ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Цель работы: экспериментально исследовать частотные характеристики параллельных контуров различного вида включений, а также оценить влияние внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки на его избирательность.

Краткиетеоретическиесведения

Параллельным колебательным контуром называется цепь (рис. 3.1), составленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключенных параллельно выходным зажимам источника.

Режим цепи, при котором реактивная составляющая входной проводимости равна нулю, называется резонансом токов:

					1				1
			YBХ =					+		= g − jb ,
						R + jωL			R +1/ jωC
						L			C
где b =		ωL	−		1/ ωC		.
	R2	+(ωL)2		R2	+(1/ ωC )2
	L			C

b = 0 при ω′0 , определяемой из условия

ω′0L RC2 +(1ω′0C )2 −1ω′0C RL2 +(ω′0L)2 = 0 ,

откуда

	1		(L / C )− R2		1		ρ2 − R2
ω′0 =			L	=			ρ2 − RL2 .
	LC		(L / C )− R2		LC
			C				C

Рис. 3.1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-37-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

	При равенстве	активных		сопротивлений ветвей RL = RC или при
	RL << ρ, RC << ρ, что выполняется практически во всем интересующем нас
	диапазоне частот, ω′0	≈ ω0 =	1	, т. е. условия резонанса токов совпадают с
			LC

условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C.

Комплексное входное сопротивление контура

ZBХ = (RL + jωL)((RC +1 jωC )),

RL + RC + j ωL −1 jωC

при RL << ωL и R	1		,
C	ωC
ZВХ =			L / C		=	ρ2	=	ρ2
									,
		R + j (ωL −1/ ωC )				ZВХпосл		R (1+ jξ)
где ZВХпосл = RL + RC + j (ωL −1/ ωC ) –					входное		сопротивление последова-

тельного контура, составленного из тех же элементов. На резонансной частоте

ZВХ Р = RЭ = ρ2 =Qρ,

R

при Q = 100–200 и ρ = 100–1000 Ом, ZBX Р = RЭ = 10–200 кОм.

Разделив вещественную и мнимую части комплексного входного со-

противления, получим

Z

=

RЭ

=

RЭ

− j

RЭξ

= R − jX

.

1+ jξ

1

+ ξ2

1+ ξ2

ВХ

ВХ

ВХ

Модуль входного сопротивления

ZВХ

=

RЭ

.

1+ξ2

Амплитудно-частотная характеристика

ZВХ

=

1

= n(ξ) имеет та-

1+ ξ2

RЭ

кой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-38-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

RВХ

XВХ

ZВХ

RЭ

RЭ

RЭ

ZВХ

φ

RЭ

RВХ

RЭ

90о

0,5

1

ω

ω0

2Q

ω	1	0	ω	0	ω0	ω
ω0	2Q		ω0	– 90о
	– 0,5		XВХ
			RЭ

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Графики частотных зависимостей |ZBX|/RЭ, RBX/RЭ, XBX/RЭ, представлены на рис. 3.2.

Действительно, XBX имеет максимум при

dX BХ

=

RЭ (1+ξ2 )−ξRЭ2ξ

= 0,

dξ

1+ξ

2

)

2

(

откуда 1 + ξ2 – 2ξ2 = 0, ξ = ±1 или ξ= 2Q

ω

ω

1

= ±1 и

= ±

.

ω0

ω0

m

2Q

Фазочастотная характеристика φ = arctg (–ξ) представлена на рис. 3.3. Комплексная передаточная функция контура по току

KIL =	IL	=	UK / jωL	=	ZBХ	(при RL << ωL).
					jωL
	I UK / ZBХ

Амплитудно-частотная характеристика

ZBX

ω

R

= n (ω)

ω

ρ2

=Qn (ω)

ω

K

IL

=

0

Э

0

0

,

ωL

ω

R

ω ρ R

ω

0

Э

что аналогично АЧХ последовательного контура при выходном напряжении на емкости

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-39-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

KIC =	I	C	=	UK / (− jXC )	= −	Z	BХ	(при RC << 1 /ωC).
				UK ZBХ
	I					jXC

Амплитудно-частотная характеристика

KIC =Qn (ω)ωω ,

0

при ω = ω0 n(ω0) = 1, IL Р = ICp = IK Р,

KIL = KIC = IKI Р =Q ,

т. е. ток в контуре в Q раз больше тока в неразветвленной части цепи, поэтому явление резонанса называется резонансом токов.

