Примеры решения задач

Пример 1.

Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А + Вt + Сt³ , где А= 2м, В= 1м/с, С= -0,5м/с³ . Найти координату х, скорость v_x и ускорение а_х точки в момент времени t = 2с.

Решение.

Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t: х = (2 + 1 * 2 – 0,5 * 2³) м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси х асть первая производная от координаты по времени:

v_x = .= В + 3Сt².

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

а_х = = 6Сt.

В момент времени t = 2с

v_x = (1 – 3 * 0,5 * 2²)м/с = -5м/с;

а_х = 6 (-0,5) * 2м/с = -6м/с².

Пример 2.

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = А + Вt + Сt², где А = 10 рад, В = 20 рад, С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4с.

Решение.

Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а_,направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения а_п , направленного к центру кривизны траектории (рис.1): а = а+ а_п.

Так как векторы а и а_п взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения:

а = (1)

Модули тангенциального и нормального ускорение точки вращающегося тела выражаются формулами: а = εr, а_п = ω²r,

где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а и а_п. в формулу (1), находим:

а = =r(2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

= В + 2Сt.

В момент времени t = 4с модуль угловой скорости: ω= [20+2 (-2) 4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: ε = dω/dt = 2C = -4 рад/с².

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2), получаем:

а = 0,1 м/с = 1,65 м/с²

Пример 3.

Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по идеально- гладкому лотку длиной t = 2м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость и тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α = 30⁰ к рельсам.

Решение.

Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести m₁g и m₂g и сила реакции N₂ (рис. 2). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик – тележка нельзя. Но так как проекция указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.: p_1х + p_2x = p'_1х + p'_2x

гдеp_1х и p_2x - проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p'_1х и p'_2x - проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p'_1х + p'_2x – те же величины после падения ящика.

Рис. 2.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульса тел через их массы с скорости, учитывая, что p_2x = 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и :

m₁v_1x = (m₁ + m₂) и,

или m₁v₁ соs α = (m₁ + m₂) и,

где v₁ – модуль скорости ящика перед паданием на тележку; v_1x = v₁ соs α – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда и = m₁v₁соs α/(m₁+ m₂). (2)