2.1. Построение схем движения судов

Этап 1. Расчет тоннажепотоков между парами портов

Тоннажепотоком называется суммарный объем тоннажа, необходимый для освоения данного грузопотока. Величина тоннажепотока определяется по разному для грузов, относящихся к категории «тяжелых» и «лёгких».

А) Определение средней удельной грузовместимости судов ()

Удельная грузовместимость судна (ω) — это показатель отражающий, какое количество кубических метров вместимости приходится на 1 тонну чистой грузоподъемности судна (Dч).

Удельная грузовместимость (ω) определяется как отношение киповой грузовместимости судна ( Wк ) к его чистой грузоподъемности ( Dч ).

Итак, средняя удельная грузовместимость ()судов определяется следующим образом:

(2.1)

где Wk_b - - киповая грузовместимость судна b - ой серии;

Dч_ь - чистая грузоподъемность судна b - ой серии;

N_b - количество судов b - ой серии.

Б) Определение критерия использования грузоподъемности и грузовместимости (Ки_s) судна при перевозке груза s ()для последующего перевода грузопотоков в тоннажепотоки.

Для рассматриваемой задачи критерий использования грузоподъемности и грузовместимости определяется следующим образом:

(2.2)

, если U_s ≤  => груз «тяжелый»

, если U_s ≥ => груз «легкий»

где и_s - удельно-погрузочный объем груза (УПО), заявленного к перевозке между парой портов, м³/т;

S - общее количество рассматриваемых категорий грузов, подлежащих транспортировке.

В) Определение величины тоннажепотока (D_s), требуемого для освоения соответствующего s -го () грузопотока

D_s=Ku_s*Q_s , (2.3)

где Q_s – величина грузопотока s (), тонн.

D₁=1* 22000 = 22000 т;

D₂=1* 21000 = 21000 т;

D₃=1,7348* 19500 = 33828,6 т;

D₄=1* 19000 = 19000 т;

D₅=1,1772* 16000 = 18835,2 т.

Полученные значения представляются в виде табл. 2.1.

Таблица 2.1

Определение критериев использования грузоподъёмности и грузовместимости, а также величин тоннажепотоков

Груз (s = )	Qs, тыс. т.	иs, м^3/т	Сравнение величин иs и	Категория груза («тяжёлый»/ «лёгкий» )	Kus	Ds, тыс.т
s =1 Чугун	22000	u1=0,4	<1,614	«тяжёлый»	Ku1=1	D1=22000
s =2 Цемент	21000	u2=0,85	<1,614	«тяжёлый»	Ku2=1	D2=21000
s =3 Ткань	19500	u3=2,8	>1,614	«лёгкий»	Ku3=2,8/1,614=1,7348	D3=19500*1,7348 =33828,6
s =4 Оборудование	19000	u4=1,47	<1,614	«тяжёлый»	Ku4=1	D1=19000
s =5 Бумага	16000	u5=1,9	>1,614	«лёгкий»	Ku5=1,9/1,614=1,1772	D1=16000*1,1772= 18835,2

Этап 2. Определение портов с избытком и недостатком тоннажа

А) Составление таблицы корреспондирующих тоннажепотоков, (так называемой «косой» таблицы тоннажепотоков) (табл. 2.2).

При составлении табл. 2.2 во втором столбце по вертикали перечисляются все порты (отправления и назначения), которые должны быть обслужены судами флота судоходной компании при освоении заданных грузопотоков в соответствии с планом перевозок.

В шапке табл. 2.2. все порты перечисляются по горизонтали в том же порядке, в котором они расположены по вертикали во втором столбце таблицы.

Затем в ячейки табл. 2.2 заносится информация о направлении и величине тоннаже потоков.

Далее по строкам и столбцам табл. 2.2 определяется сумма величин отправляемого и прибывающего тоннажа. Соответствующая информация о величине отправляемого тоннажа заносится в ячейки последнего столбца табл. 2.2, а информация о величине прибывающего в порт тоннажа отражается в ячейках последней строки табл. 2.2.