Сопротивление нагрузки RH, включенное параллельно контуру, вызывает дополнительные потери, уменьшает добротность и увеличивает полосу пропускания контура

QH = R +ρRBH = R +ρρ2 =1+QRЭ <Q ,

RH RH

где RBH = ρ2 – внесенное сопротивление, сопротивление нагрузки, пересчи-

RH

танное в последовательное сопротивление в контуре.

Аналогично оказывает влияние на избирательность контура внутреннее сопротивление источника сигнала. Заменив в схеме (рис. 3.1) источник ЭДС эквивалентным источником тока, получим цепь, в которой параллельно контуру подключено внутреннее сопротивление Ri, оказывающее такое же влияние, как и сопротивление нагрузки.

Эквивалентная добротность контура

QЭ = R +ρρ2 =1+QRЭ <Q .

Ri Ri

С уменьшением внутреннего сопротивления генератора эквивалентная добротность уменьшается, а полоса пропускания увеличивается.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-40-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

						0
0								ω0		ω
		ω0		ω
	Рис. 3.4							Рис. 3.5

Если контур питается от идеального источника тока (Ri = ∞), то QЭ = Q. Характер частотных зависимостей напряжения на контуре и тока в неразветвленной части цепи показан на рис. 3.4.

При питании контура от идеального источника ЭДС (Ri = 0) напряжение на контуре не зависит от частоты, а ток имеет минимум на резонансной

частоте IP = E (рис. 3.5).

RЭ

В реальных условиях, при произвольном внутреннем сопротивлении генератора, частотно-зависимыми функциями являются как напряжение на контуре, так и ток в неразветвленной части цепи (рис. 3.6).

На рис. 3.6, в приведены зависимости напряжения на контуре и напряжения на внутреннем сопротивлении генератора (тока в неразветвленной части цепи) при разичных соотношениях между Ri и RЭ. Контур имеет следующие параметры: С = 7,5 нФ, L = 53 мГн, RL = 40 Ом, RH = 30 кОм.

Получение высокой избирательности требует как можно меньшего влияния внутреннего сопротивления источника сигнала на колебательный контур. Кроме того, максимальная мощность передается от генератора к нагрузке при Ri = RH.

Поскольку параллельный колебательный контур является нагрузкой генератора, внутреннее сопротивление Ri которого не регулируется в широких пределах, то для согласования контура с генератором необходимо изменить его параметры так, чтобы изменилось входное сопротивление RЭ при неизменной резонансной частоте и полосе пропускания. Это условие выполняется в сложных контурах II и III вида с неполным включением индуктивности и емкости (рис. 3.7).

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-41-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

RЭ

RЭ

RЭ

RЭ

2

RЭ

RЭ

RЭ

2RЭ

0

0

ω0

ω

ω0

ω

а

б

В

1 В

1,0

0,75

RЭ

RЭ

0,5

RЭ

0,25

0

6

f0

10

20

f, кГц

в

Рис. 3.6

В общем случае соотношения между L1 и L2, C1 и C2 можно изменять. Для получения резонанса токов необходимо, как и в контуре первого

вида, чтобы X1 = –X2. Для контура II вида (рис. 3.7, а)

ω0L1	= − ω0L2 −	1	(при R1 << X1 и R2 << X2);
		ω0C

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-42-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

ω

(L + L

)−

1

= 0

или ω

=

1

f

=

ω0 ,

0

0

0

1 2

ω0C

LC

2π

где L = L1 + L2.

