На рис. 7.34 представлены зависимости коэффициентов связи от длины области связи на резонансной частоте при тех же параметрах резонаторов.

Рис. 7.35. Зависимости коэффициента связи от длины области связи для симметричной (1) и асимметричной (2, 3) пары резонаторов

На рис. 7.35 показано влияние асимметрии резонаторов на зависимость их коэффициента связи от длины области связи на резонансной частоте. Кривая1 построена для симметричной пары резонаторов (W1 =1.5 мм, W2 =1.5мм), а кривые 2 и 3 построены для асимметричных пар (2 – W1 = 2 мм, W2 = 1 мм;

3 – W1 =2 мм, W2 = 0.2 мм).

Рассмотрим точность приближенных формул (7.119). Для этого сравним значение коэффициента связи k, рассчитанное по формулам (7.119) и (7.24), со значением, рассчитанным по формуле (7.20). Для асимметричной пары резонаторов, изображенной на рис. 7.32, частоты связанных колебаний являются корнями уравнения

При выводе этого уравнения были учтены два тождества:

U12 I11 +U22 I21 = 0, U21I22 +U11I12 = 0. (7.121)

Заметим, что формула (7.20) справедлива только для резонаторов с одинаковыми резонансными частотами одиночных колебаний. Поэтому сравнение значений k проведем для асимметричной пары регулярных резонаторов, удовлетворяющих условию равенства резонансных частот

θ1s +θ1a = θ2s +θ2a. (7.122)

Таким образом, вычисляя коэффициент связи k по формулам (7.119) и (7.24), в которых погонные индуктивности и емкости выражены через рассчитанные в квазистатическом приближении электрические параметры одиночных и связанных микрополосковых линий, и сравнивая его со значением, полученным по формуле (7.20), можно определить погрешность расчета k.

Рис. 7.36. Зависимости погрешности коэффициента связи от длины области связи для симметричной (1) и асимметричной (2, 3) пары резонаторов

185

(U

2

I 2

+U 2

I

2

)

sin θ

sin θ

2c

−

12

11

11 12

1c

tgθ

tgθ

U

U

I

11

I

22

+

2s

11 22

1s

−

I

I

cos

θ

cosθ

2c

− +

I I

22

− I

12

I

21

+U U

21

12

1c

11

12

21

− 2U11U12 I11I12

(7.120)

+Z2s tgθ1s (U12I21 sin θ1c cosθ2c −U11I22 cosθ1c sin θ2c )+

+Z1s tgθ2s (U21I12 cosθ1c sin θ2c −U22I11 sin θ1c cosθ2c )− − Z1s Z2s (I11I22 − I12I21 )sin θ1c sin θ2c = 0.