ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ

Рис. 6.7

3.Поменять в схеме (рис. 6.7) R3 на C2 = C8, а C8 – на R5 = R3, провести регистрацию напряжения на сопротивлении при входных сигналах п. 2.

4.Собрать схему (рис. 6.7). Задать на входе радиоимпульс с параметрами, соответствующими п. 3, домашнего задания, и провести регистрацию напряжений на емкости в каждом случае в отдельности.

5.Собрать схему по п. 3, и провести регистрацию напряжения на сопротивлении аналогично п. 4.

6.Поменять в схеме (рис. 6.7) C8 на C8 + C4, повторить измерения по

пп. 2, 4.

7.Поменяв в схеме (рис. 6.7) R3 на последовательно соединенные C2 и C6, а C8 на R5 = R3, повторить регистрацию напряжений на сопротивлении по пп. 3, 5.

Содержание отчета

Отчет должен включать пункты, приведенные в лабораторной работе № 5.

Контрольныевопросы

Аналогичны контрольным вопросам, изложенным в лабораторной работе № 5.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-80-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цель работы: экспериментальное исследование переходных процессов RLC-цепи при подключении к генератору прямоугольных видео- и радиоимпульсов.

Краткиетеоретическиесведения

Если RLC-цепь (рис. 7.1), не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t ≥ 0 справедливо уравнение

Ri + L dtdi + C1 ∫idt = e(t ),

имеющее решение для тока i(t) = iПР(t) + iCB(t).

Свободная составляющая iСВ (t )= A1ep1t +A2ep2t , где p1 и p2 – корни характеристического уравнения

Lp2 + Rp +

1

= 0; p = −

R

±

R 2

−

1

.

C

1,2

2L

LC

2L

Обозначив δ =

R

, ω

0

=

1

, получим

p

= −δ± δ2

−ω2 .

2L

LC

1,2

0

A1 и А2 – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями в цепи; iПР(t) – принужденная составляющая тока, определяемая видом ЭДС e(t) и величинами R, L, C.

Рис. 7.1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-81-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

При подключении источника постоянного напряжения iПР(t) = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет:

i(t )=i

(t )= A ep1t

+ A ep2t ,

di = p A ep1t

+ p A ep2t .

CB

1

2

dt

1

1

2

2

Для t = 0

e(0)= Ri(0)+ L di (0)+ UC (0),

di

(0)=

E

,

dt

L

dt

так как iL(0) = iL(0–) = 0, UC(0) = UC(0–) = 0.

A + A = 0,

Таким образом,

1

2

E

p A + p A =

,

1

1

2 2

L

откуда

A1 = −

A2 =

E

,

L(p − p

)

1

2

следовательно,

i(t )=

E

(ep1t

−ep2t ).

L(p − p

)

1

2

В зависимости от соотношения δ и ω0 (ω0 – резонансная частота) воз-

можны три случая.

1.

Апериодический

процесс

–

δ > ω0,

R

>

1

,

R > 2

L

= 2ρ,

2L

LC

C

Q = Rρ < 0,5.

В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 7.2). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 7.3).

A1

P1t

A1

P1

P2

0

0

P2t

A2

A2 = –A1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-82-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

Рис. 7.4

Напряжения на элементах:

UR = Ri(t )=	ER			(e p1t −ep2t ),
	L(p − p	2	)
1

UL = L dtdi = (p1 −E p2 )(p1ep1t − p2e p2t ),

			1		p t	p t
UC = E −UR −UL = E 1	+				(p2e 1	− p1e 2	) .
		(p	− p	)
		1	2

Графики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис. 7.4.

