ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Цель работы: исследовать входные и передаточные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом.

В лабораторной работе необходимо изучить влияние индуктивного и емкостного сопротивления на входное сопротивление цепи и ее передаточную функцию по напряжению в зависимости от частоты генератора, сравнить полученные экспериментальные характеристики с теоретическими расчетами.

Краткиетеоретическиесведения

Исследование простейших цепей переменного тока производится при питании от источника, работающего в режиме генератора напряжений. Это достигается за счет того, что независимо от сопротивления цепи напряжение на ее входе поддерживается неизменной величины с помощью регулировки выходного напряжения генератора.

u(t)=Umsin(ωt+ψ)

ωt2

ωt1

ψ

t2 t1

0

0

u(t)

t2

t1

u(t)=Umcos(ωt+ψ)

t

Рис. 1.1*

При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цепи

*Графика обозначений на рисунках приводится в авторской редакции.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-9-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

сводится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний, т. е. их комплексных амплитуд.

Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд могут быть представлены как проекции вектора Um на комплексной плоскости,

вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой ω (рис. 1.1) на оси координат.

Проекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функцией

U(t )=Um cos(ωt + ψ),

ана мнимую ось – синусоидальной функцией

U (t )=Um sin (ωt + ψ).

Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах:

алгебраической Um = ReUm + j ImUm ,								где j = −1;
показательной Um =		Um		e jψ где		Um		– модуль; ψ – аргумент;

тригонометрической Um = cosα + j Um sinα.

Модуль вектора Um = (ReUm )2 +(ImUm )2 ,

аргумент α = arctg ImUm . ReUm

В случае гармонического колебания аргумент комплексного числа является функцией времени α = ωt + ψ.

Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражается: в показательной форме

U(t )= Um e jψe jωψ ;

втригонометрической форме

U (t )= Um cos(ωt + ψ)+ j Um sin (ωt + ψ).

Таким образом, для рассмотрения напряжений и токов в цепи с гармоническим воздействием может быть построена векторная диаграмма, представляющая собой совокупность радиус-векторов, отображающих комплекс-

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-10-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

.

Рис. 1.2

Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токов в момент времени t = 0.

На рис. 1.2 приведено схематическое изображение цепи переменного

тока.

Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник, состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей.

Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением:

ZBX = UI .

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется его комплексной проводимостью:

Y		=	1	=	I	.
BX			ZBX	U
Учитывая, что Um =Ume jψU	и Im = Ime jψi , получаем ZBX = Um e j(ψU -ψi ) .
						Im

Отношение U m – полное входное сопротивление (модуль); ψU – ψi –

I m

сдвиг фаз между напряжением и током.

Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

ZBX = ZBX e jϕ;

ZBX = RBX + jXBX ,

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-11-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

RBX – вещественная, активная составляющая; XBX – мнимая, реактивная составляющая комплексного сопротивления;

ZBX = ZBX cosϕ + j ZBX sin ϕ.

Очевидно,

ZBX		=	R2BX + X 2BX , ϕ = arctg	XBX	.
				RBX

Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивление R, то на основании закона Ома

I = UR , I = Im e jψi = URm e jψU ,

т. е. амплитуда тока Im = URm , а разность фаз между током и напряжением

φ = ψU – ψi.

На векторной диаграмме (рис. 1.3) напряжение и ток совпадают по фазе

ZBX = RBX = R, XBX = 0 , проводимость YBX = 1/R.

Если пассивный двухполюсник представляет собой индуктивность, то

UL = L dtdi .

Рис. 1.3

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-12-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Используя метод комплексных амплитуд, получаем

ULm =

j

ψi +

π

e

j π

= cos

π

+ j sin

π

jωLIme jψi = ωLIme

2 ,

j =

2

2

2

.

Отсюдаследует, чтоамплитуданапряженияULm = ωLIm = XLIm, гдеXL = ωL –

индуктивное сопротивление, а обратная величина bL = ω1L называется ин-

дуктивной проводимостью. Угол сдвига фаз между напряжением и током,

т. е. ϕ = ψU −ψi = π2 – ток отстает по фазе от напряжения на π2 (рис. 1.4).

Очевидно, что входное сопротивление индуктивности – чисто мнимая величина

	ZBX = U		Ime jψi	= jωL = ωL e j	π
		= jωL			2 = jX L ,
			Ime jψi
	I

линейно изменяющаяся с частотой.

