Физика твердого тела.

Основные формулы.

Боровская теория водородоподобного атома.

Момент импульса (второй постулат Бора):

L_п = ћ п, или m υ_п r_п = ћ п,

Где m – масса электрона; υ_п – скорость электрона на п-й орбите; r_п – радиус п-й стационарной орбиты; ћ – постоянная Планка; п – главное квантовое число (п = 1,2,3, ......).

Радиус п-й стационарный орбиты:

r_п = а₀ п²,

где а₀ – первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода:

Е_п = Е_i /п²,

Где Е_i – энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

е = ћ ω = Е_п2 – Е_п1,

или

е = Е_i (1/п-1/п),

где п₁ и п₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число:

= 1/= R (1/п-1/п),

где - длина волны излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.

Волновые свойства частиц.

Длина волны де Бройля

= 2π ћ/р,

где р – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

А) р = m₀ υ; р = ;

Б) р = m υ = ; р =,

Где m₀ – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; υ – скорость света в вакууме; Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = m₀ с²).

Соотношение неопределенностей:

1. Δ р_х Δх ≥ ћ (для координаты и импульса),

Где Δ р_х – неопределенность проекции импульса на ось Х; Δх – неопределенность координаты;

2. ΔЕ Δt ≥ ћ (для энергии и времени),

Где ΔЕ – неопределенность энергии; Δt – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

(Е – U) φ (х) = 0,

где φ (х) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; U = U (х) – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

= |φ (х)|²,

где d w (х) – вероятность того , что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке d х.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂:

W = |φ (х)|² d х..

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

1. φ_п (х) = .(собственная нормированная волновая функция);

2. Е_п = (собственное значение энергии),

Где п – квантовое число (п = 1,2,3,...); l – ширина ящика. В области

0 ≤ х ≤ l U = ∞ и φ (х) = 0.

Атомное ядро. Радиоактивность.

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

А = Z + N,

Где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейронов.

Закон радиоактивного распада:

dN = - Ndt, или N = N₀е^-.

Где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0); - постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

Δ N = N₀ – N = N₀ (1 – е^-)/

В случае, если интервал времени Δ t, за которой определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

Δ N = N Δt.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

Т_1/2 = (l п 2)/ = 0,693/.

Среднее время τ жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число не распавшихся ядер уменьшается в е раз,

τ = 1/.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

N = m N_а/М,

Где m – масса изотопа; М – молярная масса; N_а – постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопа:

А = - d N/ dt = N, или А =N₀е^-= А₀е^-,

Где d N – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; А₀ – активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа:

а = А / m.

Дефект массы ядра:

Δ m = Ζm_р + (А – Ζ) m_п – m_я,

Где Ζ – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (А – Ζ) – число нейтронов в ядре; m_р- масса протона; m_п – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

Энергия связи ядра:

Е_св = Δ mс²,

Где Δ m – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Е_св = 931 Δ m, где дефект массы Δ m – в а. е. м.; 931- коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).

Теплоемкость кристалла.

Средняя энергия квантового одномерного осциллятора:

= +,

где - нулевая энергия (= 1/2); ћ – постоянная Планка; ω – круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,

U_m = U_0m + 3 RΘ_Е / (-1),

Где R – молярная газовая постоянная; Θ_Е - ћ ω/ k – характеристическая температура Эйнштейна; U_0m = 2/3 RΘ_Е - молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

С_m = R= 234 R(Т « Θ_D).

Теплота, необходимая для нагревания тела,

Q = С_m dТ,

Где m – масса тела; М – молярная масса; Т₁ и Т₂ – начальная и конечная температура тела.

Элементы квантовой статистики.

Распределение свободных электронов в металле по энергиям при О К:

dп(е) = е^1|2 dе,

где dп(е) – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от е до е + dе; m – масса электрона. Это выражение справедливо при е < е_F (где е_F – энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при т = 0 К:

е_F = ћ²/2m * (3π² п)^2/3,

где п – концентрация электронов в металле.

Полупроводники.

Удельная проводимость собственных полупроводников:

γ = γ₀ ехр (-ΔЕ /2kТ),

где ΔЕ – ширина запрещенной зоны; γ₀ – константа.

Сила тока в р-п- переходе

I = I₀ [е х р (е U/ kТ)- 1],

Где I₀ – предельное значение силы обратного тока; U – внешние напряжение, приложение к р-п- переходу.

Контактные и термоэлектрические явления.

Внутренняя контактная разность потенциалов:

U₁₂ = ,

где е_F1 и е_F2 – энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е – заряд электрона.

Приложение №2.

Ядерная физика.

Основные формулы.

1. Ослабление потока излучения при прохождении слоя вещества толщины d

описывается формулой J = J₀ l^-δnd, где J₀ – интенсивность потока до прохождения; J – интенсивность потока прохождения вещества; δ – эффективное сечение взаимодействия излучения с атомами вещества;

п – концентрация атомов вещества; d – толщина слоя вещества.

