Виртуальные перемещения

Рассмотрим простейший случай. Пусть материальная точка находится на стационарной поверхности, т.е. на поверхности, которая с течением времени не изменяется.

Определение: Назовем виртуальными перемещения точек в рассматриваемом случае всякие бесконечно малые ее перемещения по поверхности.

Получим условия для таких перемещений.

Уравнение поверхности является уравнением связи

(16.3)

Пусть начальное положение материальной точки на поверхности, определяемое радиус-вектором(рис.16.4). Рассмотрим любое малое перемещение точкипо поверхности, не нарушающее связи координатами нового положения точки будут

,

где - проекции вектора.

Рис.16.4

Подставим эти координаты в уравнение связи:

(16.4)

Разложим выражение (16.4) в ряд по степеням :

Ограничимся первым порядком малости, удерживая только линейные члены

(16.5)

Таким образом, виртуальные перемещения должны удовлетворять уравнению (16.5).

Геометрическая интерпретация условия (16.5)

Выражение (16.5) можно переписать в виде:

(16.6)

где .

Вывод: Векторы виртуальных перемещений расположены в касательной плоскости (рис.16.4) к поверхности в рассматриваемой точке.

Действительные перемещения точки

Действительными называются бесконечно малые перемещения точки в ее конкретном движении, определяемом приложенными силами и начальными условиями.

Действительные перемещения происходят под действием приложенных к точке сил за времяdt. Оно всегда направлено по касательной к траектории точки так как (на рис.16.4 эта траектория обозначена).

Следовательно, в случае стационарной связи действительные перемещения материальной точки находятся среди множества виртуальных перемещений.

Случай нестационарной поверхности

В этом случае уравнение связи

,

и поверхность в заданный момент времени t не будет содержать действительную траекторию точки  (рис.16.5).

Рис.16.5

В этом случае действительные перемещения среди виртуальных тел не находится. Действительные перемещения в этом случае должны удовлетворять уравнению.

Распространение понятия виртуальных перемещений на случай механической системы.

Определение: Виртуальными перемещениями механической системы называются всякие бесконечно малые перемещения точек системы из рассматриваемого положения, допускаемыми связями зафиксированными (как бы «замороженными») в рассматриваемый момент времени.

Получим условия для виртуальных перемещений механической системы.

Пусть дана механическая система

.

Предположим на механическую систему наложено m < 3n голономных, нестационарных, удерживающих связей

(16.7)

Пусть - начальные положения точек системы. Придадим точкам малые перемещенияпри фиксированном времениt, удовлетворяющие связям (16.7):

(16.8)

Раскладывая выражение (16.8) в ряд по степеням и отбрасывая малые выше второго порядка малости, получим

(16.9)

Таким образом, проекции виртуальных перемещениймеханической системы должны удовлетворять уравнениям (16.9) и, следовательно, число независимых проекций виртуальных перемещений равно

(16.10)