Теоретические основы электротехники (В. Дрючин)

A A		0,75		, звідки	A 0,667;
1	2	300			1
200A1 2000A2					A2 0,0833.

Остаточне вираження i1

i1 0,75 0,667e 200t 0,0833e 2000t ,

зрівняння (6.14)

i1 E L1 di1 0,75 0,333e 200t 0,417e 2000t . R dt

Зрівняння (6.13)

i2 i i1 0,333e 200t 0,333e 2000t .

7. У ланцюзі на рис. 6.14.а E = 450 В, R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом, R3 = 600 Ом, L = 4,138 Гн, C = 18,127 мкФ. Визначити u(t), i1(t), i2(t), i3(t)

після замикання ключа. Побудувати графіки цих величин.

Рішення

Струм в індуктивному елементі й напруга на конденсаторі до ко-

мутації

I1 I2

E

0,5А,

UC I2R2 100В.

R1 R2 R3

Примушені складові цих величин

i i

E

1,5А,

u

i

R

300В.

R1 R2

1пр

2пр

Cпр

2пр

2

Рівняння Кірхгофа для ланцюга після комутації

i1 i2 i3 ,

(6.20)

131

R i L	di1	u	C	E ,	(6.21)
1 1	dt
R2i2 uC.					(6.22)

Вхідний опір, що випливає з нього характеристичне рівняння (6.23) і його корінь

R2

z p R1 pL

pC

0,

R2

1

pC

p2

R1R2C L

p

R1

R2

0,

(6.23)

R2LC

R2LC

p2 300p 20000 0,

p 100

1

,

p

2

200

1

.

1

c

c

Вільна складова напруги на ємності, перехідну напругу на ємності і його похідній

u

Cв

Ae 100t Be 200t ,

u

C

u

Cпр

u

300 Ae 100t Be 200t ,

(6.24)

Cв

duC

100Ae 100t 200Be 200t .

(6.25)

dt

Початкові умови. При t = 0:1) uC 100В; 2)

duC

0. 1е умова – з

dt

2го закони комутації; 2е

початкова умова випливає із C

duC

i3 0 із

dt

0

(2.20) i

3

0 i 0 i

2

0 ;

по 1му

законі комутації

i 0 0,5А;

з (2.22)

1

1

i2 0 uC 0 0,5А; отже i3 0 0. R

132

Склавши 1у початкову умову в (6.24) і 2е в (6.25), одержуємо систему рівнянь

A B 200;

100A 200B 0,

з якої випливає A = - 400; B = 200.

Напруга й струм конденсатора

uC 300 400e 100t 200e 200t ,

i3 CduC 0,725e 100t 0,725e 200t . dt

Струм i2 визначаємо з (2.22), i2 – з (2.20)

i2 uC 1,5 2e 100t e 200t ,

R2

i1 i2 i3 1,5 1,275e 100t 0,275e 200t .

	Більша постійна часу			1	0,01с. Задаючись різними значен-
			100
	1

нями t у межах від 0 до 4τ1 = 0,04з обчислюємо u, i1, i2, i3 у різні момен-

ти часу й за отриманими даними будуємо графіки (показані на рис. 6.14.б).

8. У ланцюзі до попередньої задачі (рис. 6.14.а) параметри зміне-

ні: R1 = 5 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 165 Ом, L = 0,05 Гн, C = 50 мкФ, E = 220

В. знайти вираження u(t), i1(t), i2(t), i3(t) і побудувати їхні графіки.

Рішення

До комутації

I1 I2	E	1А,	uC I2R2 50В.
	R1 R2 R3
		133

Примушені значення цих величин

i i			E	4А,	u		i		R		200В.
1пр	2	пр	R1 R2			Cпр		2пр		2

Рівняння Кірхгофа див. (6.20); (6.21); (6.22), характеристичне рів-

няння див. (6.23), але коефіцієнти, а отже, і корінь - інші.

p2 500p 440000 0,	p 250 j614.
	1,2

Корені комплексні, сполучені, тому вільна складова u

uCв e 250t ACos614t BSin614t .

Перехідна напруга і її похідна

uC 200 e 250t ACos614t BSin614t ,

uC e 250t ACos614t BSin614t dt

614e 250t ASin614t BCos614t .

Початкові умови: при t = 0, 1)			uC 50В; 2)				duC	0. Підставивши
							dt
1у початкову умову у вираження uC			й 2е – в	duC	, одержимо систему рі-
				dt
внянь
150	A		звідки			A 150;
0		,				B 61,075.
	250A 614B

Напруга на конденсаторі

uC 200 e 250t 150Cos614t 61Sin614t200 162e 250tSin 614t 67,8 .

Струми визначаємо в тім же порядку, що й у попередній задачі

134

i3 CduC 5,37e 250tSin614t, dt

i2 uC 4 e 250t 3Cos614t 1,22Sin614t , R2

i1 i2 i3 4 e 250t 3Cos614t 4,15Sin614t .

Графіки всіх величин показані на рис. 6.15.

9. Визначити перехідні струми й напруга на ємності в ланцюзі на рис. 6.16, де j = 2 А, R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом, L = 0,5 Гн, C = 50 мкФ.

