15.2.4. Конструктивные свойства некоторых закономерных криволинейчатых поверхностей и изобразительные свойства их ортогональных проекций

Общие положения

Определение 15.11. Система по-следовательных положений закономе-

рной кривой образующей, которая пе-ремещается по закономерной кривой направляющей, оставаясь неизменной или закономерно изменяющей свои па-раметры, называется закономерной криволинейчатой поверхностью.

Ф ( l, m )

Здесь под закономерными кривыми линиями понимаются алгебраические кривые преимущественно 2-го порядка. Это окружности, эллипсы, параболы и гиперболы с их директрисами и асимп-тотами и фокусами.

Возможны различные комбинации из пар этих линий с различными усло-виями их взаимного расположения в ст-руктуре линейных каркасов образуемых поверхностей. Как правило, они распо-лагаются во взаимно-перпендикуляр-ных плоскостях уровня.

1. Если элементами линейного кар-каса являются эллипсы различных па-раметров, то они образуют закономер-ную поверхность трёхосного эллипсо-ида ( рис.15. 82, 15. 83 ).

В частности, если эллипсы линей-ного каркаса золотые (см. рис.13.37), то они образуют поверхность золотого трёхосного эллипсоида (рис.15. 84).

2. Если два типа линий линейного каркаса являются параболами, а третий – эллипсами, то они образуют поверх-ность эллиптического параболоида (рис.15. 89).

3. Если два типа линий линейного каркаса являются гиперболами, а тре-тий – эллипсами, то возможны два ва-рианта закономерной поверхности:

1-й вариант – однополостный эл-

липтический гиперболоид (рис.15.90);

2-й вариант – двуполостный элли-птический гиперболоид (рис.15.91).

Если эти два варианта содержат зо-лотые эллипсы и гиперболы, то обра-зуемые ими одно и двухполостные по-верхностей эллиптических гиперболои-

дов будут золотыми.

Конструктивные свойства трёхосного эллипсоида

( рис.15.82, 15.83 )

Определение 15.12. Система по-следовательных положений эллипти-ческой образующей линии а, закон из-менения длин осей которой определя-

Рис.15.84. Геометрическая модель золотого трёхосного эллипсоида

Рис.15.85. Графическая модель золотого трёхосного эллипсоида

ется значениями длин соответст-вующих хорд двух конкурентных и вза-имно-перпендикулярных направляющих эллипсов b и c с общим центром О на-зывается трёхосным эллипсоидом.

Как правило, общий центр О напра-вляющих эллипсов b и с принимают за начало осей х, y и z декартовых коорди-нат, с которыми совпадают их соответ-ственные оси. Плоскость кривизны об-разующего эллипса а перемещается перпендикулярно к линии пересечения направляющих эллипсов и, пересекая их, определяет свои большую и малую оси. Роль образующего эллипса может играть любой из направляющих эллип-сов

Совершенно очевидно, что соотно-шения длин осей направляющих элли-псов могут быть как произвольными, так и наперед заданными. В частности, ес-

ли направляющий эллипс в осях хОу

является золотым, то и вся поверхно-

сть становится золотой (см. рис.15.84).

Определение 15.13. Трёхосный элли-псоид Ф, горизонтальные и профильные сечения которого являются золотыми эл-липсами ,а фронтальные вписываются в золотые прямоугольники, называется зо-лотым.[ 62 ].

Центр О такого эллипсоида является началом трёх взаимно-перпендикулярных осей х, у и z, которые попарно определяют соответственно горизонтальную (хОу), фро-нтальную (хОz) и профильную (yOz) плоско-сти его симметрии.