Теоретические основы электротехники (В. Дрючин)

7.2 Загальні положення

Ціль вивчення даного розділу полягає в тому, щоб навчитися пра-

вильно вибирати підхід при аналізі й розрахунку електричних величин, що характеризують процеси в конкретних електричних пристроях, а са-

ме: застосовувати для цього схему заміщення із зосередженими або з розподіленими параметрами. Є ряд пристроїв високої й понад високої частоти, у яких доводиться зважати на нерівномірний розподіл струму уздовж провідників. При частоті 50 Гц із таким явищем доводиться ра-

хуватися в лініях електропередачі даної в сотні й тисячі кілометрів, а в лініях електрозв'язку, що працюють при підвищених частотах, при дов-

жині ліній обчислювальний десятками й навіть одиницями кілометрів. Лінії, довжина яких порівнянна з довжиною електромагнітних хвиль,

називають довгими лініями.

Процеси в довгих лініях описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних, рішення й аналіз яких представляє математично складне завдання, чим у ланцюгах із зосередженими параметрами.

У межах загального курсу ТОЕ розглядається рішення цього завдання для ряду окремих випадків. Їхнє вивчення дає достатню уяву як про методику розрахунку електричних величин, що характеризують процеси в довгих лініях, так і про фізичну сутність цих процесів.

7.3 Основні співвідношення

1. Первинні параметри однорідної лінії. Первинними парамет-

рами ОЛ на одиницю її довжини є: R0 – активний опір, Ом; L0 – індуктивність, Гн; C0 – ємність, Ф; G0 – провідність, См. Формули для розра-

хунку первинних параметрів довгих ліній (повітряних, кабельних, коаксіальних) приводяться в підручниках, довідниках.

2. Вторинні параметри однорідної лінії. Хвильовий опір ОЛ ви-

значається

zв	R0	j L0			z0			Uпад	.
	G0	j C0			y	0		Iпад
		151

Коефіцієнт поширення характеризує загасання падаючої (відображеної) хвилі й зміну її фази на одиницю довжини лінії

R0 j L0 G0 j C0 z0 y0 j ,

де – коефіцієнт загасання;

– коефіцієнт фази.

Коефіцієнт поширення визначає:

– довжину хвилі – 2 ;

– фазову швидкість – Vф .

3. Диференціальні рівняння ОЛ. Для миттєвих значень дифере-

нціальні рівняння ОЛ мають вигляд:

		u		R0i L0			i	,
		x					t
	i		G		0u C0		u		.
	x						t

При періодичному синусоїдальному режимі диференціальні рівняння ОЛ записуються

	U	Iz0 ,		I	Uy .
	x			x			0

4. Рішення диференціальних рівнянь ОЛ при синусоїдальному

режимі

U A1e x A2e x ,

152

I

1

A1e x A2e x ,

zb

де A

U1 I1zb

U2 I2zb

e l ; A

2

U1 I1zb

U2

I2zb

e l – постій-

1

2

2

2

2

ні інтегрування, обумовлені через U1, I1 або U2, I2 .

Формули для визначення комплексів напруги й струми в будь-якій крапці лінії через комплекси напруги й струму:

- на початку лінії

U U1ch x I1zвsh x;

I I1ch x U1 sh x ;

zв

- наприкінці лінії

U U2ch y I2 zвsh y,

I I2ch y U2 sh y. zв

5. Погоджене навантаження. Навантаження лінії z2 zв назива-

ється погодженої; при ній відображена хвиля відсутня, тому що A1 0.

При погодженому навантаженні комплекси напруги й струми в будьякій крапці лінії визначаються

U U2e y,

I I2e y ,

а ККД лінії дорівнює

P2 e 2 l .

P1

153

6. Лінія без перекручувань – така, у якій коефіцієнт загасання й фазова швидкість не залежать від частоти.

У лінії без перекручувань повинна виконуватися умова

R0 G0 .

L0 C0

При цьому

	z			L0	,					,					,	V		1	.
		в					G	R	0			L	C	0
				C0		0					0					ф		L0C0
	7. Лінія без втрат. У лінії без втрат R0 G0															0. Рівняння ОЛ без

втрат:

U U2Cos y jI2 zвSin y,

I I2Cos y jU2 Sin y.

zв

При цьому

	z			L0	,	0,					,	V		1	.
		в						L	C	0
				C0			0					ф		L0C0

У режимах холостого ходу й короткого замикання вхідний опір лінії без втрат

zxx	zв	,	zкз jzвtg y.
	jtg y

Розподіл діючих значень напруги й струму уздовж лінії без втрат при її навантаженні на число активний опір Rн визначається рівняннями

U y U2 Cos2 y m2Sin2 y ,

154

	I y	I2
				m2Cos2 y Sin2 y	,
		m

де m zв .

Rн

7.4 Типові приклади. Розрахунок лінії з розподіленими параметрами

1. Двопровідна повітряна лінія виконана з алюмінієвих проводів.

Діаметр проводів d = 8 мм; відстань між їхніми осями a = 0,8 м; довжина лінії l = 120 км, кут у трикутнику провідностей поперечних елементів схеми заміщення лінії φу = 86º.

Обчислити первинні (R0, L0, C0, G0, z0, y0) і вторинні (zв, γ, α, β)

параметри лінії, а також фазову швидкість Vф, довжину хвилі λ і вхідний опір zвх при роботі лінії на частоті f = 1,6 кГц. Параметри наванта-

ження: R2 = 600 Ом; Х2 = 500 Ом.