Рішення

До комутації струм в індуктивному елементі й напруга на ємності

I1 = j = 2 А,

U0 = 0.

Примушені значення

i1	i	2	j 2А,	uC	пр	i2	R	2 400В.
пр			пр				пр

Вхідний опір щодо затисків ключа й корінь характеристичного рі-

вняння

1	R	2 0,	p	1	100	1	.
				R2C
pC						c

Вільна складова u і загальне його вираження

uCв Ae 100t , uC uCпр uCв 400 Ae 100t .

При t = 0, u = 0, 0 = 400 + A, звідки A = – 400, отже,

uC 400 400e 100t ,

135

i2 uC 2 2e 100t ,

R2

i3 CduC 2e 250t . dt

Перевірка: i2 + i3 = 2A = j.

Висновок: параметри R1 і L гілки із джерелом струму не вплива-

ють на перехідний процес.

10. Вирішити задачу 1 операторним методом.

Рішення

Операторна схема заміщення показана на рис. 6.17. до комутації струм i2 = 0, тому додаткова ЕРС Li2(0) = 0. Ця обставина дозволяє визначити зображення струму 1ї гілки за допомогою закону Ома

E

pLE R2

E

I1 p

p

R3

.

R1

R

2 pL R

3

p pL R1 R3 R1R2 R2R3 R3R1

R2 R3 pL

Після підстановки числових значень

0,75p 1500 I1 p p p 1500 .

Для переходу до оригіналу застосуємо формулу розкладання

i1 N Pk ePkt , M Pk

де N p 0,75p 1500;

M p p p 1500 ;

M p 2p 1500,

136

з M p 0 визначаємо корінь
			p1 0,		p2 1500,
N p1 1500,		M p1 1500,			N p2 375,	M p2 1500.
Оригінал струму
i		1500	e0t	375	e 1500t 1 0,25e 1500t .
				1500
1	1500

Інші струми визначаються за допомогою рівнянь Кирхгофа

i3 E R1i1 0,5 0,25e 1500t ,

R3

i2 i1 i3 0,5 0,5e 1500t .

11. Вирішити задачу 2 операторним методом.

Рішення

Операторна схема заміщення ланцюга така ж, як і в попередній задачі (рис. 6.17), але в цьому випадку Li 0 0. Починати розрахунок із застосуванням закону Ома не можна. Застосовуємо метод 2х вузлів. Зо-

браження вузлової напруги

		E			1		Li			0			1
U p		p			R1				2		R2		pL
																.
				1					1				1
								R2
				R1					pL				R3

Після алгебраїчних перетворень і підстановки числових значень із обліком i2 0 0,75А одержимо

137

U p 37,5p 75000 .

p p 1500

Оригінал вузлової напруги знайдемо за допомогою формули роз-

кладання

N p 37,5p 75000,

M p p p 1500 ,

				M p 2p 1500.
	Корінь знаменника:
			p1 0,			p2 1500,
	u	N p1		ep1t	N p2			ep2t 50 12,5e 1500t .
		M p1			M p2

Рисунок 6.17

Рисунок 6.18

Рисунок 6.19

138

Оригінали струмів

i		Eu		0,5	0,125e 1500t	,
1		R1
i3		u		0,5	0,125e 1500t	,
		R3

i2 i1 i3 0,5 0,25e 1500t .

12. Вирішити операторним методом задачу 5.

Рішення

Операторна схема заміщення ланцюга після комутації показана на рис. 6.18. Застосуємо метод контурних струмів. Зображення контурного струму I22(p) є відомим

I22

p j p

j

0,5

,

p

p

для визначення I11(p) складемо рівняння

1

j

1

E

u

C

0

I p R

1

R

2

R

2

.

11

pC

p

p

pC

p

Вирішивши це рівняння відносно I11(p) і підставивши числові зна-

чення вхідних у рівняння величин, одержимо:

0,35p 250

I11 p I1 p .

p p 500

Перейдемо до оригіналу

N p 0,35p 250,	M p p p 500 ,
			M p 2p 500,
	p1 0,	p2 500,
		139

i

N p1

ep1t

N p2

ep2t 0,5 0,15e 500t ,

i

j i

0,15e 500t .

M p2

1

M p1

2

1

Напруга на конденсаторі

1

i2dt

106

1

500t

500t

uC

0,15

e

K K 75e

,

C

4

500

де K – постійна інтегрування. Визначимо її з початкових умов. При t = 0, u = 75У. 75 = K - 75 ( K = 150.

Підставимо знайдене значення K у вираженні u

uC 150 75e 500t .

13. Вирішити операторним методом задачу 7.

Рішення

Операторна схема заміщення ланцюга після комутації на рис. 6.19.

Зображення вузлової напруги є зображенням напруги на конденсаторі, тобто

E

1

u

C

0

Li 0

pC

1

p

uC p u p

p

R1 pL

.

1

1

pC

R1 pL

R2

Після алгебраїчних перетворень і підстановки числових значень одержимо

uC	p	100p2	30000p 6 106	.
		p p2
			300p 20000

Примітка. Значення i1(0) і u(0) дорівнюють значенням цих величин до комутації (див. рішення 5 класичним методом). Застосовуємо формулу розкладання.

140