2. Критический режим – δ = ω0, R = 2ρ, Q = 0,5

p1,2 = δ в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим:

i(t )= lim		E					ep1t −e p2t		=	E	te−δt ,
	L(p		− p		)(			)
p1→p2				2						L
	1

при ненулевых начальных условиях

i(t )= lim	E −U				ep1t −ep2t		=	E −U	te− δt .
	L(p − p		)(			)
p1→p2		2						L
	1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-83-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

Действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по p1, получаем:

		′			E t e	− p1t		E
i(t )=	lim	ϕ ( p1)	=	lim			=		t e− δt .
					L			L
	p1→p2 =−δ ψ′( p1)			p1→ −δ

Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов.

3. Колебательный процесс – δ < ω0, R < 2ρ,

Q > 0,5,

p1,2 = –δ ± jωCB.

Корнихарактеристическогоуравнениякомплексно-сопряженные(рис. 7.5).

ωCB =

ω02 −δ2

– угловая частота свободных (собственных) колебаний.

При p1,2 = –δ ± jωCB

i (t)

E

(− δ + jωCB )t

(− δ − jωCB )t

=

e

−

e

=

2 jωCB L

=

E

e− δt (cosωCB t + j sin ωCB t −cosωCB t + j sin ωCB t)=

2 jωCB L

=

E

e− δt sin ω

t.

ωCB L

CB

i

+j

E

δ t

p1

j

L

t

p2

−j

E

δ t

L

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-84-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 7.6).

Напряжение на элементах цепи:

UR = Ri =

ER

e− δt sin ω

t,

ωCB L

CB

UL =

L

di

= −

ω0

Ee− δt sin (ωCB t −ϕ),

dt

ωCB

ω0

UC = E −UR −UL = E 1

−

e− δt sin

(ωCB t +ϕ)

ω

CB

где ϕ = arctg

ωCB

.

δ

Графики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис. 7.7. Скорость затухания колебаний оценивают величиной e δTCB – декремен-

том затухания, где TCB – период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания ne δTCB =δTCB .

Очевидно, что чем меньше δ, тем медленнее затухают колебания в це-

пи.

TСВ

Рис. 7.7

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-85-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

T		=	2π	=	2π	.
CB			ωCB		ω02 −δ2
Учитывая, что ωCB = ω0	1−(δ/ ω0 )2 ω0 1−(R 2Lω0 )2 = ω0 1−(1 2Q)2 ,

при высокой добротности ωCB ≈ ω0 и TCB ≈ T0 логарифмический декремент затухания

δТ

=

R

T

=

Rω0

T

=

2πTCB

≈

π

.

CB

2L CB

2 ω0L CB

2QT

Q

Время практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты e–δt, которое составляет

(4 −5)1δ =(4 −5)2RL =(4 −5)τK ,

где τK – постоянная времени контура. За время переходного процесса tПР укладывается N периодов свободной составляющей, причем

N =	tПР	=	(4 −5)2 Lω0			=	(4 −5)2QωCB ≈Q.
	T		T	Rω
					0		2πω	0
	CB		CB

Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура.

Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса, найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности.

Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса на рис. 7.8, для колебательного процесса – на рис. 7.9.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-86-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

U, В

UВХ

Рис. 7.8

U, B

UBX

Рис. 7.9

Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения.

Пусть при t ≥ 0 внешняя ЭДС имеет вид e(t) = Emcos(ωt + ψ), тогда принужденный ток

iПР(t) = Imcos(ωt + ψ – φ), где

Im =

Em

,

Z

1

2

ωL −

1

2

ωC

Z

=

R

+ ωL −

,

ϕ = arctg

.

ωC

R

Полное решение для тока: i(t )= I

m

cos(ωt + ψ+ϕ)+ A ep1t + A ep2t .

1

2

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-87-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

При нулевых начальных условиях iL(0–) = 0,

UC(0–) = 0 для t = 0

имеем i(0–) = iL(0–) = 0 iПР(0) + iСВ(0).

I

m

cos(ψ−ϕ)+ A + A = 0,

di

(0)=

e(0)

=

Em

cos ψ,

1

2

dt

L

L

di (0)=

diПР

(0)+

diCB

(0)= − ωI

m

sin (

ψ−ϕ)+ p A

+ p A ,

dt

dt

dt

1 1

2 2

I

m

cos(ψ−ϕ)+

A

+

A

= 0,

1

2

−ωI

m

sin (ψ

−ϕ)+ p A + p A

=

Em

cos ψ.