Таблица 2.2

«Косая» таблица тоннажепотоков

Порты отправления и назначения	Мариуполь	Новороссийск	Измир	Триест	Одесса	Неаполь	Варна	Генуя	Всего Отпрвлено ai
Мариуполь	-22000					22000			22000
Новороссийск		-2000					21000		21000
Измир			-33828,6		33828,6				33828,6
Триест		19000		-19000					19000
Одесса					14993,4			18835,2	18835,2
Неаполь						22000			0
Варна							21000		0
Генуя	0							18835,2	0
Всего прибыло bi	0	19000	0	0	33828,6	22000	21000	18835,2	114663,8

Б) Дополнение полученной «косой» таблицы тотажепотоков (табл. 2.2) данными об обеспечении каждого порта тоннажем.

Для этого в диагональные клетки «косой» таблицы тоннажепотоков (табл. 2.2) записывается разность между числами, которые показывают прибытие тоннажа и его отправление по каждому порту.

Клетка (1;1) – порт Мариуполь: 0-22000 = -22000 (тыс.тонн).

Знак «-» (табл. 2.2) показывает, что в порту не хватает тоннажа, а знак «+» говорит об его избытке.

Таким образом, недостаток тоннажа (табл. 2.2) испытывают порты:

— Мариуполь;

— Новороссийск;

— Измир;

— Триест.

Избытком тоннажа характеризуются следующие порты:

— Одесса;

— Неаполь;

— Варна;

— Генуя.

Этап 3. Определение оптимального плана перехода тоннажа в балласте

Постановка задачи в общем виде. Имеются т портов с избытком («запасом» «+») тоннажа, т. е. т портов, из которых тоннаж отправляется в балласте. И n портов с недостатком («потребностью» «-») тоннажа, т. е. п портов назначения тоннажа, следующего в балласте.

Необходимо найти такой план распределения тоннажа, при котором общее количество тоннаже-миль в балласте будет наименьшим.

А) Проверка выполнения условия баланса

В рассматриваемой транспортной задаче должно выполняться условие баланса, т. е. сумма «запасов» должна равняться сумме «потребностей»:

(2.4)

Таким образом, следует определить общий «запас» тоннажа, идущего в балласте:

а₁+а₂+... + а_i + ... + а_m, (2.5)

14993,4+22000+21000+18835,2= 76828,6 (тонн),

который должен быть равен его суммарной «потребности» в соответствующих портах:

b₁+ b₂+…+ b_j+…+ b_n. (2.6)

2200+2000+19000+33828,6= 76828,6 (тонн).

Условие баланса выполняется.

Б) Обозначение переменных рассматриваемой задачи (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Переменные х_ij задачи

Порты с избытком тоннажа	Порты с недостатком тоннажа
	Мариуполь	Новороссийск	Измир	Триест
Одесса	Х11	Х12	Х13	Х14
Неаполь	Х21	Х22	Х23	Х24
Варна	Х31	Х32	Х33	Х34
Генуя	X41	X42	X43	X44

Исходя из условия данной задачи, представляем экономико-математическую модель линейного программирования в общем виде.

В) Построение экономико-математической модели задачи минимизации тоннаже-миль в балласте.

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

где x_ij - параметр управления, который отражает величину тоннажа, идущего в балласте из i - го порта с избытком тоннажа в j - ый порт с его недостатком;

l_ij - расстояние между портами i и j, мили (табл. 2.4);

а_i - «запасы» тоннажа в i - ом порту;

b_j - «потребности» в тоннаже в j - ом порту.

Таблица 2.4

Условие задачи минимизации тоннаже-миль в балласте

Порты с избытком тоннажа	Порты с недостатком тоннажа					«Запасы» (предложение) тоннажа, который идёт в балласте (аi), т
	Мариуполь	Новороссийск	Измир	Триест
Одесса	445	362	623	1494	14993,4
Неаполь	1534	1430	821	800	22000
Варна	519	440	422	1301	21000
Генуя	1845	1741	1132	1111	18835,2
«Потребность» (спрос) в тоннаже, который идёт в балласте (bj), т	22000	2000	33828,6	19000	76828,6

Целевая функция (2.7) минимизирует общую протяженность балластных переходов судна.

