84

Zij =	1		∫ ∫ G(s | s0 ) ds0ds .	(5.24)
	2W W
	i	j Wi W j

В приведенном анализе предполагалось, что втекающий ток распределен равномерно по ширине вывода. Это значит, что ширина вывода должна быть малой по сравнению с длиной волны и размерами планарного компонента. В тех случаях, когда эти предположения не выполняются, каждый вывод может быть разделен на несколько подвыводов, в каждом из которых ток можно предполагать распределенным равномерно.

Матрицу сопротивлений компонента получают для всех выводов. При этом предполагается, что в полосковой линии на участке вывода имеется только Т-волна. Это предположение выполняется, если выводы находятся на таком расстоянии от планарного компонента, при котором любые волны высших порядков, возбуждаемые неоднородностью перехода от полосковой линии к планарной цепи, затухают вдоль полосковой линии. Промежуточная полосковая линия считается частью планарной цепи.

Поскольку предполагается, что в линии вывода существует только Т-волна, то напряжения подвыводов вывода одинаковы. Поэтому можно считать, что подвыводы соединены параллельно. При параллельном соединении Z-матрицу преобразуют в Y-матрицу. Если выводы i и j разделены на подвыводы i = (i1, i2, …) и j = ( j1, j2, …), то матрица проводимости Yi j задается в виде суммы:

Yij = ∑ ∑ykl ,

(5.25)

k i l j

где yk l – составляющие матрицы проводимости.

5.3. Особенности использования модели Олинера для микрополосковых цепей

Особенности построения модели Олинера для планарных цепей микрополоскового типа связаны как с отсутствием симметрии между нижним и верхним волноведущим каналом, так и с неодинаковым диэлектрическим заполнением этих каналов.

При некоторых допущениях все основные соотношения, полученные выше для планарной цепи полоскового типа, могут быть использованы с

85

одной поправкой и для планарной цепи микрополоскового типа. Одним из допущений является то, что мощность СВЧ в планарной цепи микрополоскового типа распространяется только в одном из волноведущих каналов, а именно, в канале, содержащем подложку. Из этого допущения следует, что токи текут не по двум, а только по одной из поверхностей полоскового проводника. Этим допущением и вызвана поправка к формулам. В формулах

(5.6), (5.7), (5.9), (5.13) и (5.20) она сводится к удалению множителя 2, а в формулах (5.21)−(5.24) — к удалению делителя 2.

В эквивалентной модели, когда ширина планарного компонента W значительно больше толщины подложки h, диэлектрическая проницаемость среды, ограниченной плоскими проводниками и боковыми магнитными стенками, считается равной диэлектрической проницаемости подложки εr. При этом магнитные стенки должны отступать от краев полоскового проводника на такое расстояние l, при котором емкость этого проводника в модели оставалась бы такой же, как и в исходном объекте.

В случае же узкого планарного компонента, который можно рассматривать как нерегулярность микрополосковой линии типа скачка ширины, изгиба, разветвления, разомкнутого конца и т. д., диэлектрическая проницаемость среды, ограниченной плоскими проводниками и боковыми магнитными стенками, считается равной эффективной диэлектрической проницаемости микрополосковой линии εe f f . Величина же отступа l магнитных стенок от краев полоскового проводника по-прежнему определяется из условия одинаковости емкости полоскового проводника в модели и в реальном объекте.

5.4. Собственные функции планарного уравнения Гельмгольца и функции Грина

Один из методов построения функции Грина G(r|r0) основан на разложении ее в ряд

G(r | r0 ) = ∑Amψm (r) ,	(5.26)
m

по собственным функциям ψn уравнения Гельмгольца

( 2	+ kn2)ψn = 0 ,	(5.27)
t

86

где kn2 – собственное значение. Условие ортогональности функций ψn выражается формулой

	1,		если n = m
			(5.28)
∫∫ ψnψm dx dy =
D		0,	если n ≠ m ,

где область интегрирования D ограничивается границами планарного компонента, на которых ψn удовлетворяет граничному условию

∂ψn /∂n =0.	(5.29)
Подставляя (5.26) в (5.15) и используя (5.27), получаем
∑Am (k 2 − km2 ) ψm (r ) = i k0Z0h δ(r − r0 ) .	(5.30)
m

Умножая обе части равенства (5.30) на ψn , интегрируя в области D и используя условие ортогональности (5.28), получаем уравнение

A (k 2

− k 2 ) = i k

0

Z

0

h ψ

(r ) .

(5.31)

n

n

n

0

Тогда имеем

A = i k

0

Z

0

h ψ

(r ) (k 2 − k

2 ),

n

n

0

n

так что

(r) ψ (r )

G (r | r0 ) = i k0Z0h ∑

ψ

(5.32)

n

n

0

n

k 2 − kn2

есть выражение искомой функции Грина. Для цепей без потерь ψn − действительная функция.

Приведем функции Грина для некоторых форм планарных элементов, представленных на рис. 5.3.

А. Для прямоугольника со сторонами a и b функция Грина определяется формулой

	i k	0	Z	0	h	∞ ∞ σmσn cos(kx x0 )cos(ky y0 )cos(kx x)cos(ky y)
G (x, y|x0, y0 ) =						∑ ∑					, (5.33)
		ab							k 2 − kx2	− ky2
						m=0 n=0
где kx =mπ/a, ky =nπ/b, а величина
								1 при	n = 0 ,
						σn =
									n ≠ 0.
								2 при

				87
y		y			y
b		a/2	a		a/2
		0	30°	a 3 x
0	a x				0	60°	a 3 x
	A		Б 2		−a/2		2
						В
y
a
	45°		0	a		α
0	Г a x
			Д				Е
	0	a	b
	Ж			0 a	b
					З

Рис. 5.3. Планарные элементы

Б. Для прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° и диаго-

налью a функция Грина определяется формулой

	∞	∞		T1(x0		, y0 ) T1(x, y)
	G (x, y | x0 , y0 ) = i8k0Z0h ∑	∑					, (5.34)
					−16	3 π2 (m2 + mn + n2 )
	m=−∞ n=−∞ 9 3 a2k 2
	где
	T1(x, y) = (−1)l cos		(2πlx) cos		[2π(m − n) y]+
				3a		3a
	+ (−1)m cos		(2πmx) cos[2π(n − l) y]+
				3a		3a
	+ (−1)n cos			(2πnx) cos[2π(l − m) y] ,
				3a		3a

а l =−(m+n).