1 1

2

2

L

Отсюда

A1

A2

=

ω

Im sin (ψ−ϕ)+

p2

Im cos(ψ−ϕ)+

Em

cos ψ,

p1

− p2

p1

− p2

L(p1 − p2 )

= −

ω

Im sin (ψ−ϕ)−

p1

Im cos(ψ−ϕ)−

Em

cos ψ.

L(p1

− p2 )

p1 − p2

p1 − p2

Подставив постоянные интегрирования А1 и А2 в выражение для полного тока, получим:

i(t )= Im cos(ωt + ψ−ϕ)+

Im

cos(ψ−ϕ)(p2ep1t − p1e p2t )+

p1 − p2

+

E

ωL

sin (

(e

p t

−e

p t

).

L(p − p

) cos ψ+

Z

ψ−ϕ)

1

2

m

1

2

Наибольшее применение на практике имеют колебательные контуры с малыми потерями (R << ρ). В этом случае

p1 – p2 = 2jωCB и ep1t −ep2t = 2 j e− δt sin ωCBt,

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-88-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

p e p1t − p ep2t =

(−δ− jω

CB

)e(−δ+ jωCB )t −(−δ+ jω

CB

)e(−δ− jωCB )t =

2

1

= −2 j (δsin ω t +ω

CB

cosω

t )e− δt = − 2 j

ω2

+δ2

(cosω t sin ϕ

C

+

CB

CB

CB

CB

+sin ω

CB

t cosϕ

)e− δt = −2 jω

CB

e− δt sin (ω

t + ϕ

),

C

CB

C

ϕC = arctg ωδCB .

Следовательно,

i(t )= Im cos(ωt + ψ−ϕ)− Im ωω0 cos(ψ−ϕ)e− δt sin (ωCBt + ϕC )+

CB

+ ωEmL cos ψ+ ωZL sin (ψ−ϕ) e− δt sin ωCBt.

CB

Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебаний внешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний.

Чаще всего колебательный контур с малыми потерями (δ << ω0) работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Если ψ = π/2, т. е. напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через

нуль, то ωCB ≈ ω0 ≈ ω, Z = R, φ = 0, ϕC ≈ π2 ,

it ≈ ERm (1−e− δt )sin ω0t.

0

Рис. 7.10

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-89-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

Из последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контуре с течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь к

принужденной составляющей

Em

(рис. 7.10).

R

Скорость нарастания амплитуды тока определяется производной

di ,

где

I (t )= Im (1−e− δt ).

dt

di (0)

= Imδ, δ =

R

=

Rω0

=

ω0

=

ωK

,

dt

t=0

2L

2ω0L

2Q

2

di (0)

=

ωK

Im =

Im

.

dt

t=0

2

τK

Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полоса пропускания контура и меньше добротность.

Если частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотой контура, то при малых расстройках (ω0 ≈ ω)

i(t) = –Imsin(ωt – φ) + Ime–δtsin(ω0t – φ).

Если потери в контуре отсутствуют (δ = 0), то

i(t )≈ − Im sin (ωt −ϕ)+ Im sin (ω0t −ϕ)=
ω−ω			ω+ ω			; ω> ω0	,
= −2Im sin	2	0 t sin		2	0 t −ϕ

т. е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами в контуре возникают колебания с частот ω+2ω0 ≈ ω и медленно изме-

няющейся амплитудой sin ω−ω0 t , так называемые биения (рис. 7.11).

2

Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частоты внешней ЭДС и резонанса контура.

В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободной составляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течением времени будет стремиться к установившемуся значению Im (рис. 7.12).

