Завдання № 2 Скалярний добуток векторів

Точки A, B, C, D задані своїми координатами. Знайти кут між векторами іта проекцію векторана вектор, якщо:

1. А(2;–3;1), В(6;1;–1), С(4;8;–9), D(2;–2;1).

2. А(5;–1;–4), В(9;3;–6), С(7;10;–14), D(5;1;–3).

3. A(2;1;0), B(3;–1;2), C(13;3;10), D(0;1;4).

4. А(2;0;0), В(0;3;0), С(0;0;6), D(2;3;8).

5. А(–3;–6;–2), В(1;–2;0), С(–1;5;–8), D(–3;–4;3).

6. А(–1;1;–5), В(3;5;–7), С(1;12;–15), D(–1;3;–4).

7. А(0;4;3), В(4;8;1), С(2;15;–7), D(0;6;4).

8. А(3;3;–3), В(7;7;–5), С(5;14;–13), D(3;5;–2).

9. А(–3;4;–3), В(–2;2;–2), С(8;6;7), D(5;8;5).

10. А(–2;–3;2), В(–1;–5;4), С(9;–1;12), D(6;1;10).

Завдання № 3 Векторний добуток векторів

1. Сила прикладена до точкиА(2;-1;1). Визначити момент цієї сили відносно початку координат.

2. Дано координати вершин трикутника А(1;-1;2), В(5;-6;2) і С(1;3;-1). Обчислити довжину висоти, проведеної з вершини В на сторону АС.

3. Сила прикладена до точкиА(4;-2;3). Визначити момент цієї сили відносно точки В(3; 2; -1).

4. Знайти площу паралелограма побудованого на векторах та.

5. Сила прикладена до точкиА(2;-1;-2). Визначити момент цієї сили відносно початку координат.

6. Дано вектори . Обчислити.

7. Сила прикладена до точкиА(4;2;-3). Визначити момент цієї сили відносно точки В(2; 4; 0).

8. Знайти синус кута, утвореного векторами .

9. Дано точки А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6). Обчислити площу трикутника АВС.

10. Знайти площу паралелограма побудованого на векторах та.

Завдання № 4 Мішаний добуток векторів

У задачах 1 – 10 дані координати вершин тетраедра ABCD. Обчислити об’єм тетраедра та довжину висоти, опущеної з вершини D на площину грані АВС.

1. А(–5;–4;8), В(2;3;1), С(4;1;–2), D(6;3;7).

2. А(5;4;2), В(0;0;1), С(0;2;0), D(3;0;0).

3. А(2;0;0), В(0;3;0), С(0;0;6), D(2;3;8).

4. А(2;–3;1), В(6;1;–1), С(4;8;–9), D(2;–2;1).

5. А(5;–1;–4), В(9;3;–6), С(7;10;–14), D(5;1;–3).

6. А(–3;–6;–2), В(1;–2;0), С(–1;5;–8); D(–3;–4;3).

7. А(–1;1;–5); В(3;5;–7), С(1;12;–15); D(–1;3;–4).

8. А(0;4;3), В(4;8;1), С(2;15;–7), D(0;6;4).

9. А(3;3;–3), В(7;7;–5), С(5;14;–13), D(3;5;–2).

10. А(–3;4;–3), В(–2;2;–2), С(8;6;7), D(5;8;5).

Завдання № 5 Застосування векторного методу до розв’язування задач

1. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

2. Довести властивості середньої лінії трикутника.

3. Довести властивості середньої лінії трапеції.

4. Довести, що медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

5. Довести, що в трикутнику сума квадратів медіан дорівнює сумі квадратів його сторін.

6. Довести теорему косинусів.

7. Довести теорему синусів.

8. Довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці.

9. Дано довільний трикутник. Довести, що існує трикутник, сторони якого паралельні і рівні медіанам даного трикутника.

10. Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника, якщо медіани, проведені до його бічних сторін, взаємно перпендикулярні.