При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет ток

iC =C dUdt .

U

2 I

ψU

ψi

0

Рис. 1.4

Используя метод комплексных амплитуд, получаем:

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-13-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

	IC =C	d (Ume jψU e jωt )	=CUme jψU jω e jωt	= Ime jψi e jωt ,
		dt
			j		ψ	+	π
					U
	I = Ime jψi = jωCUme jψU = ωCUme						2 .

Отсюда следует, что амплитуда тока в емкости

Im =ωCUm =bCUm = Um ,

XC

где bC = ωC – проводимость емкости; XC = ω1C – емкостное сопротивление.

Сдвиг фаз между напряжением и током ϕ= ψU −ψi = −π2 , т. е. ток опе-

режает напряжение на π/2 (рис. 1.5).

Следует отметить, что входное сопротивление емкости является чисто мнимой отрицательной величиной

ZBX =

U

=

Ume jψU

=

1

= − j

1

=

1

e

- j π

2 ,

I

jωCUme jψU

jωC

ωC

ωC

зависящей от частоты источника.

2

ψi

ψU

0

Рис. 1.5

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-14-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Пассивный двухполюсник, состоящий из активных R и реактивных L, C элементов, имеет комплексное входное сопротивление, модуль и аргумент которого зависят от частоты генератора.

Зависимость модуля комплексного входного сопротивления цепи от частоты называется входной амплитудно-частотной характеристикой цепи

(АЧХ):

ZBX = ZBX(ω).

Зависимость аргумента комплексного входного сопротивления от частоты называется входной фазочастотной характеристикой цепи (ФЧХ):

φZBX = φ(ω).

Для RL-цепи (рис. 1.6)

ZBX = R + jωL = R2 +(ωL)2 e jarctg	ωL
	R .

Входная АЧХ последовательной RL-цепи

ZBX = R 1+ ωL 2 ,

R

а входная ФЧХ

ϕ(ω)= arctg ωRL .

Кривые ZBX и φ(ω) показаны на рис. 1.7, а, б.

Рис. 1.6

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-15-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

			φ
ZВХ
		90о

0				0
						ω
		ω
	а				б
		Рис. 1.7

На основании второго закона Кирхгофа

U =UR +UL = RI + jωLI ,

где UR = RI и UL = jωLI – комплексные амплитуды напряжений на актив-

ных и реактивных сопротивлениях.

Построим векторные диаграммы напряжений и тока, приняв в качестве исходного вектор тока, поскольку он является общим для R и L при их последовательном соединении (рис. 1.8).

Очевидно, что в RL-цепи ток отстает от напряжения на входе на угол

ϕ(ω)= arctg ωRL .

Если стороны треугольника напряжений поделить на ток, то получим:

ZBX = UI = R + jωL

или на комплексной плоскости сопротивление ZBX представляется вектором, направленным под углом φ к оси вещественных величин (рис. 1.9).

Z ВХ

2

ψ

U

φ > 0

ω

φ

ψi

0

0

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-16-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

0		φ < 0

–jXC

ZВХ

Рис. 1.10

Рис. 1.11

0		φ < 0

– j ω

вх

Рис. 1.12

Рассматривая аналогично последовательную RC-цепь (рис. 1.10), получаем

U =UR +UC = RI +	1	I = RI		jXC I .
	jωC

Векторные диаграммы напряжений и токов приведены на рис. 1.11. Очевидно, в RC-цепи ток опережает напряжение на угол

ϕ = arctg XRC = arctg ωCR1 .

Аналогично, как и в RL-цепи, для последовательной RC-цепи можно построить на комплексной плоскости треугольник сопротивлений (рис. 1.12).

	1				1 2			- jarctg	1
ZBX = R +		= R	1	+			e		ωCR .
	jωC
					RωC

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-17-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ZВХ

φ

0

ω

– 90о

0

а

ω

б

Рис. 1.13

U1

U2

		Рис. 1.14
	Входная АЧХ – ZBX = R 1			1 2			(рис. 1.13, а),
		+
		RωC
	входная ФЧХ – ϕ(ω)= − jarctg			1			(рис. 1.13, б).
				ωCR

Электрические цепи с четырьмя зажимами (двумя входными и двумя выходными) называются четырехполюсниками (рис. 1.14).