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-90-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

i

2Im

t

Рис. 7.11

0

Рис. 7.12

0

Q1 < Q2

τи

а

0

Q1 < Q2

τи

б

Рис. 7.13

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-91-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

0

τи

Рис. 7.14

Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до τи можно найти как отклик на гармоническую ЭДС, включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = τи после прекращения действия внешней ЭДС, остается только свободная составляющая тока

IСВ(t) = –Im1e–δtsin(t – φ),

где Im1 определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t = τи. Таким образом, полный отклик колебательного контура на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный на рис. 7.13, для случая ω = ω0 и для случая ω > ω0 – на рис. 7.14.

Домашнеезадание

1. Исходя из заданных параметров L1 и C8 лабораторного стенда, рассчитать постоянную времени контура, частоту и период свободных колеба-

ний цепи в случае R = Ri + RL = 60 Oм, L = L1, C = C8.

2. Построить графики напряжений на элементах цепи при воздействии прямоугольных видеоимпульсов амплитудой 1 В и длительностью τи1 =

=0,5QTCB (Q – добротность контура).

3.Построить графики зависимостей напряжений на элементах цепи от времени для R = R2 + Ri + RL, L = L1, C = C8 при воздействии прямоугольных

видеоимпульсов амплитудой 1 В и длительностью τи2 =		4				, pmin – мини-
			pmin

мальный по модулю корень характеристического уравнения.

4. Построить графики напряжений на элементах цепи при воздействии

радиоимпульса амплитудой 0,1 В, длительностью τи3	= QT0, (T =	1	, f0 –
	0	f0

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-92-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

резонансная частота контура), частотой заполнения f = f0 и f = 1,1f0, началь-

ной фазой заполнения π2 при R = Ri + RL = 60 Oм.

Порядоквыполненияработы

1. Собрать схему (рис. 7.15) для исследования переходных процессов в RLC-цепи.

L1

C2

L4

UВЫХ

UВЫХ

UВХ

C8

UВХ

Рис. 7.15

Рис. 7.16

2. Задать на входе прямоугольный импульс с параметрами, соответствующими пп. 2, 3 домашнего задания, и провести регистрацию напряжений на емкости в двух случаях: при R = Ri + RL = 60 Oм и

R = R2 + Ri RL.

3.Поменяв в схеме (рис. 7.15) L1 на C2 = C8, а C8 на L5 = L1, повторить регистрацию напряжений на индуктивности по п. 2.

4.Собрать схему (рис. 7.16) и повторить регистрацию напряжения на сопротивлении при R = R4 и R = R6.

5.Задать на входе цепи (рис. 7.15) радиоимпульс с параметрами, соответствующими п. 4 домашнего задания, и провести регистрацию напряжений

на емкости при R = Ri + RL = 60 Oм и R = R2 + Ri RL.

6. Собрав схему по п. 3, провести регистрацию напряжения на индуктивности аналогично п. 5.

Содержаниеотчета

Отчет должен включать:

1.Результаты выполнения домашнего задания в виде аналитических выражений и графиков напряжений на элементах R, L, C.

2.Структурные схемы измерений.

3.Снятые графики напряжений на элементах по пп. 2–6.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-93-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОД-Х ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ВТОР. ПОРЯДКА

4. Краткие выводы по работе с анализом причин расхождения расчетных и экспериментальных данных.

Контрольныевопросы

1.Как изменяются кривые тока и напряжения на элементах при изменении величин R, L, C в два раза при включении на входе постоянного напряжения? Нарисовать качественно зависимость тока и напряжения на элементах от времени при увеличении или уменьшенииR, L, C в два раза.

2.Нарисовать качественно отклики RLC-цепи на воздействия, показанные на рис. 7.9, при τи1 = TCB, τи2 = QTCB.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-94-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8 ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

НИЖНИХ ЧАСТОТ

Цель работы: экспериментально исследовать амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики Г-, Т- и П-образных фильтров нижних частот типа k при различных сопротивлениях нагрузки.