2. Величина Р = δnd есть вероятность взаимодействия излучения с атомами вещества.

3. Число атомов вещества, содержащихся в массе m, равно N = N,

Где μ – молекулярная масса; N_А – число Авогадро. При расчете концентрацию п удобно выражать через плотность вещества ρ:

п = ρ .

4. Коэффициент размножения К – это среднее число последующих делений, вызываемых вторичными нейтронами, которые возникают при делении каждого ядра. При К < 1, К = 1, К > 1 мощность реакции реактора соответственно уменьшается, остается постоянной, возрастает.

Примеры решения задач.

Пример 1.

Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение.

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

1/ λ = RZ² (1п-1/п), (1)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); п₁ – номер орбиты, на которую перешел электрон; п₂ – номер орбиты, с которой перешел электрон (п₁ и п₂ – главные квантовые числа).

Энергия фотона е выражается формулой:

е = hc/λ.

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

е = R hc Z² (1п-1/п),

Так как R hc есть энергия ионизации Е_i атома водорода, то :

е = Е_i Z² (1п-1/п).

Вычисления выполним во внесистемных единицах: Е_i = 13,6 эВ; Z = 1; п₁ = 2; п₂ = 4:

е = 13,6 * 1² ()эВ = 13,6*3/16 эВ = 2,55 эВ.

Пример 2.

Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для случаев: 1) U₁ = 51 В; 2) U₂ = 510 кВ.

Решение.

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:

λ. = h/р, (1)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы)

В нерелятивистском случае:

р = , (2)

где m₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае:

р = , (3)

где Е₀ = m₀ с² – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивном случае λ = , (4)

в релятивистском случае λ = (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

Т = е U.

В первом случае Т₁ = е U = 51 эВ = 0,51*10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀ с² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т₁ = 10^-4 m₀ с². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде:

λ = =.

Учитывая, что λ. / m₀ с есть комптоновская длина волны Λ, получаем:

λ ₁ = 10² Λ/.

Так как Λ = 2,43 пм , то

λ ₁ = 10²* 2,43 /пм = 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия Т₂ = е U₂ = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т₂ = 0,51 МэВ = m₀ с² , по формуле (5) находим:

λ ₂ = ,

или

λ ₂ = Λ/.

Подставим значение Λ и произведем вычисления:

λ ₂ = 2,43 /пм = 1,40 пм.

Пример 3.

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид:

Δх Δр_х ≥ , (1)

Где Δх – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Δр_х – неопределенность импульса частицы (электрона); = постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Δх = l /2.

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде:

(l /2) Δр_х ≥ ,

откуда

l ≥ 2/ Δр_х (2)

Физически разумная неопределенность импульса Δр_х во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р_х , т.е. Δр_х ≤ р_х . импульс р_х связан с кинетической энергией Т соотношением р_х = mТ. Заменим Δр_х значением mТ (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получаем:

l_min = 2/mТ (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

1с = 1с = 1м.

найденная единица является единицей длины.

Произведем вычисления:

l_min = м = 1,24 * 10^-10 м = 124 нм.

Пример 4.

Волновая функцияφ(х) =l = sinх описывает основные состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l . вычислить вероятность нахождение частицы в малом интервале Δ l = 0,01 l в двух случаях: 1) вблизи стенки 0 ≤ х ≤ Δ l; 2) в средней части ящика ().

Рис. 64

Решение.

Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dх (от х до х + dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = |φ(х)|² dх.

В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01 l :

w = sin² хdх.

Знак модуля опущен, так как φ – функция в данном случае не является комплексной.

Так как х изменяется в интервале 0 ≤ х ≤ 0,01 l и, следовательно, πх/ l « 1, справедливо приближенное равенство:

sin² х ≈.

С учетом этого выражение (1) примет вид:

w = dх =х² dх.

После интегрирования получим:

w = *10^-6 = 6,6 *10^-6

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δ l = 0,01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением:

w = |φ(l/2)|² Δ l,

или

w = (sin )² Δ l = *0,01 l = 0,02.

Пример 5.

Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm и разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

Δm = Zm_р + (А – Z) m_п – m_я , (1)

Где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); m_р, m_п , m_я - соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так чтобы в нее входила масса m_я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m_а = m_я + Z m_е , откуда

m_я = m_а - Z m_е. (2)

выразив в равенстве (1) массу ядру по формуле (2), получаем

Δm = Zm_р + (А – Z) m_п - m_а + Z m_е,

Или Δm = Z(m_р + m_е) + (А – Z) m_п – m_а.

