Определение реакций опор вращающегося тела

Рис.15.3

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z под действием приложенных к нему внешних активных сил и реакции связейи, приложенных в закрепленных точках телаА и В. Определим реакции связей и, как величины, зависящие от приложенных сил и характера вращения тела. Примем точкуА за начало координат и разложим реакции связей на составляющие

.

Пусть  угловая скорость тела,  угловое ускорение тела,  центр масс тела, АВ = l.

Применим теорему об изменении количества движения:

.

В проекциях на оси координат получим:

(15.8)

Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно точки А, имеем

(15.9)

Определим проекции векторных произведений в равенстве (26.9):

Тогда векторное уравнение (15.6) в проекциях на оси координат запишется в следующем виде:

(15.10)

Выразим в уравнениях (15.8) и (15.10) все производные от координат через угловую скорость и угловое ускорение тела. Для этого введём цилиндрические координаты. Декартовы координаты связаны с цилиндрическими координатами (рис.26.3) формулами

(15.11)

Вычислим производные, учитывая, что при вращательном движении тела изменяется только угловая координата kой точки тела M_k:

(15.12)

Выполняя операции дифференцирования и подставляя значения производных в (15.8) получим:

(15.13)

Выполняя операции дифференцирования в (15.10) и подставляя значения производных (15.13), после сокращений получим:

(15.14)

В формулах (15.13) и (15.14) вынося квадрат угловой скорости и угловое ускорение за знак суммирования и обозначая осевой момент инерции , центробежные моменты инерции, координаты центра масс, получим окончательно систему уравнений:

(15.15)

Последнее уравнение системы (15.15) не содержит реакций. Оно является уравнением вращательного движения тела, из которого находятся угловое ускорение и угловая скорость. Остальные пять уравнений содержат шесть неизвестных реакций. Следовательно, система является неопределённой. Из третьего уравнения можно определить лишь сумму реакций. Эта неопределённость устраняется конструктивно заменой верхней сферической опоры в точкеВ цилиндрической. Это дает последней свободу перемещения вдоль оси z и тогда

Из системы уравнений (15.15) видно, что реакции опор зависят как от внешних активных сил, так и от кинематических характеристик тела, координат центра масс и центробежных моментов инерции тела. Составляющие реакций, зависящие от последних, называютсядинамическими. Составляющие реакций, зависящие только от внешних активных сил, называются статическими. При быстром вращении тела динамические составляющие реакций могут быть большими. Определим условия, при которых динамические составляющие равны нулю.

Динамическая уравновешенность твёрдого тела на оси вращения

Определим геометрические и инерционные характеристики твёрдого тела таким образом, чтобы реакции ине зависели от величин угловой скорости и углового ускорения тела. Учитывая эти условия из уравнения (15.15) получим:

(15.16)

(15.17)

Системы (15.16) и (15.17) имеют только тривиальное решение:

(15.18)

Решение (15.18) означает, что ось вращения z в этом случае будет главной центральной осью инерции тела.

Таким образом, установили, что для того, чтобы динамические составляющие реакций опор при вращении тела вокруг неподвижной оси равнялись нулю, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения была главной центральной осью инерции тела.