ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Цель работы: экспериментально исследовать переходные процессы в RL-цепях при подключении к источнику прямоугольных видео- и радиоимпульсов.

Краткиетеоретическиесведения

Используемые для анализа линейных электрических цепей установившиеся процессы, при которых напряжения и токи − постоянные величины либо гармонические функции времени, практически не реализуемы, так как все физические процессы имеют начало и конец. Следовательно, любое непериодическое изменение воздействия, изменение конфигурации цепи или параметров входящих в нее элементов приводит к тому, что режим цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к неустановившемуся режиму, принято называть коммутацией. Нестационарные процессы, возникающие в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Возникновение переходных процессов в цепи обусловлено наличием в ней реактивных элементов (индуктивностей и емкостей), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При коммутации изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно, поскольку скорость изменения энергии P = dW/dt – мощность, отдаваемая или потребляемая соответствующими элементами цепи, не может быть бесконечно большой.

Это положение носит название принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи, из которого следует непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Вывод о непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на емкостях формулируется в виде законов коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется iL(0–) = iL(0).

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется UC(0–) = UC.

Следует отметить, что в цепях с идеализированными элементами скачкообразно могут изменяться: а) напряжения на R и L; б) токи в R и С.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-66-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t = 0) называются независимыми начальными условиями.

В основе всех методов расчета переходных процессов в линейных цепях лежит составление интегродифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе уравнений Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалов и после несложных преобразований приводятся к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами

a		d nY	+a		d n−1Y	+... +a	dY	+a Y = F (t),
	n dtn			n−1 dtn−1
						1 dt		0

где Y(t) – искомая функция (ток или напряжение); an, an–1, ..., a1, a0 – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; F(t) – известная функция, зависящая от внешнего воздействия.

Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В частности, можно использовать классический метод, согласно которому решение уравнения находится в виде суммы двух функций: Y(t) = Y1(t) + Y2(t), где Y1(t) – частное решение определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемый внешними источниками (правой частью уравнения F(t) = de/dt ), Y2(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения (при F(t) = 0) характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начального электрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные (собственные) составляющие.

Таким образом, Y(t) = YПР(t) + YСВ(t).

Для определения принужденной составляющей переходного процесса в цепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации.

Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи при F(t) = 0:

anpn + an–1pn–1 +...+ a1p + a0 = 0.

Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет вид

n

Y (t )= A1ep1t + A2ep2t +... + Anepnt = ∑Ak epkt ,

k=1

где A1, A2, ..., An – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их n – 1 – первых производных в начальный момент времени после коммутации).

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-67-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

t = 0

Рис. 5.1

Так как начальный запас энергии в реактивных элементах цепи всегда ограничен, то при наличии потерь свободные составляющие с течением времени затухают, и при t, стремящемся к бесконечности, в цепи будет наблюдаться только принужденный режим.

На основании законов коммутации

iL(0) = iLПР(0) + iLСВ(0) откуда iLCB(0) = iL(0–) – iLПР(0), UC(0) = UCПР(0) + UCСВ(0), UCСВ(0) = UC(0–) – UCПР(0),

т. е. начальные значения свободных составляющих определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.

Если цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивления и индуктивности (рис. 5.1), подключается к источнику внешнего напряжения, момент времени t = 0, тогда для t ≥ 0 справедливо уравнение

Ri + L dtdi = e(t ),

имеющее решение для тока в цепи

i(t) = iПР(t) + iСВ(t), iСВ(t) = Aept,

где р − корень характеристического уравнения R + Lp = 0, p = –R/L; A – постоянная интегрирования, iПР(t) определяется видом функции e(t).

При включении постоянной ЭДС функция внешнего воздействия

( ) 0 t < 0, e t = E t > 0

имеет вид, представленный на рис. 5.2. Принужденную составляющую рассчитаем, предположив, что в цепи установился постоянный ток, тогда

	i(t )=	E	+	A e pt ,
		R

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-68-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

где ER = iПР (t).

iПР

0

0

iСВ

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Найдем постоянную интегрирования А. Если iL(0–) = 0, то iL(0) = iL(0–) = iПР(0) + iСВ(0) = (E/R) + A,

A = –E/R.

Таким образом, i(t )= ER (1−e− RL t ).

Напряжение на сопротивлении UR (t)= Ri = E (1 −e−RL t ). Напряжение на индуктивности UL (t)= L dtdi = Ee−RL t .

Очевидно, что UR(0) = 0, а UL(0) = E, так как при t = 0 ток еще не течет и действие внешнего источника компенсируется ЭДС самоиндукции:

eL = −L dtdi , eL (0)= E , eL = −L dtdi .

