1.12. Задачи.

1. Определить фазовую траекторию для частицы массой , движущейся по инерции со скоростью, проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля.

2. Начертить фазовые траектории одномерного движения материальных точек в поле силы тяжести с ускорением и проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля.

3. Проверить справедливость теоремы Лиувилля точек массой m, движущихся по инерции вдоль некоторого направления.

4. Определить фазовую траекторию для свободной частицы массой при наличии силы трения, пропорциональной её скорости. (Уравнение движения частицы).

5. Определить фазовую траекторию для линейного осциллятора с малым трением. (Уравнение движения линейного осциллятора ).

6. Вычислить фазовый объём для релятивистской частицы с массой, движущейся в объёмеи обладающей энергией.

7. Для невзаимодействующих линейных осцилляторов с энергиейсправедливо микроканоническое распределение. Вычислить для этой системы фазовый объём, энтропиюи температуру.

8. Записать в классическом приближении распределение Гиббса по энергиям для линейного гармонического осциллятора и вычислить среднее значение его энергии.

9. Вывести каноническое распределение Гиббса из общей формулы микроканонического распределения, считая, что в качестве термостата выступает: 1) совокупность линейных осцилляторов; 2) совокупностьчастиц идеального газа. При выводе считать, что отношениепри, гдеи– энергия замкнутой системы и энергия термостата соответственно. Показать, что окончательный результат не зависит от выбора термостата.

10. Идеальный газ, состоящий из частиц, находится в термостате с температурой. Найти вероятность того, что газ имеет заданное значение энергиииз интервала.

11. Показать, что каноническое распределение Гиббса для систем с очень большим числом частиц () переходит в микроканоническое.

12. Показать, что для системы с большим числом невзаимодействующих частиц наивероятнейшая энергиясовпадает со средней энергией системы.

13. Для линейного гармонического осциллятора с энергией вычислить фазовый объём, ограниченный гиперповерхностью энергии. Оценить объём элементарной фазовой ячейки, используя формулу энергетического спектра,.

14. Найти число микросостояний с энергиейв интерваледля частицы газа, энергия которой связана с импульсом соотношением, где– скорость света в вакууме.

II. Статистическая термодинамика.

Основные понятия

Квазистатический процесс; нулевой постулат феноменологической термодинамики; первый постулат феноменологической термодинамики; второй постулат феноменологической термодинамики; третий постулат феноменологической термодинамики; понятие внутренней энергии; функция состояния; функция процесса; основное термодинамическое равенство; понятие энтропии для изолированной неравновесной системы; понятие локальной неустойчивости фазовых траекторий (траекторий частиц); системы с перемешиванием; обратимый процесс; необратимый процесс; термодинамический потенциал; свободная энергия Гельмгольца; свободная энергия Гиббса; соотношения Максвелла; обобщённые координаты и обобщённые силы; принципы экстремума в термодинамике; принцип Ле-Шателье-Брауна.

Основные знания.

Статистическая интерпретация понятий: внутренняя энергия, работа подсистемы, количество теплоты; обоснование первого начала термодинамики с помощью канонического распределения Гиббса; статистическое обоснование третьего термодинамики; свойства макросистем при ; физический смысл энтропии; условия устойчивости термодинамической системы.

Основные умения.

Самостоятельно работать с рекомендованной литературой; определять понятия из п.1; уметь логично обосновывать с использованием математического аппарата элементы знаний из п.2; по известной статистической сумме (статистическому интегралу) определять внутреннюю энергию системы, свободную энергию Гельмгольца, свободную энергию Гиббса, энтропию, уравнение состояния и т.п.; определять направление эволюции открытой системы при постоянных и, постоянныхи, постоянныхи.