Теоретические основы электротехники (В. Дрючин)

5

ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ПЕРІОДИЧНОГО НЕСИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ

Робоча програма

Загальні положення

Основні співвідношення

Типові приклади. Розрахунок електричних кіл несинусоїдального струму

Контрольне завдання 5

91

5.ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ПЕРІОДИЧНОГО НЕСИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ

5.1Робоча програма

1.Поняття про несинусоїдальні напруги, струм0у, ЕРС. Причини перекручування цих величин.

2.Розкладання періодичних функцій у гармонійний ряд. Наближені методи розкладання. Особливості ряду Фур'є для кривих, що володіють симетрією.

3.Діючі значення несинусоїдальних величин.

4.Коефіцієнти, що характеризують форму кривих.

5.Активна потужність і коефіцієнт потужності в ланцюгах несинусоїда-

льного струму.

6.Розрахунок ланцюгів при несинусоїдальному струмі.

7.Вплив параметрів ланцюга на форму кривої струму при несинусоїдальній напрузі.

8.Резонансні явища при несинусоїдальній напрузі і їхнє використання в електричних фільтрах.

9.Симетричні складові, що утворені різними гармоніками в трифазних ланцюгах.

10.Гармонійний склад фазних і лінійних струмів і напруг при різних за-

собах з'єднання фазних ланцюгів з несинусоїдальними ЕРС. Вплив вищих гармонік на співвідношення між лінійними й фазними вели-

чинами.

11.Показання вимірювальних приладів різних систем у ланцюгах неси-

нусоїдального струму.

12. Биття коливань. Модульовані коливання.

5.2Загальні положення

Удеяких електротехнічних ланцюгах можуть мати місце струми й напруги, залежність яких від часу має вигляд періодичної несинусоїдальної функції. Розкладання несинусоїдальних ЕРС або напруг у гармо-

нійний ряд еквівалентно заміні джерела такої ЕРС декількома, один із

92

яких має постійну ЕРС, а інші - синусоїдальні ЕРС різної частоти, амплітуди й початкової фази.

Таке подання несинусоїдальних ЕРС або напруг дозволяє здійснювати розрахунок ланцюгів методами, які застосовуються в ланцюгах постійного й змінного синусоїдального струму в сполученні із принципом накладення.

Розкладання більшості періодичних кривих «правильної» форми ( що складаються з відрізків прямих або ділянок синусоїди) наведено в довідниках і в підручниках по ТЗЕ. Проте процедуру розкладання в ряд Фур'є необхідно відновити в пам'яті. Особливу увагу звернути на роз-

кладання кривих, що володіють якою-небудь симетрією. Частина коефіцієнтів гармонійного ряду в кривих, що володіють симетрією, дорівнює нулю. Це потрібно врахувати до початку розкладання й не обчислювати такі коефіцієнти.

При розрахунку по гармоніках необхідно враховувати, що індуктивний опір зростає зі збільшенням порядку гармонік, а ємнісний - зме-

ншується. Це пояснює те, що струм в індуктивності виявляється ближче до несинусоїдальної форми, чим напруга, а струм у конденсаторі пере-

кручений більше, ніж крива напруги.

При вивченні трифазних ланцюгів з несинусоїдальними ЕРС не-

обхідно звернути увагу на те, що незалежно від способу з'єднання генератора (зірка або трикутник) у лінійних напругах відсутні гармоніки кратні трьом. Що стосується лінійних струмів, то гармоніки кратні трьом можуть бути в них, якщо ланцюг складений зіркою з нейтраль-

ним проводом. У ланцюзі без нейтрального провода й при з'єднанні в трикутник гармоніки кратні трьом відсутні.

Працюючи над розділом необхідно також звернути увагу на небажані наслідки, викликувані вищими гармоніками.

5.3 Основні співвідношення

1. Розкладання періодичних функцій у ряд Фур'є. Усяку пері-

одичну несинусоїдальну функцію f(wt) з періодом 2(, що задовольняє умові Дирихле (тобто обмежена функція, що має за період кінцеве чис-

ло розривів першого роду й кінцеве число максимумів і мінімумів) мо-

93

же бути розкладена в тригонометричний ряд Фур'є. Розкладання періодичної несинусоїдальної функції в ряд Фур'є може бути записане у двох формах

f ωt A0 AkCosk t AkSink t,

k 1

k 1

			,
		f ωt A0 AkSin k t k
		k 1
	1 2
де A0		0 f t d t;
	2

1 2

Ak f t Cosk td t;

0

1 2

Ak f t Sink td t;

0

Ak Ak 2 Ak 2 ;

k arctgAk .

Ak

Перший член ряду називається постійною складовою (нульовою гармонікою), AkCosk t – kой косинусною гармонікою, AkSink t – kой

синусною гармонікою, AkSin k t k – kой гармонікою. Перша гар-

моніка називається основною, друга, третя й т.д. - вищими гармоніками.

2. Види симетрії періодичних функцій. Переважна більшість функцій, що зустрічаються в електротехніці, можна розділити на три основні групи:

а) Функції, симетричні щодо осі абсцис при сполученні двох на-

півперіодів, що задовольняють умові

f t f t .

Вони розкладаються в ряд, що не містить парних гармонік і по-

стійної складової:

94

f t A1Sin t 1 A3Sin 3 t 3

б) Функції, що задовольняють умові

f t f t .