В. Для равностороннего треугольника со стороной a функция Грина

определяется формулой
∞ ∞	T (x		, y		) T (x, y) +T (x		, y		) T (x, y)	, (5.35)
G (x, y | x0, y0 ) = i 4k0Z0h ∑ ∑	1	0		0	1	2 0		0	2
m=−∞ n=−∞	9	3 a2k 2 −16				3 π2 (m2 + mn + n2 )

где T1(x, y) определяется в формуле (5.34), а

	88
T2	(x, y) = (−1)l cos (2πlx) sin [2π(m − n)y]+
	3a	3a
	+ (−1)m cos (2πmx) sin [2π(n − l)y]+
	3a	3a
	+ (−1)n cos (2πnx) sin [	2π(l − m) y] .
	3a	3a

Г. Для прямоугольного равнобедренного треугольника со стороной a

функция Грина определяется формулой

∞ ∞

σ

σ

T (x

, y

) T (x, y)

,

(5.36)

G (x, y | x0, y0 ) = i k0Z0h ∑ ∑

m

n

0

0

m=0 n=0

a2k 2 − (m2 + n2 ) π2

где

T (x, y) = cos (

mπx

) cos (

nπ y

) +(−1)m+n cos (

n π x

) cos (

m π y

).

a

a

a

a

Д. Для круга с радиусом a функция Грина определяется формулой

ik

0

Z

0

h

∞

∞

σ

J

(k

ρ

) J

(k

ρ)cos n(ϕ −ϕ

)

G(ρ,ϕ| ρ0,ϕ0) =

+ ik0Z0h ∑ ∑

n

n

mn

0

n

mn

0

, (5.37)

πk 2a2

n=0 m=1

π(a2−n2/ kmn2 )(k 2− kmn2 ) Jn2(kmna)

где Jn(z) – функция Бесселя n-го порядка, а kmn определяется из уравнения

∂∂ρ Jn (kmnρ) ρ=a = 0.

Индекс m в коэффициенте km n соответствует m-му корню уравнения.

Е. Для сектора круга с радиусом a и углом α=π/l (l =1, 2, 3, …) функция Грина определяется формулой

G(ρ,ϕ| ρ0

,ϕ0) =

i 2l k0Z0h

+

πk 2a2

(5.38)

∞ ∞

σ

J

(k

ρ

) J

(k

ρ)cos νϕ

cos νϕ

,

+ i 2l k0Z0h ∑ ∑

n

ν

mν

0

ν

mν

0

n =0 m =1

π(a2−ν2/ km2ν) (k 2− km2ν) Jν2(kmνa)

где ν=nl, а kmν определяется из уравнения

∂

J

ν

(k

mν

ρ)

ρ=a

= 0.

∂ρ

Ж. Для круглого кольца с внутренним радиусом a и внешним радиусом b функция Грина определяется формулой

89

G(ρ,ϕ

| ρ0 ,ϕ0) =

i k0Z0h

+

πk

2 (b2

+ i k0Z0h ∑ ∑

− a2 )

, (5.39)

σn Fmn (ρ0) Fmn (ρ) cos n(ϕ − ϕ0 )

∞

∞

π

n =0 m =1

[(b2 −

n2

) F 2

(b) − (a2 −

n2

) F 2 (a)](k 2

− k 2

)

kmn2

mn

kmn2

mn

mn

где

Fmn (ρ) = Nn′ (kmna)Jn (kmnρ) − Jn′ (kmna)Nn (kmnρ) ,

а kmn − корень уравнения

Jn′ (kmna)

= Jn′ (kmnb) .

Nn′ (kmna)

Nn′ (kmnb)

З. Для сектора кольца с внутренним радиусом a, внешним радиусом b

и углом α=π/l (l =1, 2, 3,…) функция Грина определяется формулой

G(ρ,ϕ| ρ0 ,ϕ0) =

i 2l k0Z0h

+

πk 2 (b2 − a2 )

, (5.40)

+ i 2l k0Z0h ∑ ∑

σn Fmν (ρ0 ) Fmn (ρ) cos νϕ0 cos νϕ

∞

∞

π

n=0 m=1[(b2 −

ν2

) F 2 (b) − (a2 −

n2

) F 2 (a)](k 2

− k 2

)

km2ν

mν

km2ν

mν

mν

где ν=nl, а Fmν определяется выше (см. формулу (5.39).

5.5.Анализ компонентов методами сегментации

идесегментации

Если рассматривается планарный компонент, для которого функция Грина не известна, то можно попытаться воспроизвести его форму добавлением или исключением элементов простых форм, для которых функции Грина известны. На рис. 5.4, а планарный компонент можно считать составленным из двух прямоугольников, соединенных вдоль общей стороны АВ (см. рис. 5.4, б). Для получения Z-матрицы этой цепи будем считать, что оба прямоугольных компонента соединены с помощью нескольких раздельных выводов на стороне АВ (рис. 5.4, в). При возрастании числа выводов вдоль стороны АВ увеличивается точность, как и в случае широких внешних выводов. Это пример метода сегментации.