4.6.2. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Аналіз тенденцій загальної рівноваги.

Функції попиту і пропозиції товарів А і В, які випускають дві галузі національної економіки, задані відповідно такими рівняннями:

Q_DA = 20 – 3P_A + 2P_B; Q_SA = 2P_A - P_B – 6;

Q_DB = 25 – 2P_B + P_A; Q_SB = P_B – 0,5P_A – 5,

де Q_A і Q_B – рівноважні обсяги продажу, тис. од.; Р_А і Р_В – відповідно ціни товарів А і В, грн.

Визначити рівноважні ціни і обсяги продажу товарів А і В за умови, що економіка перебуває у стані загальної рівноваги.

Якими будуть наслідки для галузевих ринків встановлення на товар А ціни на рівні 17 грн за 1 од., а на товар В – 19 грн за 1 од. Чи можливе і яким чином відновлення загальної рівноваги за такого рівня галузевих цін?

Розв’язання

1. Загальна рівновага передбачає досягнення рівноважного стану усіма галузевими ринками. Тому для визначення рівноважних цін треба поєднати в систему умови ринкової рівноваги всіх галузевих ринків, розв’язавши яку знайдемо рівноважні галузеві ціни і обсяги продажу:

P_A = 16, грн;

Р_В = 18, грн.

За рівняннями галузевої рівноваги знаходимо рівноважні галузеві обсяги купівлі-продажу товарів А і В:

Q_{A РІВН} = 20 – 3·16 + 2·18 = 2·16 – 18 – 6 = 8, тис. од.;

Q_{B РІВН} = 25 – 2·18 + 16 = 18 – 0,5·16 – 5 = 5, тис. од.;

Q_{A РІВН} = 8, тис. од.;

Q_{B РІВН} = 5, тис. од.

2) Визначаємо обсяги попиту і пропозиції на обох галузевих ринках після встановлення на товари А і В цін, які є вищими за ціни ринкової рівноваги:

а) стан на ринку товару А

Q_DA = 20 – 3P_A + 2P_B = 20 - 3·17 + 2· 19 = 7, тис. од.;

Q_SA = 2P_A – P_B – 6 = 2·17 – 19 – 6 = 9, тис. од.

Як видно із розрахунків, на ринку товару А обсяг пропозиції перевищує обсяг попиту (Q_SA > Q_DA), тобто на ринку виникає надлишок товару в обсязі 2 тис. од. продукту;

б) стан на ринку товару В

Q_DB = 25 – 2P_B + P_A = 25 – 2·19 + 17 = 4, тис. од.;

Q_SB = P_B – 0,5P_A – 5 = 19 – 0,5·17 – 5 = 5,5, тис. од.

Розрахунки свідчать, що і на даному ринку обсяг пропозиції є більшим за обсяг попиту (Q_SB > Q_DB), отже на ринку виникає надлишок товару в обсязі 1,5 тис. од. продукту.

Висновок: Внаслідок підвищення цін відбувається порушення як часткової, так і загальної рівноваги. Поява надлишків на обох ринках дає змогу стверджувати, що в умовах досконалої конкуренції за теоремою Вальраса на обох ринках ціни мають поступово знижуватися й наближуватися до рівноважного рівня, доки не буде відновлена загальна рівновага.

Приклад 2. Аналіз рівноваги на ринку блага, що має значний додатний зовнішній ефект. Обчислення розміру субсидії А.Пігу.

В умовах комерціалізації освітянських послуг в Україні попит на платну вищу освіту має функцію: Q_D = 40 – 0,5N. Гранична суспільна вигода вищої освіти має функцію: MSB = 80 – 0,5N.

Сукупні витрати типового вищого навчального закладу України на підготовку фахівців з вищою освітою задані наступним рівнянням:

ТС = 10N + N²,

де N – кількість бажаючих навчатися на платних засадах, тис. осіб; ТС – сукупні витрати, млн грн на рік; MSB – суспільні вигоди, млн грн на рік.

За наведеними даними визначити:

а) розмір зовнішньої вигоди навчання 1 тис. студентів;

б) кількість студентів, які будуть отримувати вищу освіту на комерційних засадах;

в) кількість студентів, що відповідає максимуму суспільної корисності вищої освіти;

г) розмір плати за навчання і дотацію А.Пігу, яка здатна забезпечити набуття освіти в обсязі, що відповідає максимуму суспільної корисності вищої освіти.

Розв’язання

1. Граничні суспільні вигоди вищої освіти (MSB), як і будь-якого суспільного блага, дорівнюють сумі граничних приватних (MPB) і граничних зовнішніх вигод (MEB), тобто:

МSB = MPB + MEB MEB = MSB – MEP.

Граничні приватні вигоди визначають попит молоді на освіту, тобто:

МРВ = Q_D = 40 – 0,5N MEB = (80 – 0,5N) – (40 – 0,5N);

MEB = 40, млн. грн.

2. Знайдемо число студентів, які готові сплачувати за набуття вищої освіти, дорівнявши попит на освіту (граничну приватну вигоду освіти) до граничних приватних витрат на освіту, які знаходимо як похідну від функції сукупних приватних витрат:

МС = (TC)' = (10 N + N²)' = 10 + 2N;

MPB (Q_D) = MC;

40 – 0,5N = 10 + 2N;

2,5N = 30;

N = 12. тис. осіб.

3. Знаходимо кількість студентів, яка відповідає максимуму суспільно корисності вищої освіти. Для цього дорівнюємо функцію суспільної корисності до граничних витрат вищої освіти:

MSB = MC;

80 – 0,5N = 10 + 2N;

2,5 N = 70;

N = 28, тис. чол.

4. Знайдемо, якою має бути плата за навчання, щоб у вищі навчальні заклади поступила кількість студентів, що забезпечує досягнення суспільної корисності вищої освіти. Для цього підставимо оптимальну кількість студентів у функцію попиту, оскільки в умовах рівноваги приватна корисність (а це є функція попиту) дорівнює ринковій ціні і граничним приватним витратам:

40 – 0,5·28 = 26, млн. грн.

5. Знайдемо граничні витрати вищих навчальних закладів, що забезпечують підготовку фахівців у кількості, що відповідає максимуму суспільної корисності вищої освіти:

МС = 10 + 2N = 10 + 2·28 = 66, млн. грн.

6. Обчислюємо субсидію А.Пігу, яка є різницею між граничними суспільними і граничними приватними витратами на суспільне благо:

Sub = 66 – 26 = 40, млн. грн.

Висновок. Для забезпечення освітянських послуг в обсязі, що відповідає граничній суспільній корисності вищої освіти, державна субсидія за А.Пігу має дорівнювати граничним зовнішнім вигодам освіти і становити 40 млн. грн.

Приклад 3: Визначення Парето-ефективного обсягу випуску продукції.

У певній досконало конкурентній галузі працюють дві фірми, виробничі функції яких відповідно задані рівняннями:

де Q₁ і Q₂ – обсяги випуску продукту відповідно першою і другою фірмами, тис. од.; К₁ і К₂ – обсяги капіталу, що використовуються відповідно двома фірмами, од.

Загальний обсяг фізичного капіталу у галузі – 150 од.

Визначити оптимальний за Парето галузевий обсяг випуску продукції.

Розв’язання

За умов Парето-ефективної рівноваги граничні норми технологічного заміщення є однаковими для усіх виробників, а це означає рівність їх граничних продуктів. Отже, дорівнявши граничні продукти двох фірм, можна знайти оптимальні обсяги випуску цих фірм.

Сукупний обсяг наявного в галузі капіталу – 150 одиниць, а це означає, що:

К₁ + К₂ = 150 К₁ = 150 – К₂ К₂ = 150 – К₁.

1.) Знайдемо граничні продукти кожної фірми як похідні від їхніх виробничих функцій:

2. Прирівняємо граничні продукти двох фірм, при цьому скористаємось значенням К₂, виведеним у вступі до розв’язання задачі. Це дасть змогу визначити обсяги залучення капіталу кожною фірмою:

150 – К₁ = 0,5К₁;

1,5К₁ = 150;

К₁ = 100, од.;

К₂ = 150 – К₁ = 150 –100;

К₂ = 50, од.

3. Знайдемо ефективні за Парето обсяги випуску продукції для кожної фірми. Для цього підставимо у виробничі функції фірмі знайдені обсяги використання ними капіталу:

4. Знаходимо ефективний за Парето сукупний галузевий обсяг випуску продукції:

Q_ГАЛ = Q₁ + Q₂ = 20 + 10 = 30, тис. од.

Відповідь. Парето-ефективний бсяг випуску продукту у галузі становить 30 тис. одиниць продукції.