Такі функції називаються симетричними щодо осі ординат. У цьому випадку ряд не містить синусів, а тільки косинуси

f t A0 A1Cos t A2Cos2 t A3Cos3 t

в) Функції, що задовольняють умові

f t f t .

Такі функції називаються симетричними відносно початку координат. Вони розкладаються в ряд, що не містить постійної складової й косинусів:

f t A
	1Sin t A	2Sin2 t A	3Sin3 t

3. Графічний ( графо-аналітичний) метод визначення гармо-

нік ряду Фур'є. Заснований на заміні певного інтеграла сумою кінцевого числа доданків. Із цією метою період функції f t , рівний 2 , роз-

бивають на n рівних частин t 2 і інтеграли заміняють сумами: n

								1	2			1		n
				A0						f t d t				fp t ,
								2 0
												n p 1
			1		2							n
	Ak					f t Cosk td t					fp t Cosp k t ,
						0					p 1
				1		2						n
	Ak					f t Sink td t					fp t Sinpk t,
				0								p 1

де p – поточний індекс, що приймає значення від 1 до n;

fp t – значення функції f t при t p 0,5 t, тобто в середині pго інтервалу;

95

Cospk t і Sinpk t – відповідно значення Cosk t й Sink t при

t p 0,5 t, тобто в середині pго інтервалу.

4. Діюче значення несинусоїдального струму й несинусоїдаль-

ної напруги

I 1 T i2dt I02 I12 I22 I2k ,

T 0

U U02 U12 U22 U2k ,

тобто діюче значення несинусоїдального струму (напруги) дорівнює ко-

реню квадратному із суми квадратів постійної складової й діючих значень окремих гармонік. Діюче значення на залежить від початкових фаз гармонік.

5. Розрахунок струмів і напруг при несинусоїдальних джере-

лах живлення. Розрахунок струмів і напруг при впливі несинусоїдаль-

них джерел ЕРС (струму) виробляється для кожної з гармонік окремо. При розрахунку необхідно враховувати, що ємнісні і індуктивні опори залежать від частоти:

XC			1		XC
						1	, XL		k L kXL ,
			k C		k
	k							k	1

індуктивний і ємнісний опори для нульової гармоніки відповідно рівні

XL0 0; XC0 . Розрахунок роблять відомими методами розрахунку електричних кіл постійного й синусоїдального струмів. Для кожної гармоніки можна побудувати векторну діаграму. Однак відкладати на век-

торній діаграмі струми й напруги різних частот не припустимо.

6. Активна, реактивна й повна потужності. Активна потужність

несинусоїдального струму визначається

96

		1	T
	P		0	uidt UkIkCos k P0 P1 Pk
		T
				k 0

Реактивна потужність

Q UkIkSin k Q1 Q2 Qk

k 0

Повна потужність

S UI	Uk2 Ik2 .
	k 0	k 0

7. Коефіцієнти, що характеризують форму періодичних неси-

нусоїдальних струмів (напруг).

а) Коефіцієнт форми струму

								1	T
									i2 t dt
			I
K								T 0			.
	ф		Iср					1	T
								T	i t dt
									0
б) Коефіцієнт амплітуди струму
			Kа				Imax
								I .

в) Коефіцієнт перекручування струму

I

K 1 .

п I

г) Коефіцієнт гармонік струму

Kг	Ik2
	k 2	.
	I1

97

5.4 Типові приклади

Розрахунок електричних кіл несинусоїдального струму

1.Несинусоїдальний струм заданий вираженням миттєвих значень

i 14,14Sin t 7,07Sin2 t.

Визначити коефіцієнти амплітуди Kа, форми Kф і перекручувань Kп.

Рішення

Для визначення зазначених коефіцієнтів необхідно попередньо обчислити максимальне, діюче й середнє за половину періоду значення струму, а також діюче значення першої гармоніки.

Діюче значення струму

						14,14				2		7,07				2
2			2
I I1		I	2													11,2А.
						2
													2

Середнє за половину періоду значення струму

			1
	Iср			14,14Sin 7,07Sin2 d 9,02А,
			0

де t .

Значення , при якому i = Imax визначимо з умови di 0. d

di 14,14Cos 14,14Cos2 0. d

Замінивши Cos вираженням 2Cos2 1 і скоротивши на 14,14 ,

одержимо квадратне рівняння

2Cos2 Cos 1 0,

рішення якого

98

Cos 1 0,5 або 60 ,

Cos 2 1 або 180 .

Максимуму струму відповідає 1 60 .

Imax 14,14Sin60 7,07Sin120 18,34А.

Діюче значення 1ой гармоніки

	I1	Im1				14,14				10А.
		2				2

Шукані коефіцієнти
Kа			Imax								18,34						1,64,
					I							11,2
K					I								11,2			1,24,
	ф				Iср
											9,02
Kп				I1							10			0,852.
					I		11,2

Для порівняння приведемо значення цих же коефіцієнтів у сину-

соїди

Kа 1,41, Kф 1,11, Kп 1.

2. Параметри ланцюга на рис. 5.1 R = 48 Ом, L = 60 мГн. Напруга на вхідних затискачах

U 120 200Sin t 50Sin 3 t 30 .

Частота основної гармоніки f = 50 Гц.

Визначити показання амперметра й вольтметра електромагнітної системи. Записати вираження миттєвих значень струму. Обчислити активну потужність.

99

Рисунок 5.1

Рисунок 5.2

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Рисунок 5.5

Рішення Постійна складова струму (нульова гармоніка)

I0 U0 120 2,5А.

R 48

Перша гармоніка

100