Группа ограничений (2.8) говорит о том, что все «запасы» тоннажа в портах с его избытком должны быть исчерпаны.

Система уравнений (2.9) отражает то, что «потребности» всех портов с недостатком тоннажа должны быть удовлетворены.

Выражение (2.10) - это условие неотрицательности переменных, которое указывает на то, что параметр управления не должен быть отрицательной величиной, т. е. по любому маршруту либо следует тоннаж, либо нет.

Условие задачи минимизации тоннаже-миль в балласте представляем в виде табл.2.4.

Количество переменных х_ij в задаче должно соответствовать следующему

выражению: т*п=4*4=16.

Количество базисных переменных - выражению: т + п-1=4+4-1=7.

Количество ограничений - выражению: т+п=4+4=8.

Г) Представление экономико-математической модели задачи минимизации тоннаже-милъ в балласте в координатной форме.

На основании исходных данных записывается экономико-математическую модель сформулированной задачи в координатной форме.

Z= 445x₁₁ + 362x₁₂ + 623x₁₃ + 1494x₁₄ + 1534x₂₁ + 1430x₂₂ + 821x₂₃ + 800x₂₄ + 519x₃₁ + 440x₃₂+ 422x₃₃ + 1301x₃₄ + 1845x₄₁ + 1741x₄₂ + 1132x₄₃ +1111x₄₄→ min

I группа ограничений:

«запасы» в Одессе: x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄ = 14993,4

«запасы» в Неаполе: x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄ = 22000

«запасы» в Варне: x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄ = 21000

«запасы» в Генуе: x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄ = 18835,2

II группа ограничений:

«потребности» в Мариуполе: x₁₁+ x₂₁+x₃₁+ x₄₁ = 22000

«потребности» в Новороссийске: x₁₂+ x₂₂+x₃₂+ x₄₂ = 2000

«потребности» в Измире: x₁₃+ x₂₃+x₃₃+ x₄₃ = 33828,6

«потребности» в Триесте: x₁₄+ x₂₄+x₃₄+ x₄₄ = 19000

x₁₁ ≥ 0; x₁₂≥ 0; x₁₃≥ 0; x₁₄ ≥ 0; x₂₁≥ 0; x₂₂≥ 0; x₂₃ ≥ 0; x₂₄≥ 0; x₃₁≥ 0; x₃₂ ≥ 0; x₃₃ ≥ 0; x₃₄ ≥ 0; x₄₁≥ 0; x₄₂≥ 0; x₄₃≥ 0; x₄₄≥ 0.

Д) Реализация задачи минимизации тоннаже-миль в балласте в координатной форме.

Современная компьютерная техника вместе с соответствующим программным обеспечением позволяет решать ТЗ любой размерности как задачи линейного программирования.

Решим задачу с помощью средства «Поиск решения» программы электронных таблиц ЕХСЕL. Результаты оптимизации плана балластных переходов представлены в табл. 2.5.

В приложении А КП представлен соответствующий «Отчёт о результатах» решение задачи минимизации балластных переходов.

Таблица 2.5

Оптимальный план балластных переходов судна

Порт с избытком тоннажа- порт отправления тоннажа в балласте	Порт с недостатком тоннажа – порт назначения тоннажа в балласте					«Запасы» (предложения) тоннажа (ai), тонн
	Мариуполь	Новороссийск	Измир	Триест
Одесса	14993,4				23235
Неаполь			10944,96	11055,04	23500
Варна	7006,6	2000	11993,4
Генуя			10890,24	7944,955	38000
«Потребность» (спрос) в тоннаже (bj), тонн	22000	2000	33828,6	19000	76828,6

Оптимальный план: x₁₁ =14993,4, x₂₃ = 10944,96, x₂₄ = 11055,04, x₃₁ = 7006,6, x₂₂ =2000, x₂₃ = 11993,4, x₄₃ =10890,24, x₄₄ =7944,955

Значение целевой функции: Z = 55234150 (тоннаже-миль).

