Центр масс механической системы

Пусть дана механическая система, состоящая из материальных точекимеющих массу, положение которых относительно системы отсчётав каждый момент времени определяется радиусом-вектором(рис. 12.7).

M2 M1 z С Mk Mn y O zс xс yс x Рис. 12.7

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой в выбранной системе координат определяется формулой (12.8) где n - число материальных точек системы, - массаk-й точки, - ее радиус-вектор, масса всей системы.

Декартовы координаты центра масс определяются соответственно формулами:

, ,, (12.9)

где ,,- координатыk-ой точки.

Для абсолютно твердого тела суммы, стоящие справа в формулах (12.8) и (12.9), перейдут в интегралы:

;

; ;.

В этих формулах интеграл, записанный условно, распространен по массе тела. Для твердых тел, находящихся вблизи поверхности Земли, центр масс и центр тяжести совпадают.

В формулах выше , где- плотность тела в данной точке. Если тело однородное, то, где- объём тела.

Тогда

.

Рис. 12.8

Если однородное тело представляет однородную пластину, либо поверхность, либо оболочку, когда один из размеров тела существенно меньше двух других (рис.12.8), то Где S – площадь тела.

Для однородной линии (рис. 12.9), когда существенен один размер

Рис. 12.9

Где L – длина линии.

Способы определения центра масс механической системы совпадают со способами определения центра тяжести тел в статике.

Моменты инерции.

Момент инерции материальной точки механической системы относительно какой-либо оси равен произведению массыэтой точки на квадрат её расстояниядо этой оси (рис. 12.10).

Рис. 12.10

Моментом инерции механической системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно этой оси. Так как расстояния до осей определяются координатами точек , то моменты инерции относительно осей определяются соответственно по формулам:

; ;(12.10)

Вводятся также три центробежных момента инерции, определяемые формулами:

; ;(12.11)

Совокупность трёх осевых моментов инерции (12.10) и трёх центробежных моментов инерции (12.11) определяют инерционные свойства механической системы.

Для абсолютно твёрдых тел суммы в формулах (12.10) и (12.11) перейдут в интегралы:

(12.12)

; ;(12.13)

Осевые моменты инерции характеризуют меру инерции тел при вращательном движении. Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.