ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Цель работы: экспериментально исследовать частотные характеристики последовательного контура, а также оценить влияние сопротивления нагрузки и сопротивления потерь на его избирательность.

Краткиетеоретическиесведения

Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из последовательно соединенных индуктивности, емкости и активного сопротивления, характеризующего потери в реактивных элементах

(рис. 2.1).

При воздействии гармонической ЭДС E = Eme jωt ток в контуре

I =

E

,

Z

где Z = R + jωL +

1

= R + jX ,

jωC

Z =

Z

e jϕ,

Z

= R2 + X 2 ,

ϕ = arctg

X

,

X = ωL −

1

.

R

ωC

Активную составляющую входного сопротивления R можно приближенно считать не зависящей от частоты генератора. Реактивная составляю-

щая X = ωL − ω1C является функцией частоты и в зависимости от величин L,

C и ω изменяется по величине и знаку (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-25-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

					ω
			ω0
	0

Рис. 2.2
Режим цепи, при котором X L = −XC (X = 0),				называется резонансом
напряжений. При резонансе ω0L =	1	, откуда	ω0	=	1	− резонансная
					LC
	ω0C

частота колебательного контура.

ZВХр = Zр = R , ток в цепи Ip = ER ,

напряжения на реактивных элементах

UL =UC

= ω0LIP

=

1

IP , UL =

ω0LE

, UC

=

1

E

,

P

P

ω0C

P

R

P

ω0C R

UL

=

UC

= ω0L

1

=

L

=ρ,

IP

IP

P

= ω0C

C

P

где ρ – характеристическое или волновое сопротивление контура.

Поскольку ρ >> R, следовательно, UL =UC

E , отсюда и происходит

P

P

название «резонанс напряжений».

Величина

UL

=

UC

P

=

ρ

=Q –

добротность контура, d =

1

=

R

–

P

E

R

Q

ρ

E

затухание.

При неизменных E, L, C, R зависимость тока от частоты

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-26-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

I (ω)=

E

=

E

.

R2 +

ωL −

1

2

ωL −

1

2

ωC R

1+

ωC

R2

Безразмерное отношение

n (ω)=

I (ω)

=

1

,

IP

1

+

X 2

R

где IP = ER выражает закон изменения амплитуды тока в контуре при измене-

нии частоты (АЧХ) для всех возможных соотношений между X и R и называется предельной нормированной частотной характеристикой контура.

ϕ(ω) = arctg XR – фазочастотная характеристика контура.

	X			X
Графики функций n			и ϕ			приведены на рис. 2.3.
	R			R

φ

– 2
		– 2	– 1

– 45о

– 90о

а

б

Рис. 2.3

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-27-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Часто при построении частотных характеристик пользуются нормированными аргументами, например относительной частотой ω/ω0. Тогда, задавая различные соотношения между R и ρ, получаем два семейства кривых

(рис. 2.4):

ω

1

1

n

=

=

=

ω0

ωL

−

1

2

ω

L

ω

1

2

1+

0

−

1+

ωC

R

ω0

ωω0LC

R2

1

ω

ω

ω0

=

,

ϕ

= arctg Q

−

.

1+Q

2

ω

−

ω

0

2

ω0

ω0

ω

ω0

ω

В радиотехнике часто приходится иметь дело с малыми расстройками сигнала от резонансной частоты контура ω0. Тогда

ω Q ω0

гдеξ – обобщенная расстройка.

n(ω))

ω0

50

−ω0 = X = ξ,

ωR

φ(ω))

ω0

200
		100
						50
				100

										ω
				ω
				ω0						ω0
						–45o
								200
						–90o
а						б
				Рис. 2.4

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-28-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Действительно,

ω

ω

ω2 −ω2

(ω+ ω0 )(ω−ω0 )

(ω+ω0 )

ω

ω

−

0 =

0 =

=

≈ 2

,

ω0

ωω0

ωω0

ωω0

ω0

ω

∆ω = ω – ω0 – абсолютная расстройка, при

ω

1 (ω ≈ ω0)

ω0

ξ =Q 2

ω и n(ξ)=

1

,

ϕ(ξ)= arctgξ.

1+ ξ2

ω0

Графики этих функций с большой точностью совпадают с графиками

X

X

n

и ϕ

в полосе частот около резонансной частоты.

R

R

Полосой пропускания контура называют интервал частот, на границах

которого амплитуда тока снижается до уровня

1

от резонансного значения

2

(рис. 2.5).

n(ξ)=

1

=

1

, ξ = ±1,

2

1+ ξ2

ωВ −

ω0

ωН −

ω0

откуда Q

=1,

Q

= −1,

ω0

ωВ

ω0

ωН

(ω)

ω

0,707

ωН		ω0		ωВ		ω
	Рис. 2.5

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-29-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

d

d 2

d

d 2

ω

= ω

+ 1

+

, ω

= ω

−

+ 1

+

,

2

4

2

4

В

0

Н

0

где d = Q1 , 2 ω= ωВ −ωН = ω0d = ωQ0 .