Краткиетеоретическиесведения

Электрические цепи, предназначенные для выделения колебаний, лежащих в определенном диапазоне частот, называются электрическими фильтрами.

Электрические фильтры широко применяются в радиотехнике, многоканальной проводной связи, автоматике, измерительной технике и во многих других областях современной радиоэлектроники, использующих принцип частотной селекции сигналов.

Электрический фильтр представляет собой четырёхполюсник, пропускающий без заметного ослабления колебания определенных частот и с большим ослаблением колебания других частот. Полоса частот, в которой затухание фильтра мало − полоса пропускания (прозрачности). Остальная область частот − полоса задерживания (подавления).

В зависимости от диапазона частот, пропускаемых фильтром, различают фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые и заграждающие.

Четырехполюсник обладает свойствами фильтра только в том случае, когда сопротивления Z1 = ±jX1 и Z2 = ±jX2, входящие в Г-образные или симметричные Т- и П-образные схемы (рис. 8.1), имеют разные знаки.

Электрический фильтр наилучшим образом выполняет свои функции, если он нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению.

Рис. 8.1

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-95-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Втеории фильтров, основанной на характеристических параметрах четырехполюсников, решаются следующие основные задачи:

1) устанавливаются условия, при которых фильтр имеет полосу прозрачности;

2) определяется ширина полосы прозрачности; 3) находятся уравнения частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ).

Втеории четырехполюсников показано, что характеристические сопротивления (входные сопротивления в режиме двустороннего согласования) Г-образного звена-прототипа определяются следующим образом:

Z

= Z

=

Z Z

1

+

Z1

,

Z

= Z

=

Z1Z2

.

C1

T

C 2

Ï

1 2

4Z

Z

1

+

2

1

4Z2

Постоянная передачи (мера передачи) g = a + jb может быть определе-

на из соотношения

sh

g

=

Z1

.

4Z2

2

Т- и П-образные симметричные четырехполюсники получаются каскадным согласованным соединением двух Г-образных четырехполюсников (рис. 8.2), поэтому их постоянные передачи равны удвоенному значению постоянной передачи Г-образного звена-прототипа.

Для Т- и П-образных симметричных схем

chg =1+ Z1 . 2Z2

Характеристические сопротивления полученных звеньев остаются равными соответствующим сопротивлениям Г-образного звена.

Рис. 8.2

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-96-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Так как фильтр нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению, соотношение напряжений и токов его на входе и выходе

U1 = I1 = eg .

U2 I2

Из определения полосы прозрачности следует, что затухание а = 0; фазовая же постоянная b в этой полосе частот может быть отличной от нуля. Поэтому в полосе прозрачности g = a + jb оказывается мнимой величиной и

chg = ch jb = cosb =1+				Z1	;
				2Z2
chg = ch jb = e jb + e− jb	=	1	(cosb + j sin b +cosb − j sin b)= cosb.
2		2

Поскольку cos b не может быть больше единицы, то необходимым условием наличия полосы прозрачности является разный характер сопротивлений Z1 и Z2, т. е. если Z1 = jX1 положительно (имеет индуктивный характер), то Z2 = –jX2 должно быть отрицательным (емкостным) и наоборот. Это условие необходимо, но не является достаточным, cos b может изменяться в пределах от –1 до +1, следовательно,

−1 ≤1+	Z1	≤1, −1 ≤	Z1	≤ 0, −1 ≤	X1	≤ 0 .
	2Z2		4Z2		4X2

Таким образом, для существования полосы пропускания необходимо и достаточно, чтобы сопротивления X1 и X2 имели разные знаки, а по абсолютной величине X1 было бы меньше 4X2, т. е. |X1| < 4|X2|.

Граничные частоты полосы пропускания (частоты среза) можно определить несколькими способами, используя основное неравенство теории фильтров:

−1 ≤ Z1 ≤ 0 .