Свободный ток в начальный момент имеет максимальное по абсолютной величине значение, а затем непрерывно уменьшается (рис. 5.3).

Чтобы оценить скорость нарастания тока в цепи, вычислим производную di/dt при t = 0. Дифференцируя выражение для полного тока по t, получим:

dtdi = ER RL e−RL t ,

откуда

di (0)=	E R			=	E		1	,
	R L
dt					R τL

где τL = L/R – постоянная времени RL-цепи.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-69-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Размерность постоянной времени [L/R] = [Гн/Ом] = [Ом С/Ом] = [С], ([Гн] = = [U/I/t ] = [В/А/С]).

					0
	0		τи
							и

0 τи

τи

0

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Очевидно, что чем меньше τL, тем быстрее возрастает ток в цепи, за время t = τL переходный ток возрастает до величины

i(τL) = I(1 – e–1) ≈ 0,632I,

где I = E/R, свободный ток падает от начального значения в е раз:

iCB(τL) = Ie–1≈ 0,368I, где е = 2,718.

Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается через t = (4 − 5) τL, при t = 5 τL ток в цепи достигает более 0,99 от установившегося значения.

Для нахождения отклика цепи на сигнал П-образной формы представим прямоугольный импульс на входе в виде двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину τи (рис. 5.4), и найдем отклик как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности. Тогда для напряжений на элементах будем иметь графики, представленные на рис. 5.5.

Если на вход RL-цепи включить гармоническую ЭДС е(t) = Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая тока будет представлять собой установившиеся колебания:

iПР(t) = Imcos(ωt + ψ – φ),

E

2

+(ωL)

2

ωL

где Im =

m

;

Z

=

R

;

ϕ = arctg

.

Z

R

Постоянную интегрирования в этом случае находим из условия iL(0–) = iПР(0) + iСВ(0), 0 = Imcos(ψ – φ) + A,

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-70-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

A = – Imcos(ψ – φ).

Следовательно, полный ток в цепи при t ≥ 0 определяется выражением

i(t )= Im		−	t
	cos(ωt + ψ−ϕ)−cos(ψ−ϕ)e		τL .

Напряжение на сопротивлении

UR (t )= Ri(t )= RIm		−	t
	cos(ωt + ψ−ϕ)−cos(ψ−ϕ) e		τL .

Напряжение на индуктивности

		(t) = L di			−	t
U			= I
				−ωLsin (ωt + ψ−ϕ)+ Rcos(ψ−ϕ)e		τL .
	L	dt		m

Из полученных выражений следует, что соотношения между принужденными и свободными составляющими токов и напряжений на R и L определяются начальнойфазойгенератораψифазовойхарактеристикойцепиφ.

Если ψ – φ = π/2 (принужденная составляющая тока проходит через нуль в момент включения), то свободные составляющие i и U отсутствуют и в цепи сразужепослевключенияустанавливаетсястационарныйрежим (рис. 5.6).

Максимально возможные величины принужденных и свободных составляющих тока и напряжений в цепи будут наблюдаться, если ψ = φ или ψ – φ = ±π (рис. 5.7). Если постоянная времени цепи велика (τL >> T, T – период колебаний) и, следовательно, свободная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока

(рис. 5.7).

iПР(t)

			0
	0
						iСВ(t)
					i(t)= iПР(t)+ iСВ	(t)
		Рис. 5.6			Рис. 5.7
		Основы теории цепей. Лаб. практикум	-71-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Определив отклик цепи на гармоническую ЭДС, можно найти отклик на радиоимпульс прямоугольной формы.

Прямоугольный импульс с немодулированным заполнением (рис. 5.8) определяется выражением

E			cos(ωt + ψ)	при 0 <t < τ
e(t )=		m			и ,
	0		при t < 0 и t > τи .

На интервале времени 0 ≤ t ≤ τи отклик цепи на такой сигнал может быть определен как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0. Очевидно, в цепи после окончания входного импульса будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений UR и UL, так как при t > τи внешнее воздействие e(t) = 0.

Если iL(τи) = I, то i(t )=i

(t )

−

t

(τ

)= I =

−

τи

τL при t = τи i

τL , отку-

= Ae

и

Ae

св

L

τи

i(t )= Ie−

(t − τи)

да A = Ie τL , следовательно, для t > τи

τL

и напряжение на эле-

ментах

UR (t )= Ri(t )= RIe−

(t − τи)

UL (t )= L di

= −RIe−

(t − τи)

τL ,

τL

,

dt

UR + UL = 0 при t > τи.

Таким образом, полный отклик RL-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный на рис. 5.9.