Одной из функций, характеризующих передачу сигнала четырехполюсником, является комплексная передаточная функция по напряжению, ко-

торая представляет собой отношение комплексных выходного U2 и входного U1 напряжений:

K (ω)= U2 = K (ω)e jϕk (ω), U1

где K (ω) = U2 – передаточная АЧХ; φk(ω) – передаточная ФЧХ.

U1

Комплексная передаточная функция по напряжению RL-цепи при выходном напряжении на индуктивности (рис. 1.15)

KL (ω)= U2

= I jωL = U1 jωL =

ωLe

j π

1

π

−arctg

ωL

ωL =

e

2

R .

2

j

U1

U1

(R + jωL)U1

R2 +(ωL)2 e jarctg R

1

+

R

2

ωL

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-18-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

			U2
	U1

Рис. 1.15

Передаточная АЧХ – KL (ω)

=

1

,

R

2

1+

ωL

передаточная ФЧХ – ϕkL (ω)

=

π −arctg ωL ,

(заметим, что arctg ωL = ϕ(ω)

2

R

– входная ФЧХ).

R

Если в цепи (рис. 1.15) поменять местами R и L, то комплексная пере-

даточная функция по напряжению

UR

I R

U1R

1

ωL

KR (ω)=

=

=

=

e− jarctg R .

(R

ωL

U1

U1

+ jωL)U1

1

2

+

R

Передаточная АЧХ – KR (ω)

=

1

,

ωL

2

1+

R

передаточная ФЧХ – ϕkR (ω)

= − arctg

ωL = −ϕ(ω).

R

Кривые передаточных амплитудно-частотных и фазочастотных харак-

теристик RL-цепи приведены на рис. 1.16.

Аналогично получим комплексные передаточные характеристики

RC-цепи (рис. 1.17):

U1 (− j)

1

1

π

1

KC (ω)=

ωC

− j

−arctg

=

e

2

ωCR .

1

1+ (ωCR)

2

R

− j

U1

ωC

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-19-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

K(ω)

φK(ω)

o

90

KL(ω)

φKL(ω)

KR (ω)

0

0

ω

ω

φKR(ω)

– 90o

а

Рис. 1.16

б

U1

U2

Рис. 1.17

Передаточная АЧХ – KC (ω)=

1

,

1+(ωCR)2

π

1

передаточная ФЧХ – ϕkC (ω)= −

2

−arctg

.

ωCR

Если выходное напряжение снимать с сопротивления R, то

KR (ω)=

U1R

=

1

e jarctg

1

.

ωCR

1

1

R − j

U1

1+

(ωCR)2

ωC

Передаточная АЧХ − KR (ω)=

1

,

1+

1

(ωCR)2

передаточная ФЧХ − ϕkR (ω)= arctg

1

= −ϕ(ω),

ωCR

где φ(ω) – входная фазочастотная характеристика.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-20-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

K(ω)

φK(ω)

90o

KR(ω)

φKR(ω)

KC(ω)

0

0

ω

ω

а

φKC(ω)

– 90o

a

б

Рис. 1.18

Графики функций KC(ω), KR(ω), φC(ω), φR(ω) приведены на рис. 1.18. Рассмотренные передаточные характеристики RL- и RC-цепей позво-

ляют определить и их входные характеристики. Действительно, передаточные ФЧХ RL- и RC-цепей при снятии напряжения с сопротивления представляют собой входные ФЧХ этих цепей, взятые с обратным знаком.

Входная АЧХ определяется как ZBX = UI1 , для RL- и RC-цепей

(рис. 1.15 и рис. 1.17):

I = UR2 , но U2 = KR (ω)U1 ,

	следовательно, ZBX =	U1R	=	R		,
		KR (ω)U1		KR (	ω)

т. е., зная сопротивление R и определив (например экспериментально) передаточную АЧХ, можно рассчитать входную амплитудно-частотную характеристику цепи.

Домашнеезадание

1. Рассчитать и построить графики входных и передаточных АЧХ и ФЧХ RL-цепи (рис. 1.15). Расчет произвести для R = RL + R3 = RL + R5, L = L1 + L5 (табл. 1.1) (RL = 30 Oм – сопротивление потерь индуктивностей), если частота изменяется в диапазоне 1–20 кГц.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-21-