L1

Обозначим

p =

– коэффициент включения, тогда X1 = ω0L1 = pω0L,

L

ω0L = ρ.

Входное сопротивление контура при резонансе

Z

BX

= R

Э

=

X12P

=

p2ρ2

= p2R

Эmax

(R = R

+ R ).

P

R

R

1

2

Кроме резонанса токов в контуре II вида возможен и резонанс напряжений в ветви L2C:

X		= ω		L	−	1	= 0, ω		=	1	> ω			f		= ω02	.
	2		02					02				0			02
				2		ω02C				L2C						2π

При частоте ω = ω02 сопротивление второй ветви резко падает до вели-

чины R2.

Поскольку L2 = – L1 = L(1 – p), то

	ω02	=		1	=	ω0		,
			L(1	− p)C		1	− p

т. е. чем меньше коэффициент включения, тем ближе ω02 к ω0.

Ri

Ri

C1

L2

L1

C2

R2

R2

R

R1

1

а

б

Рис. 3.7

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-43-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Модуль входного сопротивления контура при небольших расстройках

Z = p2 R Эmax .

BX 1+ξ2

Если контур питается от идеального источника тока, то напряжение на нем изменяется с частотой так же, как и |ZBX|.

На рис. 3.8, а приведена зависимость напряжения от частоты на реальном контуре с параметрами L1 = L2 = 25 мГн, C = 7,5 нФ, R = 40 Ом при подключении его к источнику Е = 1 Вс внутренним сопротивлением Ri = 10 кОм.

Контур II вида не только выделяет сигналы с частотой, близкой к ω0, но и более сильно, чем контур I вида, подавляет сигналы, близкие по частоте

к ω02.

На рис. 3.8, б представлена ФЧХ, соответствующая данной амплитуд- но-частотной характеристике.

	1,0				В
		0,8
		0,6
		0,4
			0,2
			0
							f0
				2					10		f02		20		30 f, кГц
							а

	150			φ, град
	100
	50
	0
	– 50
	100
			2				f0			10
												20		30 f, кГц
								б

Рис. 3.8

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-44-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Действительно, на частотах 0 < ω < ω0 входное сопротивление контура имеет индуктивный характер, поскольку на частоте ниже резонансной в параллельном контуре сопротивление левой ветви (рис. 3.7, а) меньше сопротивления правой ветви, имеющей емкостной характер. На частотах ω0 < ω < ω02 входное сопротивление определяется емкостным сопротивлением правой ветви, поскольку последовательный контур L2C на ω < ω02 имеет входное сопротивление емкостного характера. На частотах ω > ω0 сопротивления ветвей X1 и X2 имеют индуктивный характер и ФЧХ стремится к 90º при ω→∞. Следует отметить, что в колебательном контуре с потерями ФЧХ нигде не достигает значения ±90º.

В контуре III вида (рис. 3.7, б) X1 = –X2 при

1

1

ω0L −

= −

, (R1

<< X1 и R2 << X2).

ω

C

ω

C

2

0

1

0

Откуда ω0

=

1

, где C =

C1C2

.

LC

C1 +C2

Обозначив

C

= p – коэффициент включения, получим

C2

1

1

2 ρ2

2

R Э =

=

= p

R = p Q ρ.

R(ω0C2 )2

ω0

C 2

R

p

Как и в контуре II вида, в контуре III вида возможен резонанс напряжений в первой ветви, когда

X1	= 0 ω01L −	1	= 0, ω01 =	1	< ω0 .
		ω01C1		LC1

АЧХ и ФЧХ для контура с параметрами L = 50 мГн, C1 = C2 = 15 нФ, R = 40 Ом при подключении его к источнику Е = 1 В с внутренним сопротивлениемRi = 10 кОм представлены на рис. 3.9.

