Спектр последовательности прямоугольных импульсов

При  = T/2 в спектре присутствуют только нечетные гармоники:

:

Периодический сигнал s(t) имеет бесконечную длительность и бесконечную энергию. Поэтому его характеризуют средней за период мощностью:

При этом предполагается, что сигнал представлен напряжением или током, действующим на сопротивлении в 1 Ом.

Значения составляют спектр мощности сигнала.

Спектр периодического сигнала линейчатый, состоит из отдельных гармоник Спектр непериодического сигнала конечной длительности

Спектр описывается преобразованием Фурье:

прямое –обратное

Физический смысл функции S() можно пояснить, сравнив спектр одиночного прямоугольного импульса длительности τ амплитуды U:

со спектром периодической последовательности импульсов.

При Т последовательность превращается в один импульс, спектральные линии сливаются и линейчатый спектр заменяется непрерывной комплексной спектральной функциейS().

Вид функции S(ω) и огибающей комплексных амплитуд спектра последовательности импульсов C_n одинаков, они отличаются множителем:

S(ω) – отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала, заменяющего все спектральные составляющие в малом частотном интервале Δf, к длине интервала Δf, или плотность амплитуд, спектральная плотность, спектральная функция, спектр сигнала s(t). Размерность [А/Гц] или [А с].

Непериодический сигнал имеет конечную энергию, поэтому его называют «энергетическим». Энергия сигнала (P = U²/R, E = Pt,R = 1)

Физический смысл функции  S() ² - спектральная плотность энергии.

Спектр произведения сигналов

Из тождества:следует

Спектр произведения сигналов можно получить, заменив каждую спектральную линию ω_i одного сигнала, имеющую амплитуду А_i, спектром другого сигнала, расположенным симметрично относительно частоты ω_i и взятым с весовым коэффициентом А_i

Спектр радиоимпульса:

Спектр пачки импульсов:

При модуляции высокочастотного гармонического сигнала (несущего колебания) спектр модулирующего сигнала переносится в область высоких частот (в окрестность несущей частоты) с расширением полосы в два раза.

«Транспонирование» частот при диcкретизации сигнала по времени

Сигнал с частотой 6 Гц, восстановленный по выборкам с частотой 5 Гц, воспринимается как сигнал частоты 1 Гц. Это эффект «транспонирования», или «поглощения», частот.

«Псевдочастота» f_pf восстановленного сигнала зависит от соотношения частоты f исходного непрерывного сигнала и частоты дискретизации f_d

Высокочастотные составляющие спектра, транспонируясь, суммируются с низкочастотными составляющими, изменяя вид спектра.

Спектр дискретного сигнала

При «идеальной» дискретизации отсчеты – это δ-импульсы. Дискретный сигнал – произведение непрерывной функции x(t) (а) и последовательности δ-функций x_δ(t) (в).

Спектр дискретного сигнала состоит из последовательности бесконечно повторяющихся, с частотой дискретизации, спектров исходного непрерывного сигнала.

Автокорреляционная функция

(длительность сигнала конечна) –

мера сходства сигнала x(t) со своей копией, сдвинутой на время τ

Функция R_x(τ) четная , физический смысл R_x(0) – энергия сигнала.

Интервал корреляции – нормированнаяR_x(τ)

Автокорреляционная функция прямоугольного импульса:

Шире спектр сигнала – уже автокорреляционная функция.

Спектральная плотность энергии E(ω) и автокорреляционная функция R(τ) связаны между собой преобразованием Фурье:

Для периодического сигнала

Функция взаимной корреляции R_xy(τ) – мера сходства сигналов x(t) и y(t)

Функция взаимной корреляции прямоугольного и треугольного импульсов:

Основные характеристики случайных величин

Функция распределения F(x) = P(X < x) – вероятность того, что значение случайной величины Х меньше х.

Плотность вероятности p(x) = dF(x)/dx, p(x)dx = P(x < X <x+dx) – вероятность попадания случайной величины в интервал dx в окрестности значения х.

Математическое ожидание – оценка среднего значения непрерывной и дискретной величины:

Дисперсия D и среднеквадратичное отклонение (СКО) σ:

Характеристики случайных сигналов (процессов)

Математическая модель случайного сигнала – cлучайная функция.

Выборочная функция – конкретная реализация случайной функции.

Ансамбль – воображаемое множество выборочных функций, полученных от бесконечного множества одинаковых систем на одном и том же интервале времени.

Сечение случайной функции – значения всех выборочных функций ансамбля в некоторый момент времени.

Сечение случайного процесса характеризуется случайными величинами: средним значением, дисперсией и т.д., которые могут быть функциями времени.

Случайный процесс, статистические характеристики которого не зависят от времени, называется стационарным.

Случайный процесс, статистические характеристики которого одинаковы при усреднении по ансамблю и по одной реализации случайного процесса на бесконечном интервале времени, называется эргодическим.

Амплитудный состав случайного сигнала, порожденного эргодическим процессом, описывается функцией распределения вероятностей случайной величины, частотный состав – корреляционной функцией или спектральной плотностью мощности.