4Z2

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-97-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Выше было показано, что chg = A

=1+

Z1

,

11

2Z2

где A

=

U1

; A

=

1

; K

XX

=

U2

– комплексный коэффици-

11

U2

I2 =0(ХХ на вых)

11

KXX

U1

ент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе.

В полосе пропускания	−1 ≤ A ≤1, следовательно, −1 ≤	1	≤1
	11	KXX

и −1 ≥ KXX ≥1.

Из последнего выражения для модуля коэффициента передачи получим KXX ≥1. Для граничных частот это неравенство обращается в равенство

KXX(ωгр) = 1.

Таким образом, граничные частоты могут быть определены как частоты, на которых коэффициент передачи при холостом ходе равен единице. Это определение особенно удобно при экспериментальном исследовании фильтров.

Частотными характеристиками фильтра являются зависимости: а(ω) – амплитудно-частотная характеристика;

b(ω) – фазочастотная характеристика.

Для нахождения уравнений частотных характеристик используем выражение для постоянной передачи Г-образного звена

g

Z

a

+ j

b

a

b

+ jch

a

b

= ± j

X

1

sh

=

1

=sh

=sh

cos

sin

2

4Z2

2

2

2

2

2

2

4X2

при Z1 = ±jX1 иZ2 = jX2. Разделив вещественную и мнимую части, получим:

sh

a

cos

b

= 0,

2

2

X1

ch a sin b = ±

.

2

2

4X

2

В полосе пропускания а = 0, следовательно,

sh a

= 0,

ch a

=1 и

2

2

sin b

= ±

X1

.

2

4X2

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-98-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Поскольку сопротивления X1 и X2 зависят от частоты, то из последнего уравнения получим зависимость коэффициента фазы от частоты в полосе пропускания (ФЧХ) в виде

b(ω) = ±2arcsin

X1(ω)

.

4X2 (ω)

Амплитудно-частотная характеристика в полосе пропускания а(ω) = 0

сливается с осью частот.

В полосе подавления a ≠ 0, sh a

≠ 0, следовательно, cos b

= 0,

2

2

отсюда b ≠ π

и

sin b

= ± 1, значит, ch a

=

x1

.

2

2

4x

2

Уравнение амплитудно-частотной характеристики в полосе подавления

a(ω) = 2Arch

x1

. Фазочастотная характеристика в полосе подавления b(ω)

4x

2

= ±π.

Реактивные фильтры, составленные из звеньев, параметры элементов

которых

во

всем

диапазоне

частот

удовлетворяют

условию

1 Z

2Z

= Z Z

= Z

T

Z

= k2 (k – постоянная положительная величина), назы-

2 1

2

1 2

П

ваются фильтрами типаk.

Фильтром нижних частот (ФНЧ) называют четырехполюсник, у которого затухание в диапазоне от ω = 0 до граничной частоты ωгр мало, а в диапа-

зоне от ωгр до ω = ∞ велико.

Физическое действие фильтров объясняется тем, что на низких частотах сопротивления индуктивностей малы, а сопротивления емкостей велики; на высоких же частотах наоборот: сопротивления индуктивностей велики, а емкостей малы.

Граничные частоты полосы пропускания фильтров нижних частот (рис. 8.3) определяются из соотношений Z1 = 0 и Z1 = –4Z2.

Для ФНЧ имеем

Z = jωL,	Z		=	1	.
1		2		jωC

Поэтому Z = 0 при ω = 0 и	ω		L =	4	при ω		=	2	.
				ωгрC
1		гр				гр		LC

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-99-

определяемую 0 ≤ ωгр ≤

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Рис. 8.3

a
		b

1,0

0,5

1,0

Рис. 8.4

Таким образом, фильтры нижних частот имеют полосу пропускания,

2 .

LC

Выше было показано, что амплитудно-частотная а(ω) и фазочастотная b(ω) характеристики в полосе пропускания определяются по формулам:

а(ω) = 0,

b(ω)= 2arcsin

X1

= 2arcsin

ωLωC

= 2arcsin

ω

,

4X2

4

ωгр

LC =

2

.

