5. Включение последовательной rс-цепи

под постоянное напряжение

Исходные предпосылки. Рассматриваемый типовой вариант переходного процесса соответствует процессам при подключении к источникам постоянных ЭДС различных реальных устройств, обладающих ёмкостью. К таким устройствам, в частности, относятся конденсаторы, разомкнутые на конце кабельные линии, а также испытании электропитания с входным сопротивлением ёмкостного характера (импульсные стабилизаторы напряжения, преобразователи постоянного напряжения в постоянное и др.).

Анализ переходных процессов в таких устройствах, несмотря на их многообразие, производится на основе единой простейшей электрической схемы замещения цепи, преображенной на рис.11.9.

Рис. 11.9

Сопротивление r может являться как параметром реального резистора, так и параметром эквивалентным, учитывающим сопротивления утечки конденсатора или кабеля, сопротивления соединительных проводов и т.п.

С учетом отмеченных особенностей при рассмотрении процессов в цепи на основе её схемы замещения, изображенной на рис.11.9, далее будем говорить о «ёмкости конденсатора» и о «заряде конденсатора».

Условия задачи. Необходимо определить переходный ток заряда конденсатора и переходные напряжения на заданных активном сопротивлении r и ёмкости с цепи при условии отсутствия заряда на конденсаторе до момента его подключения к источнику питания цепи.

РЕШЕНИЕ

1. Расчетная схема замещения цепи имеет вид, изображенный на рис.11.9. Начальные условия коммутации - нулевые, т.е.:

q (0) = 0; u_C (0) = 0;

2. Система уравнений, описывающих процессы в рассматриваемой цепи, имеет вид:

(11.23)

3. Система уравнений (11.23) может быть сведена к одному неоднородному дифференциальному уравнению:

(11.24)

4. Уравнению (11.24) соответствует характеристическое сопротивление цепи rC_P +1 = 0 и его решение .

5. Свободное напряжение на ёмкости определяется на основе уравнения

Решение этого уравнения аналогичного уравнению (11.7) и имеет вид аналогично (11.12):

где А – постоянная интегрирования; τ- постоянная времени, определяемая формулой τ = r . с (11.25)

6. Установившаяся составляющая напряжения определяется, исходя из физического смысла нового установившегося режима. По окончании переходного процесса конденсатор зарядится до величины напряжения испытания питания, т.е.:

u _cy = U

7. Решение исходного уравнения (11.24) может быть записано так:

8.Постоянная интегрирования может быть найдена из начальных условий коммутации на основе второго закона коммутации (при t=0):

9. Искомое переходное напряжение на ёмкости представляет собой следующую функцию времени:

(11.26)

Переходный ток заряда в цепи:

(11.27)

где

Переходное напряжение на сопротивление r равно:

(11.28)

1

а)

0. Анализ характера переходного процесса может быть выполнен на основе графиков функций (11.26) – (11.28), изображенных на рис.11.10.

По результатам анализа можно сделать следующие выводы:

а) напряжение на ёмкости в момент коммутации скачка не имеет и монотонно нарастает по экспоненте от его значения, имевшего место до коммутации (от нуля), до установившегося значения (рис.11.10,а), следовательно, второй закон коммутации выполняется;

б) при включении ёмкости на постоянное напряжение в цепи наблюдается скачок тока (рис.11.10, б)).

Все эти особенности переходного процесса необходимо учитывать в инженерной практике.

Постоянная времени цепи с ёмкостью. Входящий в показатель степени e функций переходных напряжений и тока параметр τ имеет, как и в цепи с индуктивностью, размерность времени:

Таким образом, и в цепи с ёмкостью постоянная времени τ имеет тот же физический смысл, что и в цепи с индуктивностью.

Из соотношения (11.25) для постоянной времени τ цепи с ёмкостью следует пути желаемого воздействия на длительность переходного процесса : для сокращения времени переходного процесса необходимо уменьшать ёмкость с и (или) электрическое сопротивление цепи r, а для его увеличения – увеличивать значения этих параметров.