Лекция 12 введение в динамику механической системы
Предположим
теперь, что имеем не одну точку, а
взаимосвязанных материальных точек.
Определение. Под механической системой понимается совокупность взаимодействующих между собой материальных точек, движения которых взаимосвязаны.
В
качестве примера рассмотрим движение
гантели, под которой понимаются две
материальных точки М1
и М2,
соединённые невесомым, недеформируемым
стержнем длиной l
(рис. 12.1). В этом примере
.
|
Рис. 12.1 |
Во время движения координаты материальных точек должны удовлетворять уравнению связи:
Как видно из уравнения, связь в этом случае является геометрической. Частным случаем дискретной механической системы, состоящей из отдельных точек, является абсолютно твёрдое тело. Точек в этом случае не n, а бесчисленное множество, массы которых распределены в теле непрерывно. |
Абсолютно твёрдое тело называют также неизменяемой механической системой, т.е. механической системой, расстояния, между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях.
Внешние и внутренние силы.
В курсе статики все силы, приложенные к твёрдому телу или к системе тел, делили на активные силы и реакции связей. Активными силами называли силы, не зависящие от связей. Силы разделяются также на внутренние и внешние.
Силы, действующие на точки системы, называются внешними, если они вызваны действием тел, не входящих в механическую систему.
Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними.
Внешние
силы будем обозначать
,
внутренние -
.
Примером внешней силы является сила тяжести, которая вызывается действием на тела механической системы со стороны Земли.
Свойства внутренних сил
Из аксиомы А3 следует, что внутренние силы входят в систему попарно (рис. 12.2).
|
Рис. 12.2 |
Материальные
точки М1
и М2
действуют
друг на друга силами
1. Геометрическая сумма всех внутренних сил (главный вектор внутренних сил) во всё время движения системы равна нулю:
|
,М2
и М3
– силами
,М3
и М1
– силами
..и
т.д. Из этого следуют два свойства
внутренних сил:
,
где
-
равнодействующая всех внутренних сил,
приложенных к точке с номеромk
:
.
2. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил системы относительно произвольной точки (главный момент внутренних сил) во всё время движения системы равна нулю:
где
.
|
Рис. 12.3 |
Докажем это свойство для трёх точек М1, М2, М3 (рис. 12.3). Моменты пар противоравных сил взаимодействия пар точек относительно произвольной точки О будут противоравными векторами:
так как
|
и
плечо
относительно точкиО
является
общим для сил
и
,
-
для сил
и 
,
-
для сил
и
соответственно.
Следовательно, сумма моментов всех внутренних сил относительно точки О будет равна нулю. Очевидно, что и для любого количества внутренних сил это свойство будет справедливо, так как внутренние силы входят в систему сил, действующих на точки механической системы попарно.
Несмотря на то, что главный вектор и главный момент внутренних сил системы равны нулю, внутренние силы системы не уравновешиваются, так как они приложены к разным материальным точкам системы и могут вызвать перемещения этих точек относительно друг друга. Примером может служить Солнечная система, планеты которой движутся под действием одних внутренних сил.