ω

гр

В полосе задерживания

a(ω)= 2Arch

X1

= 2Arch

ω

,

b(ω) = π.

4X2

ωгр

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 8.4.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-100-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Приведенные на рис. 8.4 частотные характеристики имеют такой вид только при условии, что фильтр нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению.

Для Т-образного фильтра

Z		= Z Z	1+	Z1		= k		ω	2
							1−		,
	T
		1	2	4Z2
								ωгр

для П-образного фильтра

ZП =		Z1Z2			=	k					.
	1+		Z1			1−	ω			2
			4Z2
							ω
								гр

На рис. 8.5 приведены графики зависимости ZT и ZП от частоты.

Таким образом, для осуществления согласования фильтра необходимо для каждой частоты подбирать свое сопротивление (в полосе пропускания – активное, в полосе задерживания – реактивное).

Из фазочастотной характеристики (рис. 8.4) следует, что в полосе пропускания выходное напряжение отстает от входного напряжения на угол b, зависящий от частоты.

Поскольку в действительных условиях работы сопротивление нагрузки является практически не зависящим от частоты активным сопротивлением RH, то в диапазоне частот фильтр работает на несогласованную нагрузку и к режиму согласования можно только в известной степени приблизиться.

Рис. 8.5

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-101-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

C

C

RН

U2

U1

2

2

Рис. 8.6

|K|

RН =

b

2ρ

RН =

ρ

RН = 2ρ

1,0

0,5ρ

0,5

1,0

0,5

1,0

а

Рис. 8.7

б

Для оценки влияния сопротивления нагрузки на частотные характеристики фильтра рассмотрим схему фильтра нижних частот (рис. 8.6), нагруженного на активное сопротивление RH.

Передаточная функция этой схемы

K =

U2

=

IZ′

=

U1 Z′

=

1

,

U1

U1

(jωL + Z′)U1

1+ jωLY ′

Y ′=

1

1

+ j

ωC

где

=

.

Z′

RH

2

Модуль коэффициента передачи

K

=

1

=

1

, .

2

2

2

C

2 L2

2

2

2

1−

ω

L

+ω

1

−2

ω

+4

ω

ρ

2

R

2

2

2

2

H

ωгр

ωгрRH

где

ρ =

L

. По этой формуле можно рассчитать частотную характеристику

C

при любом сопротивлении нагрузки фильтра RH (рис. 8.7, а). При холостом ходе (RH = ∞)

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-102-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

				KXX		=		1			.
							1−2		ω2
									ωгр2
	На частоте ω=	ωгр	коэффициент передачи становится бесконечно
		2

большим, что объясняется резонансом в последовательном колебательном контуре L, С/2, резонансная частота которого

ω0 посл =	1	=	1	ωгр .
	L C		2
2

В реальных условиях колебательный контур имеет потери и напряжение на реактивных элементах на резонансной частоте в Q раз больше, чем на входе (Q – добротность). Добротность нагруженного контура с учетом внутреннего сопротивления генератора

QЭ =		ρ				,
	R +	R	+	ρ2
				R
	i	П
				H

где Ri – внутреннее сопротивление генератора; RП – сопротивление потерь контура.

Выше было показано, что в полосе пропускания

	a(ω)= 0 и	U1	= eg ,
		U2

следовательно,

K= U2 = e−a ,

U1

т. е. на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи равен единице.

Из графика (рис. 8.7, а) видно, что действительно для частот ω = 0 и

ω = ωгр KXX = 1.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-103-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Фазочастотная характеристика (рис. 8.7, б) при несогласованной нагрузке может рассматриваться как фазочастотная характеристика последовательного контура L, С/2, нагруженного на произвольное сопротивление. При частоте ω = ω0 посл все кривые проходят через точку b = π/2, поскольку на резонансной частоте ток в контуре совпадает по фазе с входным напряжением, а напряжение на емкости (выходное напряжение фильтра) отстает от тока на π/2. Угол наклона кривых в окрестности резонансной частоты определяется добротностью контура: чем выше добротность Q, тем больше крутизна кривых.