Следует отметить, что для передачи максимальной мощности от генератора к контуру следует выбрать коэффициент включения

p	=	Ri R	=	Ri	R		= R	Э	= p2	ρ2 .
OPT		ρ2		R Эmax		i			OPT	R

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-45-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

1,0 В

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2

150 φ, град

100

50

0

–50

–100 2

f01

f0

10

20

30 f, кГц

а

f0

10

20

30 f, кГц

б

Рис. 3.9

Домашнеезадание

1. Для параллельного колебательного контура (рис. 3.10, а, б, в) рассчитать частоту параллельного резонанса, характеристическое сопротивление, добротность, полосу пропускания, входное сопротивление при резонансе, а также частоту последовательного резонанса.

R1

R1

R1

L3

L3

L3

C5

C5

C5

L2

C4

C4

C4

L2

L2

а

б

в

Рис. 3.10

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-46-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

2. Рассчитать и построить графики входных АЧХ и ФЧХ параллельного контура (рис. 3.10, а, б) без нагрузки и с нагрузкой RH1 = R7 100 кОм и RH2 = R6 = 3,6 кОм в диапазоне частот 1–20 кГц.

Порядоквыполненияработы

1. Собрать цепь по схеме (рис. 3.10, а). С помощью клавиатуры ПК задать параметры входного сигнала (fH = 1 кГц, fB = 20 кГц, ∆f = 0,5 кГц, амплитуда колебаний 1 В). Полученные на экране АЧХ и ФЧХ контура скопировать на дискету (или зарисовать с экрана на миллиметровку).

2. Подключив параллельно выходным зажимам сопротивление RH2 = R6 = 3,6 кОм, повторить измерения как в п. 1. Отметить изменения АЧХ и ФЧХ, добротности и полосы пропускания контура при подключении RH.

3.Подключив вместо сопротивления R6 сопротивление R7 = 100 кОм, повторить измерения частотных характеристик как в п. 1. Отметить влия-

ние сопротивления R7 на АЧХ, ФЧХ, добротность и полосу пропускания контура.

4.Собрать цепь по схеме (рис. 3.10, б, контур II вида) и провести регистра-

цию АЧХ и ФЧХ контура без нагрузки и с нагрузкой RH2 = R6 = 3,6 кОм. Оценить влияние RH на добротность и полосу пропускания.

5.Собрать цепь по схеме (рис. 3.10, в, контур III вида) и повторить измерения аналогично п. 4.

Содержаниеотчета

Отчет должен включать:

1.Результаты выполнения домашнего задания.

2.Схемы лабораторных исследований.

3.Графики частотных зависимостей напряжения на контуре для различных типов контуров.

4.Краткие выводы по итогам выполнения работы с анализом причин расхождения экспериментальных и расчетных данных.

Контрольныевопросы

1.Почему резонанс в параллельном колебательном контуре называется резонансом токов?

2.Как экспериментально определить частоту последовательного резонанса fP посл в сложном параллельном контуре?

3.ИзобразитедиаграммыреактивныхсопротивленийX(ω) дляконтура:

а) с разделенными индуктивностями;

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-47-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

б) с разделенными емкостями.

4. Постройте в одинаковых масштабах |Z(ω)|: а) в простом;

б) в сложных параллельных контурах, сравните их с диаграммами реактивных сопротивлений.

5.Сравните свойства параллельного и последовательного контуров.

6.Во сколько раз при резонансе сопротивление простого параллельного контура больше резонансного сопротивления последовательного контура, если известно, что они составлены из одинаковых элементов и их добротность Q = 100?

7.Как влияет внутреннее сопротивление генератора на сопротивление контура при резонансе, на полосу пропускания контура?

8.Как выбрать коэффициент включения сложного параллельного контура, если необходимо получить максимальную мощность в контуре?

9.Почему параллельный колебательный контур является трансформатором сопротивления? Чему равен коэффициент трансформации сопротивления?

10.Как влияет сопротивление нагрузки на частотные характеристики параллельного контура?

11.Как изменится резонансная частота, эквивалентное сопротивление при резонансе, добротность простого параллельного контура, если индуктивность и активное сопротивление контура будут увеличены в два раза, а емкость уменьшена в два раза?

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-48-