Рішення

Первинні параметри лінії

				R0							2l				0						2 103		4				1,17		Ом		,
												d2								34 106 82 10 6									км
														4
						l					2a						4 10 7 103								0,8								Гн
	L0				0		0		ln														ln				2,119 10 3								,
											d																						км
																							0,004
			C0					0l0										8,86 10 12 103							5,253 10 9						Ф	,
											2a									0,8										км
									ln											ln
											d
																				0,004
G	0		2 С0							f						2 5,253 10 9 1,6 103												3,693 10 6						См		,
				tg( )																	tg86													км

155

z0 R0 j L0 1,17 j2 1600 2,119 10 3 1,17 j21,306(Ом ).

км

y0 G0 j C0 3,693 10 6 j2 1600 5,253 10 9

3,603 10 6 j52,81 10 6(См).

км

Вторинні опори. Хвильовий опір.

zв		z0		634,836 j4,743(Ом).
		y	0

Коефіцієнти поширення, загасання й фази.

z0 y0 2,094 10 3 j0,034,

2,094 10 3	Нп	,	0,034	рад	.
	км			км

Фазова швидкість і довжина хвилі

V			2,997 105	км	,		2	187,304км.
ф				с

Вхідний опір лінії

zвх zв z2ch l zвsh l , zвch l z2sh l

де z2 R2 j L2 600 j500;

sh l 1 ejl e jl 1 e lej l e le j l

22

0,161 j0,798;

ch l 1 ejl e jl 0,654 j0,196. 2

156

Підставивши значення sh l; ch l; z2 і zв у формулу zвх одержимо

zвх 916,461 j206,812.

2. Для однієї лінії й навантаження з попереднього завдання обчи-

слити напругу й струм на початку лінії, якщо напруга наприкінці лінії

U2 390 В.

Рішення

Для визначення зазначених величин обчислимо падаючі й відбиті хвилі напруги й струму на початку лінії.

Струм наприкінці лінії

			2		390
		U
I2		z2			600 j500	0,384 j0,32 (А).

Падаюча хвиля напруги на початку лінії

	1					l
Uп			U2	I	2 zв e		358,85 j233,65.(В)
	2

Відображена хвиля напруги на початку лінії

		1					l
	Uо			U2	I	2zв e		96,227 j6,014.(В)
		2

Напруга на початку лінії

U1 Uп Uо 455,077 j239,665.(В)

Падаюча й відображені хвилі струму на початку лінії

Iп Uп 0,568 j0,364.(А)

zв

157

Iо Uо 0,152 j8,341 10 3.(А) zв

Струм на початку лінії

I1 Iп Iо 0,416 j0,355.(А)

Для перевірки можна переконатися в тім, що струм знайдений за законом Ома

				455,077 j239,665
		U1
I1		zвх		916,461 j206,812	0,416 j0,355(А),

має таку ж величину.

3. Лінія в завданні 1 працює на погоджене навантаження. Визна-

чити напруги й струм на початку лінії, обчислити неї ККД

Рішення

Струм у лінії

I2 U2 U2 0,614 j4,589 10 3 .(А) z2 zв

При погодженому навантаженні напруга й струм на початку лінії визначаються по формулах

l

e

j l

390е

0,25128

е

j14,4

j14,4

185,28 j124,5(В),

U1

U2e

501e

l

e

j l

0,614e

j0,43

e

0,25128

e

j14,4

0,789e

j13,97

0,765 j0,19.(А)

I1

I2e

Коефіцієнт корисної дії лінії

e 2 l

e 0,352 0,605

або

60,5%.

158

7.5 Контрольне завдання 7

Двопровідна лінія виконана з алюмінієвих проводів. Діаметр про-

водів – d; відстань між проводами – a; довжина лінії – l; частота змінного синусоїдального струму – f; діюче значення напруги наприкінці лінії

– U2; активний і реактивний опір навантаження – Rн і Xн. Значення цих величин вибираються з табл. 7.1 у наступному порядку. Необхідно про-

нумерувати перші 8 букв свого прізвища. Якщо букв менше восьми, то використовувати відсутні з ім'я. По 1й букві з відповідного стовпчика вибирається значення d, по 2й – значення a, по 3й – l і т.д.

У якості 8й задається величини, що, у табл. 7.1 зазначені значення

φв – це кут у трикутнику провідностей поперечних елементів схеми заміщення лінії, φу використовується для обчислення параметра G0.

Таблиця 7.1

	А, Б, В,	Ж, З, И,	К, Л, М,	Р, С, Т,	Ц, Ч, Ш,
	Г, Д, Е,	І, Ї, Й	Н, О, П	У, Ф, Х	Щ, Ь, Ю,
	Є				Я
d, мм	6	7	8	9	10
a, м	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
l, км	100	110	120	130	140
f, кГц	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4
U2, В	360	370	380	390	400
Rн, Ом	500	550	600	650	700
Xн, Ом	500	– 500	550	– 550	600
φв, °	84	85	86	87	88

Для заданої лінії необхідно:

1.Обчислити первинні параметри: R0, L0, C0, G0, а також повний опір z0 і повну провідність y0 на 1 кілометр.

2.Обчислити вторинні параметри: коефіцієнт поширення γ і його складові коефіцієнти загасання α і фази β; хвильовий опір zв, а також фазову швидкість Vф і довжину хвилі λ.

159

3. Обчислити комплекси падаючих Uп1 , Iп1 і відображених Uо1 ,

Iо1 хвиль напруги й струму на початку лінії. Визначити по них напругу

U1 й струм I1 на початку лінії.

4.Обчислити вхідний опір лінії zвх і перевірити відповідність знайдених значень U1, I1 і zвх за законом Ома.

5.Замінивши заданий опір навантаження погодженим, розрахувати й побудувати графіки залежностей модулів напруги й струми від від-

стані до кінця лінії. Обчислити ККД лінії при погодженому навантаженні.

160