Следует отметить, что с учетом влияния генератора прямоугольных импульсов (рис. 5.10) постоянная времени цепи рассчитывается как

τL = Ri L+ R , где Ri – внутреннее сопротивление генератора.

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-72-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Рис. 5.10

Домашнеезадание

1.Исходя из параметров элементов R, L для лабораторного стенда, вы-

брать сопротивление R = R3 и индуктивность L = L5 и рассчитать постоянную времени τи.

2.Записать аналитические выражения и построить графики напряжений на сопротивлении и индуктивности при воздействии прямоугольного видеоимпульса амплитудой 1 В и длительностью, равной длительности пе-

реходного процесса (τи = 4−5τL) .

3. Построить графики напряжений на сопротивлении и индуктивности при включении на вход радиоимпульса длительностью τи = 4τL, частотой заполнения f = 1/T=1/τL для четырех значений начальной фазы заполнения

ψ = φ, ψ = φ + π/4, ψ = φ – π/4, ψ = φ – π/2,	ϕ = аrctg	2πfL	.
		R

Примечание: при расчетах по пп. 1–3 необходимо учесть внутреннее сопротивление генератора прямоугольных импульсов Ri = 30 Ом, также сопротивлениепотерьиндуктивностиRL = 30 Ом, включенныепоследовательносR3.

Порядоквыполненияработы

1.С помощью переключателей лабораторного стенда собрать схему

(рис. 5.11).

2.С помощью клавиатуры ПК задать импульсный сигнал на входе RL-цепи с параметрами, соответствующими п. 2 домашнего задания, и после режима считывания зарисовать графики напряжений на индуктивности в каждом случае в отдельности либо скопировать на дискету.

Рис. 5.11

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-73-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RL-ЦЕПИ

Примечание: период повторения прямоугольных импульсов задать равным 8τL.

3.Поменять в схеме (рис. 5.11) R3 на L1 = L5, а L5 на R3 = R5, повторить измерения по п. 2.

4.Собрать схему (рис. 5.11). Задать на входе цепи радиоимпульс с параметрами, соответствующими п. 3 домашнего задания, и провести регистрацию напряжений на индуктивности в каждом случае в отдельности, аналогично п. 2.

5.Собрать схему по п. 3, повторить регистрацию напряжений на сопротивлении аналогично п. 4.

Содержаниеотчета

Отчет должен включать:

1.Результаты выполнения домашнего задания в виде аналитических выражений и графиков напряжений на элементах.

2.Структурные схемы экспериментов.

3.Снятые графики напряжений по пп. 2–5.

4.Краткие выводы по работе с анализом причин расхождения расчетных и экспериментальных данных.

Контрольныевопросы

1. Как изменяются кривые тока и напряжения на элементах при изменении величин R и L в два раза? (Нарисовать зависимость тока и напряжения на элементах от времени при увеличении или уменьшении R, L в два раза при включении в цепь постоянной или гармонической ЭДС.)

2. Нарисовать отклики RL-цепи на воздействия, показанные на рис. 5.12, для τи = τL и τи = 4τL.

τи

2τи

τи

2τи

τи	2τи	τи	2τи
	Рис. 5.12
Основы теории цепей. Лаб. практикум			-74-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

Цель работы: экспериментально исследовать переходные процессы в RC-цепи при подключении к генератору прямоугольных видео- и радиоимпульсов.

Краткиетеоретическиесведения

Предположим, что RC-цепь (рис. 6.1) в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения e(t). На основании второго закона Кирхгофа для t ≥ 0 уравнение цепи имеет вид e(t )= Ri(t )+UC .

Поскольку

i(t )=C dUdtC ,

то e(t )= RC dUdtC + UC .

Характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда p = –1/RC и постоянная времени τC = RC [C].

[RC] = [Ом Ф] = [Ом К/В] = [Ом А С/В].

−	t
Следовательно, UC =UC ПР +UC СВ, UC (t)=UC ПР + Ae	τC .

Как и в RL-цепи, U(t) определяется видом подключаемого источника и величинами R и С.

Рис. 6.1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-75-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

UC ПР

0

UC СВ

Рис. 6.2

При подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 6.2) величина принужденной составляющей напряжения на емкости должна быть равна внешнему напряжению Е, так как при t, стремящемуся к бесконечности, емкость заряжается до напряжения источника питания (рис. 6.2).

Если запаса энергии в цепи до подключения внешнего источника не было, то

UC(0–) = UC(0) UC ПР + UC CB, 0 = Е + А,

А = – Е,

UC (t )=

−

t

. Ток в цепи i(t )

dU

E

−

t

τ

C

τ

E 1

− e

C

=C

=

e

C .

dt

R

Напряжение на сопротивлении UR (t )= Ri(t )=

−

t

τC .

