4. Включение последовательной rl-цепи

под постоянное напряжение

Исходные предпосылки. К рассматриваемому типовому варианту переходного процесса в последовательной RL – цепи сводится большое количество задач по подключению к источникам постоянных напряжений обмоток электрических машин и различных электромагнитных аппаратов (электромагнитных реле, индуктивных катушек и дросселей, электромагнитов, контакторов и других устройств).

Характер переходных процессов в таких цепях рассмотрен далее на примере решения одной из практических задач.

Условия задачи Электромагнит Е с известными параметрами - активным сопротивлением обмотки r и её индуктивностью L– подключается к химическому источнику постоянной ЭДС GB и напряжением на его зажимах U. Принципиальная электрическая схема цепи представлена на рис.11.7 а). До подключения цепи к источнику ток в цепи отсутствовал. Требуется определить переходный ток в цепи.

РЕШЕНИЕ

Решение задачи выполняется в соответствии с рассмотренным выше алгоритмом расчета.

1.Составляем расчетную схему замещения цепи, определяем начальные условия коммутации.

Схема замещения цепи представлена на рис. 11.7 б). Начальные условия коммутации- нулевые ( по условию), т.е. i(0)=0.

а)

Рис.11.7

2. Составляем систему уравнений, описывающих процессы в цепи:

(11.13)

3. Систему уравнений преобразуем к одному неоднородному дифференциальному уравнению:

(11.14)

4. По дифференциальному уравнению (11.14) записываем и решаем характеристическое уравнение цепи:

4. Записываем решение для свободного тока с учетом выражения (11.12) и решения характеристического уравнения:

(11.15)

4. Определяем установившийся ток в цепи i_y. Из физических соображений установившийся ток в данной цепи – это постоянный ток по окончанию переходного процесса, т.е.:

(11.16)

Для проверки подставим значения i_y в уравнение (11.14). Если при этом оно обращается в тождество, то i_y найден правильно. Имеем :

4. Записываем уравнение переходного тока как сумму установившегося и свободного тока:

. (11.17)

4. Определяем постоянную интегрирования А из начального условия коммутации на основе первого закона коммутации. Для этого уравнение (11.17) записываем для момента коммутации t=0, для которого i(0)=0 (по первому закону коммутации), т.е.:

Свободный ток (11.15) примет вид:

4. Записываем в окончательном виде уравнение переходного тока. Обозначив имеем

(11.18)

где I – максимальное значение тока; τ – постоянная времени цепи.

Переходное напряжение на резистивном элементе получаем на основе закона Ома с учетом (11.18):

(11.19)

где U – максимальное напряжение на резистивном элементе, равное напряжению на входных зажимах цепи.

Переходное напряжение на индуктивности определяется на основе третьего уровня системы (11.13) с учетом (11.18):

. (11.20)

4. Анализ характера переходного процесса может быть выполнен как непосредственно по уравнениям переходных тока и напряжений (11.18) – (11-20), так и по графикам этих функций, построенным в удобном масштабе ( рис.11.8 а),б) ).

U_L

Ur

а) б)

Рис. 11.8

По результатам анализа уравнений и графиков можно сделать следующие выводы о характере переходного процесса при подключении последовательной RL - цепи под постоянное напряжение:

а) переходный ток в цепи и переходные напряжения на её элементах изменяются по экспоненциальным законам;

б) переходный ток в цепи в момент коммутации не имеет скачка и начинает после коммутации нарастать плавно от значения, предшествовавшего непосредственно моменту коммутации, т.е. от нуля. Это означает, что первый закон коммутации выполняется;

в) в цепи наблюдается скачок напряжения на индуктивности за счет проявления индуктированной ЭДС в обмотке, пропорциональной скорости изменения тока, т.е.:

.

О длительности переходного процесса можно судить, рассмотрев предварительно очень важный параметр цепи- постоянную времени τ.

Постоянная времени цепи с индуктивностью. Единицей измерения параметра входящего в показатель степение всех функций переходных электрических величин, является секунда:

Следовательно, параметр τ по физическому смыслу является временем, зависящим от параметров цепи r и L, поэтому τ есть параметр цепи, называемый постоянной времени цепи.

Анализ графиков (рис.11.8) и функций переходных напряжений и тока (11.18) – (11.20) показывает следующее:

а) от значения τ зависят кривизна кривых и время их нарастания до установившегося значения или спадания до нуля, следовательно , от постоянной времени цепи τ зависит время переходного процесса;

б) чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходный процесс.

На практике принято считать переходный процесс законченным при :

(11.22)

При t=3 τ ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t=5 τ – более 99%.

Графически постоянную времени τ можно определить как интервал времени на оси t от t=0 до точки пересечения касательной к функции переходного напряжения на индуктивности u_L (рис. 11.8,б)). В указанный момент времени напряжение u_L уменьшается в e раз по сравнению с начальным.

Следовательно физический смысл постоянной времени цепи τ отражает следующее определение:

постоянная времени цепи есть величина, характеризующая электрическую цепь, в которой свободный ток является экспоненциальной функцией времени, равная интервалу времени, в течение которого этот ток убывает в e ≈ 2,72 раз, где e – основание натурального логарифма.

Из формулы (11.21) для постоянной времени цепи становится ясным путь желаемого воздействия переходного процесса: для сокращения времени переходного процесса нужно уменьшить τ , что достигается уменьшением индуктивности L цепи или увеличением её электрического сопротивления r.