На границах полосы пропускания ξ = ±1 и φ(±1) = ±45º, т. е. в пределах полосы пропускания ФЧХ изменяется от –45º на ω = ωH до 45º на ω = ωB.

Входная частотная характеристика контура

1

ρ ω

ω0

Z

ВХ

= R + jX = R + j

ωL −

= R 1

+ j

−

= R 1

+ jξ

.

ω0

ω

[

]

ωC

R

Входная АЧХ – ZВХ = R 1+ ξ2 (рис. 2.6). Входная ФЧХ – φ = arctg ξ. В области малых расстроек

ZВХ′ ≈ R 1+ 2Q ωω0 2 .

Комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напряжении на емкости

UC

E

1

1

1

− jQ

ω0

KC =

=

=

=

ω

.

E

Z

jωC

E

jωCR

1

+ jQ

ω

− ω0

1

+

jξ

ω0

ω

ZВХ

ZВХ

ВХ

				ω
0
		ω0
	Рис. 2.6

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-30-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

ω0

ω0

Q ω

ω

Передаточная АЧХ – KC =

= n

Q

.

1+ ξ2

ω0

ω

Передаточная ФЧХ – ϕ

C

= − π −arctgξ.

2

ω

jQ

Аналогично KL =

UL

=

E

jωL

1

=

jωL

=

ω0

,

E Z

E

R

1+ jQ

ω

−

ω0

1+ jξ

ω0

ω

Q

ω

ω0

ω

ω

передаточная АЧХ – KL =

= n

Q

,

1+ξ2

ω0

ω0

передаточная ФЧХ – ϕL =

π

−arctgξ.

π

2

= − π ,

При резонансе K

=Qe- j 2

,

K

CP

=Q,

ϕ

C

CP

2

π

π .

KL =Qe j 2 , KL =Q,

ϕL =

P

P

2

Графики передаточных АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 2.7.

Из последних соотношений следует, что максимумы KC и KL не совпадают с резонансной частотой, а сдвинуты по оси частот.

KC

получается на частоте ωC max = ω0

1−

1

,

2Q2

max

KL

получается на частоте ωLmax =

ω0

.

1−

1

max

2Q2

При Q >> 1

1

→ 0 и

KL

= KC

=Q .

2Q2

max

max

При подключении контура к реальному источнику ЭДС (рис. 2.8) экви-

валентная добротность Q =

ρ

<Q =

ρ

, следовательно, увеличение внут-

R + R

Э

R

i

реннего сопротивления генератора ведет к расширению полосы пропускания контура (рис. 2.9).

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-31-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

φ

ω

ω0

–

–

ω

ω0

а

б

Рис. 2.7

Рис. 2.8

ωn( ωω0 )

ωЭ

0,707

nЭ

n

0ω

ω0

Рис. 2.9

φL

ω

ω0

φC

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-32-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

а	б
	Рис. 2.10

Если к выходным зажимам контура подключить резистор RH, то в этом резисторе будет рассеиваться энергия, вследствие чего добротность цепи окажется меньше добротности ненагруженного контура.

Для определения QH нагруженного контура заменим параллельное соединение RH и С эквивалентным последовательным на частоте ω = ω0

(рис. 2.10).

Условие эквивалентности цепей (рис. 2.10, а, б)

R

1

jωC

R

ZR C|| = ZR C =

H

=

H

=

1

1+ jω0RHC

H

BH

RH +

jωC

=

R

R2 ω C

1

=ρ, при ρ << RH;

1+(ω

R C )2 − j 1

+(ω R C )2 ,

ω0C

H

H

0

0

H

0

H

R2

R

H

ρ2

1

ρ2

Z

− j

ρ

− jρ = R

− j

R

RHC

=

H

=

,

=

.

2

R2

R

ω

C

R

R

BH

BH

H

H

0

H

H

ρ2

ρ

Добротность нагруженного контура

Q =

ρ

=

ρ

<Q , а по-

R + R

ρ2

Н

ВН

R + R

Н

лоса пропускания нагруженного контура становится шире полосы ненагруженного.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-33-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Домашнеезадание

1.Определить резонансную частоту контура, состоящего из индуктивности L1 и емкости C8.

2.Вычислить добротность и полосу пропускания контура. Потерями в конденсаторе пренебречь, значение R = RL = 30 Ом.

3.Для двух значений внутреннего сопротивления генератора (Ri1 = 50 Ом

иRi2 = 1000 Ом) рассчитать эквивалентную добротность и полосу пропускания контура, составленного из L1 и C8.

4.Вычислить добротность нагруженного контура QH и полосу пропус-

кания при подключении параллельно емкости сопротивления нагрузки

RH = 3,6 кОм.