Домашнеезадание

1.Исходя из заданных параметров индуктивностей и емкостей для лабораторного стенда, выбрать две одинаковые индуктивности и емкости, из которых можно составить схемы симметричных Т- и П-образных фильтров нижних частот.

2.Для заданных схем фильтров рассчитать частоту среза fгр = ωгр/2π и

характеристическое сопротивление ZT и ZП на частотах f = 0; f = fгр/2; f = fгр;

f= 2fгр.

3.Рассчитать и построить графики изменения напряжения на выходе

фильтра при изменении частоты в режиме согласованной нагрузки и в режиме холостого хода, если напряжение на входе равно 0,2 В.

4. Рассчитать и построить графики изменения коэффициента фазы при изменении частоты в режиме согласованной нагрузки и в режиме холостого хода.

Примечание: при расчетах по пп. 3 и 4 частоту изменять в диапазоне от f = 0 до f = 4fгр.

Порядоквыполненияработы

1.Собрать схему (рис. 8.8) для исследования частотных характеристик Г-образного звена ФНЧ.

2.С помощью клавиатуры ПК задать значения нижней и верхней частот диапазона, а также шаг по частоте для снятия частотных характеристик

фильтра (например, fH = 1 кГц, fB = 20 кГц, f = 500 Гц). После режима «Частотные характеристики» зарисовать графики АЧХ и ФЧХ с экрана ПК либо скопировать на дискету.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-104-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

L1

			C8		UBЫX
	UBX

			Рис. 8.8
L1		L4		L4

UBX

C4

UBЫX

UBX

C4 C8

UBЫX

Рис. 8.9

Рис. 8.10

3.Подключив на выход фильтра (рис. 8.8) сопротивление нагрузки

R5 = 1 кОм, повторить регистрацию АЧХ и ФЧХ по п. 2. Оценить влияние нагрузки на избирательность ФНЧ.

4.Поменяв в схеме рис. 8.8 конденсатор C8 на параллельно соединен-

ные конденсаторы C10 и C8, повторить регистрацию частотных характеристик по п. 2. Оценить влияние изменения емкости на АЧХ и ФЧХ.

5.Подключив на выход фильтра R5 = 1 кОм, повторить измерения аналогично п. 3.

6.Собрать схему (рис. 8.9) для исследования частотных характеристик Т-образного звена ФНЧ.

7.Провести регистрацию частотных характеристик аналогично пп. 2, 3.

8.Поменяв в схеме (рис. 8.9) емкость C4 на последовательно соединённые C4 и C5, повторить измерения по п. 7. Оценить изменение частотных характеристик при изменении емкости ФНЧ.

9.Собрать схему (рис. 8.10) для исследования частотных характеристик П-образного ФНЧ.

10.Провести регистрацию АЧХ и ФЧХ аналогично п. 7.

Содержаниеотчета

Отчет должен включать:

1.Результаты выполнения домашнего задания в виде таблиц и гра-

фиков.

2.Структурные схемы измерений.

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-105-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

3.Результаты выполнения лабораторного задания в виде графиков отдельно для Т- и П-образного фильтров.

4.Краткие выводы по полученным результатам с анализом причин расхождения расчетных и экспериментальных данных.

Контрольныевопросы

1.Нарисовать векторные диаграммы напряжений и токов во всех элементах Т- и П-образных фильтров нижних частот в режиме холостого хода и

врежиме согласованной нагрузки для частот f = fгр/2; f = 2fгр.

2.Нарисовать изменения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик Т- и П-образных ФНЧ при изменении величины индуктивности или емкости в два раза (в режиме согласованной нагрузки и в режиме холостого хода).

Основы теории цепей. Лаб. практикум

-106-