- Из Одессы в Мариуполь отправлен балластный тоннажепоток в размере 14993,4 т;

- Из Неаполя в Измир – 10944,96 т;

- Из Неаполя в Триест – 11055,04 т;

- Из Варны в Мариуполь –7006,6 т;

- Из Варны в Новороссийск –2000 т;

- Из Варны в Измир – 11993,4 т;

- Из Генуи в Измир –10890,24 т;

- Из Генуи в Триест – 7944,955 т.

Этап 4. Построение оптимальных схем движения тоннажа

С целью построения оптимальных схем движения тоннажа, для начала, необходимо перенести оптимальный план балластных переходов (табл. 2.5) в «косую» таблицу корреспонденции гружённых тоннажепотоков (табл. 2.2). В полученной совмещённой таблице балластные переходы выделены серым цветом.

При построении схем движения тоннажа следует соблюдать условия, сформулированные в начале раздела 2.

Построение схем движения производится в следующей последовательности:

• построение простых схем движения (то есть между двумя портами) с грузом на обоих участках, т.е. схем уравновешенных по тоннажу, который идёт в грузу;

• построение схем движения, которые содержат балластные переходы.

Следуя этим правилам, начинаем построение схем.

Схема 1

Балласт Балласт

^{10944,96 10944,96 10944,96 10944,96}

^{(10944,96) (6309)}

Мариуполь Неаполь Измир Одесса Мариуполь

^{1534 мили 821 миля 623 мили 445 миль}

На первом участке полученной схемы 1 указана величина тоннажепотока (10,944 тыс. тонн). Необходимо осуществить обратный переход от тоннажепотоков к грузопотокам. Для этого используется следующая формула:

(2.11)

где - порядковый номер участка схемы движении;

К_с - общее количество участков в схеме движения;

с - схема движения;

С - общее количество полученных схем движения;

р - пара портов;

Р - общее количество рассматриваемых пар портов;

s - груз, заявленных к перевозке между парой портов;

S - общее количество рассматриваемых категорий грузов, заявленных к перевозке между парой портов.

Так, в состав схемы 1 входит два участка:

- участок 1 (k = 1) схемы 1 (с = 1) соответствует 2-ой паре портов Новороссийск-Констанца ( р = 1, см. табл. 1). На данном участке:

• величина тоннажепотока соответствует следующей величине:

D₁₁ = 10944,96 тонн;

• коэффициент перевода грузопотоков в тоннажепотоки равен:

Ки₁ =1.

Следовательно:

Записываем полученную величину грузопотока в скобках рядом со значением тоннажепотока над участком 1 соответствующей схемы движения;

- участок 2 (k = 2) схемы 1 (с = 1) соответствует 3-й паре портов ( р = 3, см. табл. 1). На данном участке:

• величина тоннажепотока соответствует следующей величине:

D₃₁ = 10944,96 тонн;

• коэффициент перевода грузопотоков в тоннажепотоки равен:

Ки₃ =1,7348.

Следовательно:

Схема 2

Балласт Балласт

^{7006,6 7006,6 7006,6 7006,6 7006,6}

^{(7006,6) (7006,6) (7006,6)}

Мариуполь Неаполь Триест Новороссийск Варна

^{1534 мили 800 миль 1608 мили 440 миль 519 миль}

Мариуполь

Переводим тоннажепотоки в грузопотоки.

Так, структура схемы 2 характеризуется наличием трех участков с гружённым тоннажепотоком. Так как на всех участках Ки_s =1,то расчет для всех участков будет одинаковым. Приведем пример участка 1:

- участок 1 (k = 1) схемы 2 (с = 2) соответствует 1-ой паре портов Мариуполь – Неаполь ( р = 1, см. табл. 1). На данном участке:

• D₁₂ = 7006,6 тонн;

• Ки₁ =1.