5. Найти значение тока в контуре, напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности на резонансной частоте при разных Ri генератора, амплитуде ЭДС Е = 200 мВ и RH = 3,6 кОм.

Порядоквыполненияработы

1.Собрать цепь по схеме на рис. 2.11 для снятия резонансной кривой контура. С помощью клавиатуры ПК задать параметры входного сигнала

(fH = 1 кГц, fВ = 20 кГц, ∆f = 500 Гц, амплитуда колебаний 0,2 В). Полученные на экране ПК частотные характеристики скопировать на дискету (или зарисовать с экрана на миллиметровку).

2.Поменяв в цепи (рис. 2.11) емкость С8 на параллельно соединенные С8 + С10, повторить измерения согласно п. 1. Отметить изменения АЧХ и ФЧХ контура, полученные при изменении величины емкости контура.

3.Подключив в цепи (рис. 2.11) последовательно с индуктивностью L1 индуктивность L4, повторить измерения согласно п. 1.

4.Поменяв в цепи (рис. 2.11) индуктивность L1 на последовательно соединенные емкости С2 и С6, а емкость С8 на индуктивность L5 = L1, повторить измерения согласно п. 1. Отметить изменения частотных характеристик при уменьшении емкости контура в два раза.

L1

C8

Рис. 2.11

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-34-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

5.Включить в цепь (рис. 2.11) перед индуктивностью L4 сопротивление R1 = 1 кОм и повторить измерения согласно п. 1. Оценить изменения добротности и полосы пропускания при увеличении сопротивления потерь контура.

6.Поменяв в цепи п. 5 индуктивность L4 на конденсатор С6, а конденсатор С8 на индуктивность L5, повторить измерения согласно п. 5.

7.Подключить в цепи (рис. 2.11) параллельно емкости С8 сопротивление нагрузки R6 = 3,6 кОм и провести измерения как в п. 1. Оценить влияние сопротивления нагрузки на избирательность контура.

8.Поменяв в цепи п. 7 индуктивность L1 на конденсатор С2 = С8, а параллельное соединение С8R6 на параллельное соединение L5R6, провести измерения частотных характеристик как в п. 7. Оценить влияние сопротивления нагрузки на АЧХ и ФЧХ контура.

Содержаниеотчета

Отчет должен включать:

1.Результаты выполнения домашнего задания.

2.Схемы экспериментальных исследований.

3.Графики частотных характеристик, построенные по результатам измерений.

4.Краткие выводы по работе.

Контрольныевопросы

1.Что такое добротность контура, как она связана с параметрами контура L, C, R?

2.Назовите экспериментальные методы определения добротности последовательного контура и расскажите о них.

3.Что такое характеристическое сопротивление последовательного контура, каков его физический смысл? Что необходимо сделать, чтобы экспериментально измерить характеристическое сопротивление?

4.Что такое полоса пропускания контура 2∆f, каким образом она связа-

на с добротностью контура Q и частотой резонанса fP? Как экспериментально определить полосу пропускания последовательного контура?

5.Как влияет сопротивление нагрузки на частотные характеристики последовательного колебательного контура?

6.Как изменится полоса пропускания, если увеличить: а) L вдвое, а C и R оставить неизменными;

б) С вдвое, а L и R оставить неизменными.

7.Изобразите частотную зависимость модуля входного сопротивления от частоты |Z(ω)| для контура с потерями и контура без потерь.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-35-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВ-НОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

8.Какова емкость С контура, в пФ, если, будучи настроенным на волну

λ= 1 м, он имеет характеристическое сопротивление ρ = 530 Ом?

9.Что такое резонанс в электрической цепи? Ответ свяжите с характе-

ром входного сопротивления при резонансе и значениями тока и напряжения

вцепи.

10.Рассчитайте добротность контура и определите амплитуду напря-

жения на входе цепи, показанной на рис. 2.10, а, RH = 10 кОм, подключенной параллельно емкости. Данные Ucp = 500 В, XL = 100 Ом, XC = 100 Ом,

R = 1 Ом.

11.Как изменится полоса пропускания контура при чисто активном сопротивлении нагрузки?

12.Как будет изменяться напряжение на емкости при изменении частоты генератора, если генератор подключен непосредственно к последовательному контуру, а выходное сопротивление генератора намного выше сопротивления контура?

13.Что такое фазовая характеристика последовательного колебательного контура? Чему равен фазовый сдвиг между входным напряжением и током на границе полосы пропускания?

14.Пусть полоса пропускания контура ∆f = 10 кГц при характеристическом сопротивлении 2 кОм. Какое сопротивление нагрузки необходимо выбрать, чтобы получить полосу пропускания 15 кГц при резонансной частоте fP = 100 кГц?

15.Как выглядит зависимость напряжения на емкости последовательного колебательного контура, если внутреннее сопротивление генератора значительно больше сопротивления потерь контура? Объясните теоретически приведенную зависимость.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-36-