2.15.Тензоры в евклидовом

разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных (ассоциированных) тензоров.

Важно понимать, что в евклидовом пространстве компоненты всех тензоров, ассоциированных тензору T , являются координатами одного и того же тензора в различных базисах. Проиллюстрируем это на примерах.

1. Пусть x = iei вектор. Тогда

x = iei = i(gkiek) = ( igki)ek = kek;

т.е. i и k координаты одного и того же тензора x в различных базисах.

2. Пусть = bijei ej билинейная форма. Тогда

= bijei ej = bijei ekgkj = bijgkjei ek = bki ei ek;

т.е. bij и bij координаты одного и того же тензора в разных базисах.

Упражнение 15.9. Каковы координаты тензора Tjki в базисе ei ej ek?

15.4. Структурный тензор

Сконструируем в n-мерном евклидовом пространстве En дистрибутивную относительно сложения, однородную по обоим аргументам операцию "умножения"двух векторов x, y, результатом которой является снова вектор, обозначаемый x y. Пусть e базис в E и x = iei, y = jej 2 E. Тогда

x y = iei jej = i j(ei ej):

Разложив ei ej по базису e

ei ej = cijk ek;

(11)

получим окончательно

x y = i jckijek:

11

Числа ckij (их n3 штук) называют структурными костантами. Покажем, что ckij есть компоненты тензора типа (1; 2). Пусть e0

другой базис и

e0i = ipep; er = rke0k:

Тогда

[e0i; e0j] = c0kije0k:

С другой стороны,

[e0i; e0j] = [ ipep; jqeq] = ip jq[ep; eq] = ip jqcrpqer = ip jqcrpq rke0k:

Приравнивая коэффициенты при e0k, получим

c0k	= kcr	p	q	;	(12)
ij	r pq	i	j

что и доказывает требуемое.

Такое "умножение"в En можно задать не единственным способом. Выбрав набор структурных констант с условием ckij = ckji (ckij = ckji), получим коммутативное (антикоммутативное) "умножение". Выбрав набор структурных констант с условием ckii = 0, получим "умножение удовлетворяющее тождеству x x = 0.

Примером одного из таких "умножений" является векторное произведение в E3. При этом (проверьте) в правом ортонормированном базисе

c312 = c123 = c231 = 1; c321 = c132 = c213 = 1

и ckij = 0, если хотя бы два индекса совпадают.

Упражнение 15.10. В некотором правом ортонормированном базисе пространства E3 базисные вектора e1, e2, e3 имеют, соответственно, координатные столбцы (1; 1; 1)T , (0; 1; 1)T , (0; 0; 1)T . Найдите структурные константы векторного произведения в базисе e1, e2, e3 двумя способами: 1) непосредственно по определению, т.е., используя (11), 2) используя (12).

12