1.10. Примеры решения задач.

1. Определить фазовую траекторию линейного гармонического осциллятора с энергией и вычислить фазовый объём, который ограничен гиперповерхностью энергии (поверхностью постоянной энергии).

Гармонический осциллятор – это материальная точка, которая совершает периодическое колебательное движение около положения устойчивого равновесия. Линейный гармонический осциллятор имеет одну степень свободы, то есть f=1, N=1. Следовательно, его фазовое пространство имеет 2fN=2 измерения.

Из уравнений Гамильтона ,, где, находим(10.1),(10.2). Из уравнения (10.1) следует, что, поэтому получаемили. Решение данного дифференциального уравнения есть(10.3).

Постоянные А и В находят из начальных условий. Если в начальный момент времени осциллятор находится в начале координат, то есть при ,, значит. Тогда решением уравнения (10.3) будет выражение(10.4), где– амплитуда колебаний. Для импульса частички получаем(10.5), где.

Соотношение (10.4) и (10.5) являются уравнением эллипса в параметрическом виде

.

Исключая время из уравненийполучаем уравнение эллипса:. Таким образом при колебании осциллятора точка, которая изображает состояние системы, в фазовом пространстве описывает эллипс. Поэтому, фазовый объём, который ограничен поверхностью постоянной энергии, в данном случае есть площадь эллипса.

Когда осциллятор находится в состоянии, которое изображается т.А на рис.4, его кинетическая энергия равняется нулю. Поэтому, . Когда осциллятор находится в состоянии соответствующей т.В, его потенциальная энергия равняется нулю, потому . Откуда.

Следовательно, площадь эллипса, то есть фазовый объём будет равняться:.

2. частиц идеального газа заключены в объёмеи подчиняются микроканоническому распределению с энергией. Вычислить для этой системы фазовый объём , энтропиюи температуру.

Энергия Е идеального газа зависит лишь от обобщённых импульсов. Поэтому фазовый объём будет равняться:

, где – объём 3N-мерного шара в пространстве импульсов, определяемый энергией Е. Из курса геометрии известно, что объём шара в 3-х мерном пространстве определяется по формуле . В импульсном пространстве 3N измерений . Учитывая, что(откуда), получаем. Значит, фазовый объём будет равняться. Находим энтропиюS. . Определяем температуруТ.

.

.

1.11. Вопросы для самопроверки.

1. Объяснить феноменологический и статистический методы изучения макроскопических систем.

2. Какими величинами характеризуются макроскопическое и микроскопическое состояния газа?

3. Что характеризует фазовая траектория?

4. Что называется фазовым пространством? Для чего вводится это понятие?

5. Для какой системы фазовое пространство допускает наглядное изображение в реальном трехмерном пространстве?

6. Как найти среднее значение физической величины за определённый, достаточно большой промежуток времени  Т?

7. Что называется статистическим ансамблем системы?

8. Что называется элементом фазового объёма?

9. Физический смысл плотности распределения микроскопических состояний систем ансамбля (функции распределения)?

10. Свойства функции распределения.

11. Сформулировать теорему Лиувилля, написать уравнение Лиувилля.

12. В чём заключается идея Гиббса?

13. В чём проявляется неустойчивость движения частиц, неустойчивость фазовых траекторий?

14. Каковы свойства системы, заключённой в объёме V, траектории частиц которой неустойчивы?

15. Какие квантовые свойства частиц учитывают в квазиклассическом приближении?

16. Записать микроканоническое, каноническое распределения Гиббса.

17. Физический смысл модуля канонического распределения Гиббса.

18. Записать каноническое распределение Гиббса в классическом приближении. Условие применимости.

19. Что называется статистической суммой, суммой по состояниям?

20. Записать большое каноническое распределение Гиббса.

21. Физический смысл химического потенциала большого канонического распределения Гиббса.

22. Доказать, что энтропия – аддитивная величина.