Ee

При подключении RC-цепи к генератору прямоугольных импульсов (рис. 6.3) напряжения на элементах могут быть найдены как алгебраические суммы откликов на положительный и отрицательный скачки напряжения на входе и графики их имеют вид, представленный на рис. 6.4.

Из рис. 6.4 видно, что чем больше постоянная времени τC = RC, тем медленнее нарастает и спадает напряжение на конденсаторе.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-76-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

Рис. 6.3	Рис. 6.4
Если на вход RC-цепи	включить гармоническую ЭДС e(t) =

= Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая напряжения на конденсаторе будет

UC ПР =Um cos

ωt + ψ−ϕ−

π

,

2

где Um =

E

1

Z

R

2

1 2

1

m

;

=

+

;

ϕ= arctg

−

;

Z

ωC

ωC

ωCR

π/2 угол, на который напряжение на конденсаторе отстает от тока. Определив постоянную интегрирования из условия

UC(0–) = UC ПР(0) + UC CB(0),

	ψ−ϕ−	π	+ A ,
0 =Um cos
		2

получимА =Umsin(φ – ψ).

Следовательно, UC (t )=Um					π		−	t
	cos		ωt	+ ψ−ϕ−		+sin(ϕ−ψ)e		τC	.
					2

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-77-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

dU

π

1

−

t

C

τ

Ток i(t )=C

= − CUm

ωsin

ωt

+ ψ−ϕ−

−

sin (ϕ− ψ)e

C .

dt

RC

2

При t = (0+)

E

R

π

1

i(0 +)=

m

sin

ψ−ϕ−

+

sin (ϕ− ψ)

=

Z

ωC

Z

R

2

Em

Em

=

cosϕcos(ϕ− ψ)+sin ϕ sin (ϕ

ψ) =

cos ψ,

R

R

Emcos ψ = e(0),

т. е. если емкость не имела заряда до включения ЭДС, то в момент коммутации она как бы замыкается накоротко и ток в начальный момент времени зависит от активного сопротивления и значения ЭДС при t = 0.

Как и в RL-цепи, характер переходного процесса в RC-цепи зависит от соотношения ψ и φ. При ψ = φ в цепи не возникает свободной составляющей напряжения на конденсаторе и сразу же после включения гармонической ЭДС устанавливается стационарный режим. Если ψ – φ = π/2, то в цепи возникает максимальная свободная составляющая напряжения на конденсаторе и при τC >>T (T – период принужденных колебаний) в момент времени t = T/2 наблюдается максимальное напряжение, почти в два раза превышающее амплитуду принужденных колебаний (рис. 6.5).

Отклик RC-цепи на радиоимпульс на интервале 0 < t < τи определяется как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0.

После окончания импульса в цепи будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений на элементах R и С, определяемые напряжением на конденсаторе в момент времени t = τи.

−

t

Если при t = τи UC(τи) = U,

t > τи

τC ,

то при

UC = Ae

−

τи

−

t−τи

откуда UC (τи )=U =

Ae

τC

и UC (t )=Ue

τC

.

i(t )

dU

U

−

t−τи

Ток в цепи при t > τи

C

τ

=C

= −

e

C .

dt

R

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-78-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

UC(t)=UC ПР+UC СВ

0		0
				UC ПР
	Рис. 6.5			Рис. 6.6

Таким образом, отклик RC-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, показанный на (рис. 6.6).

Домашнеезадание

1. Исходя из параметров R и C для лабораторного стенда, выбрать сопротивления R3 и C8, для которых рассчитать постоянную времени τC с учетом внутреннего сопротивления генератора прямоугольных импульсов

Ri = 30 Ом.

2. Записать аналитические выражения и построить графики напряжений на сопротивлении и индуктивности при воздействии прямоугольного видеоимпульса амплитудой 1В и длительностью, равной длительности пе-

реходного процесса (τи = 4 − 5 τC).

3. Построить графики напряжений на сопротивлении и индуктивности при включении на вход радиоимпульса длительностью τи = 4τC, частотой заполнения f = 1/T = 1/τC для четырех значений начальной фазы заполнения

				1
	ψ = φ, ψ = φ + π/4, ψ = φ – π/4, ψ = φ – π/2,		ϕ = −arctg		.
				2πfCR

Порядоквыполненияработы

1.С помощью переключателей стенда собрать схему (рис. 6.7).

2.С помощью клавиатуры ПК задать на входе цепи прямоугольный импульс с параметрами, соответствующими п. 2 домашнего задания, и провести регистрацию напряжения на емкости.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-79-