Следовательно:

Записываем полученные величины грузопотоков рядом со значениями тоннажепотоков над соответствующими участками рассматриваемой схемы.

Переходим к построению следующей схемы движения.

Схема 3

Балласт Балласт

^{4048,44 4048,44 4048,44 4048,44 4048,44}

^{(4048,44) (4048,44) (4048,44)}

Мариуполь Неаполь Триест Новороссийск Варна

^{1534 мили 800 миль 1608 мили 440 миль 422 мили}

^4048,44 Балласт

^{(2333,96) 4048,44}

Измир Одесса Мариуполь

^{623 мили 445 миль}

- участок 1 (k = 1) схемы 3 (с = 3) соответствует 1-ой паре портов Мариуполь-Неаполь (р = 1, см. табл. 1). На данном участке:

• D₁₃ = 4048,44 тонн;

• Ки₁ =1.

Следовательно:

Так как груженные участки 2 и 3 имеют Ки₂ = Ки₄ =1, то грузопотоки на них будут равны тоже 4048, 44

- участок 4 (k = 4) схемы 3 (с = 3) соответствует 3-ей паре портов Измир - Одесса(р = 3, см. табл. 1). На данном участке:

• D₃₃ = 4048,44 тонн;

• Ки₂ =1,7348.

Следовательно:

Схема 4

Балласт Балласт

^{7944,96 7944,96 7944,96 7944,96 7944,96}

^{(7944,96) (4579,76) (6749)} Новороссийск Варна Измир Одесса Генуя

^{440 миль 422 мили 623 мили 1627 миль 1111миль}

^7944,96

^(7944,96)

Триест Новороссийск

^{1608 мили}

- участок 1 = участок 4 (k = 2) схемы 4 (с = 4) соответствует 2-й паре портов Новороссийск- Варна (р = 2, см. табл. 1). На данном участке:

• D₂₄ = 7944,96 тонн;

• Ки₂ =1

Следовательно:

Данная величина грузопотока (7944,96 тонн) будет одинаковой и на груженном участке Триест – Новороссийск.

- участок 2 (k = 2) схемы 4 (с=4) соответствует 3-ой паре портов Измир-Одесса (р = 3, см. табл. 1). На данном участке:

• D₃₄ = 7944,96 тонн;

• Ки₃ =1,7348.

Следовательно:

- участок 3 (k = 3) схемы 4 (с = 4) соответствует 5-ой паре портов Одесса-Генуя (р =5, см. табл. 1). На данном участке:

• D₅₄ = 7944,96 тонн;

• Ки₅ =1,1772

Следовательно:

Схема 5

Балласт

^{2000 2000}

⁽²⁰⁰⁰⁾

Новороссийск Варна Новороссийск

^{440 миль 440 миль}

- участок 1 (k = 1) схемы 5 (с = 5) соответствует 2-ой паре портов Новороссийск-Варна (р = 2, см. табл. 1). На данном участке:

• D₂₅ = 2000 тонн;

• Ки₂ =1.

Следовательно:

Схема 6

Балласт

^{10890,24 10890,24 10890,24}

^{(6277,52) (9250,97)}

Измир Одесса Генуя Измир

^{623 мили 1627 миль 1132 мили}

- участок 1 (k = 1) схемы 6 (с = 6) соответствует 3-й паре портов Измир-Одесса (р = 3, см. табл. 1). На данном участке:

• D₃₅ = 10890,24 тонн;

• Ки₃ =1,7348

Следовательно:

- участок 2 (k = 1) схемы 6 (с = 6) соответствует 5-ой паре портов Одесса-Генуя (р = 5, см. табл. 1). На данном участке:

• D₅₆ = 10890,24 тонн;

• Ки₅ =1,1772

Следовательно: