3. Классический метод анализа

переходных процессов

Содержание метода.

В основе классического метода лежит составление системы дифференциальных уравнений цепи и сведение их к одному неоднородному линейному дифференциальному уравнению, на основе которого определяется искомая переходная электрическая величина.

Порядок этого уравнения одновременно является порядком цепи и определяется числом независимых реактивных элементов цепи.

Иллюстрация метода.

Рассмотрим применение классического метода на примере отыскания переходного тока, т.е. тока в цепи, имеющего место во время переходного процесса.

Условия задачи. Пусть задана последовательная RLC – цепь, подключающаяся к сети с напряжением u (рис. 11.6).

+

U

L

U_С

i

_

C

Рис. 11.6

Состояние этой цепи после коммутации может быть описано системой уравнений, полученных на основе известных соотношений между токами и напряжениями на элементах цепи и второго закона Кирхгофа:

(11.3)

Данная система уравнений легко может быть сведена к одному неоднородному интегро-дифференциальному уравнению с правой частью:

Это уравнение легко приводится к дифференциальному путем дифференцирования обоих его частей по t:

(11.4)

Полученное уравнение является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка ( в цепи содержится два независимых реактивных элемента).

Из математики известно, что полное решение такого уравнения представляет собой сумму двух решений:

(11.5)

где i_y- установившаяся составляющая переходного тока (установившийся электрический ток);

i_cв- свободная составляющая переходного тока (свободный электрический ток).

Установившийся электрический ток есть периодический или постоянный электрический ток, устанавливающийся в электрической сети после окончания переходного процесса при воздействии на цепь периодических или постоянных ЭДС или напряжений.

Установившийся ток имеет место в цепи после окончания переходного процесса, когда составляющая i_cв станет равной нулю, соответствует режиму, который установится в цепи под воздействием приложенного напряжения (ЭДС) u(t) источника питания и его существование обусловлено энергией этого источника.

Свободный электрический ток есть электрический ток, равный разности переходного и установившегося токов, существует в цепи только в течение времени переходного процесса и обусловлен запасом энергии в реактивных элементах до момента коммутации ( при отключенных источниках питания цепи).

Переходный процесс описывается полным током в цепи i, представляющим собой сумму свободного i_cв и установившегося i_y-токов, поэтому решение уравнения (11.4) связано с определением этих составляющих тока.

Рассмотрим основные рекомендации по отысканию каждой из составляющих тока.

Определение установившегося тока. Составляющая i_y есть частное решение неоднородного ( с правой частью) дифференциального уравнения вида (11.4):

(11.6)

В математике эту составляющую определяют методом подбора функции по виду правой части, таким образом, чтобы её подстановка в уравнение обращала последнее в тождество.

В электротехнике такой подбор упрощается по следующим причинам:

- часть функции i_y можно сформировать на основе понимания физических процессов в цепи;

- i_y можно получить обычным расчетом цепи в установившемся режиме её работы.

Определение свободного тока. Составляющая i_cв есть общее решение однородного (без правой части) дифференциального уравнения (11.2) вида:

(11.7)

Из математики известно, что решение подобного уравнения n-й степени относительно i_cв имеет вид:

(11.8)

где А₁, А₂,…, А_n- постоянные интегрирования;

Р₁, Р₂,…, Р_n – корни характеристического уравнения, получаемого из однородного дифференциального уравнения заменой в нем производных на Р в степени, равной порядку производной.

Для дифференциального уравнения второго порядка (11.7) решение в общем случае и характеристическое уравнение имеют вид:

(11.9)

и

.

Для реальных пассивных электрических цепей корни характеристического уравнения могут быть вещественными, отрицательными и комплексно сопряженными с отрицательными вещественными частями.

Отрицательные значения вещественных корней и вещественных частей корней обусловлены потерями энергии в реальных цепях, что математически выражается экспоненциально убывающими зависимостями свободного режима от времени (е^-αt). Характер свободного режима не зависит от действующих в цепи источников и определяется лишь параметрами цепи (решением характеристического уравнения).

В случае вещественных и разных корней характеристического уравнения решение имеет вид ( 11.9).

В случае вещественных и равных корней:

. (11.10)

В случае комплексно-сопряженных корней :

(11.11)

где

А₁, В₁, В₂ и φ – также постоянные интегрирования.

Для цепи первого порядка решение имеет вид:

. (11.12)

Определение постоянных интегрирования является самой трудоёмкой операцией при использовании классического метода, при этом число постоянных интегрирования равно порядку уравнения.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий коммутации на основе законов коммутации.

При расчете переходных процессов различают схемы с нулевыми и ненулевыми начальными условиями. В схемах с ненулевыми начальными условиями не равно нулю хотя бы одно из независимых начальных условий.

Далее будет дана иллюстрация применения классического метода на ряде примеров и, в том числе, иллюстрация способов определения постоянных интегрирования.

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом. Для простых линейных электрических цепей алгоритм расчета переходных процессов классическим методом можно сформулировать применительно к задаче отыскания переходных электрических токов и напряжений на элементах при известных параметрах и заданных входных воздействиях ( напряжения или ЭДС источников питания цепи).

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом следующий:

1. Составляется расчетная схема замещения электрической цепи и определяются начальные условия коммутации.

2. Для схемы цепи, образующейся после её коммутации, составляется система дифференциальных уравнений. Уравнения составляются на основе соотношений между токами и напряжениями на элементах цепи и законов Кирхгофа.

3. Полученная система уравнений преобразуется к одному неоднородному дифференциальному уравнению вида (11.4).

4. По дифференциальному уравнению записывается и решается характеристическое уравнение цепи.

5. Записывается решение для свободного режима с учетом количества и характера корней характеристического уравнения.

6. Определяется установившийся режим в цепи.

7. Записывается уравнение переходного процесса как сумма установившегося и свободного режимов.

8. Определяются постоянные интегрирования свободного режима.

9. Записывается в окончательном виде уравнение переходного процесса и определяются остальные искомые величины.

10. Производится анализ характера переходного процесса в цепи (графическое построение временных функций токов и напряжений).

Рассмотрим применение классического метода анализа переходных процессов на типовых схемах.