Замечая, что m_р + m_е = m_н , где m_н – масса атома водорода, окончательно находим :

Δm = Zm_н + (А – Z) m_п – m_а. (3)

Подставим в выражение (3) числовые значения масс получим:

Δm = [3*1,00783+(7-3)*1,00867-7*0,1601] а.е.м. = 0,04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии:

Е = с² Δm, Где с –скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко:

с² = 9*10¹⁶ м² /с² , или с² = ΔЕ / Δm = 9*10¹⁶ Дж /кг.

если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с² = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид:

Е = 931 Δm (МэВ). (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

Е = 931 * 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Пример 6.

При соударении α – частица с ядром бора В произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водородаН. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение.

Обозначим неизвестное ядро символом Х. Так как α – частица представляет собой ядро гелияНе, запись реакции имеет вид:

Не + В →Н +Х.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+ 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода С.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Не + В→Н +С.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:

Q = 931[(m_Не +m_В) – (m_Н +m_С)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможности такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нетральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим:

Q = 931 (4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06МэВ.

Пример 7.

Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Мg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т_1/2 магния считать известным

Решение.

Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

А = - dN / dt, (1)

Значек «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀е^-λt (2)

Где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный

(t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.

Про дифференцируем выражение (2) по времени:

dN / dt = - λ N₀е^-λt, (3)

Исключив из формул (1) и (3) dN / dt, находим активность препарата в момент времени t:

А = λ N₀е^-λt. (4)

Начальную активность А₀ препарата получим при t = 0:

А₀ = λ N₀е (5)

Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением:

λ = (ln 2) / Т_1/2. (6)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества υ данного изотопа:

N₀ = υ N_А = N_А (7)

Где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид

А₀ = (ln 2) / Т_1/2 * N_А ; (8)

А = (ln 2) / Т_1/2 * N_Ае (9)

Произведем вычисления, учитывая, что Т_1/2 = 10мин = 600с, ln 2 = 0,693, t = 6ч = 6*3,6*10³ с = 2,16*10⁴ с:

А₀ = 6,02*10²³ Бк = 5,13*10¹² Бк = 5,13 ТБк;

А = 6,02*10²³ еБк = 81,3 Бк.

Пример 8.

Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре Т = 200К. характеристическую температуру Θ_Е Эйнштейна принять для алюминия равна 300К.

Решение.

Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость С_m соотношением:

с = С_m_М, (1)

где М – молярная масс

.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйпштейна выражается формулой:

С_m = 3R (2)

Подставив в (1) выражение теплоемкости С_m по формуле (2), получим:

с = . (3)

Произведем вычисления:

с = Дж /(кг*К) = 770 Дж/(кг*К).

Где с –скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко:

с² = 9*10¹⁶ м² /с² , или с² = ΔЕ / Δm = 9*10¹⁶ Дж /кг.

если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с² = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид:

Е = 931 Δm (МэВ). (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

Е = 931 * 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Пример 6.

При соударении α – частица с ядром бора В произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водородаН. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение.

Обозначим неизвестное ядро символом Х. Так как α – частица представляет собой ядро гелияНе, запись реакции имеет вид:

Не + В →Н +Х.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+ 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода С.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Не + В→Н +С.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:

Q = 931[(m_Не +m_В) – (m_Н +m_С)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможности такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нетральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим:

Q = 931 (4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06МэВ.

Пример 7.

Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Мg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т_1/2 магния считать известным

Решение.

Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

А = - dN / dt, (1)

Значек «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀е^-λt (2)

Где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный

(t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.

Про дифференцируем выражение (2) по времени:

dN / dt = - λ N₀е^-λt, (3)

Исключив из формул (1) и (3) dN / dt, находим активность препарата в момент времени t:

А = λ N₀е^-λt. (4)

Начальную активность А₀ препарата получим при t = 0:

А₀ = λ N₀е (5)

Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением:

λ = (ln 2) / Т_1/2. (6)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества υ данного изотопа:

N₀ = υ N_А = N_А (7)

Где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид

А₀ = (ln 2) / Т_1/2 * N_А ; (8)

А = (ln 2) / Т_1/2 * N_Ае (9)

Произведем вычисления, учитывая, что Т_1/2 = 10мин = 600с, ln 2 = 0,693, t = 6ч = 6*3,6*10³ с = 2,16*10⁴ с:

А₀ = 6,02*10²³ Бк = 5,13*10¹² Бк = 5,13 ТБк;

А = 6,02*10²³ еБк = 81,3 Бк.

Пример 8.

Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре Т = 200К. характеристическую температуру Θ_Е Эйнштейна принять для алюминия равна 300К.

Решение.

Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость С_m соотношением:

с = С_m_М, (1)

где М – молярная масс

.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйпштейна выражается формулой:

С_m = 3R (2)

Подставив в (1) выражение теплоемкости С_m по формуле (2), получим:

с = . (3)

Произведем вычисления:

с = Дж /(кг*К) = 770 Дж/(кг*К).