6. Включение последовательной rс-цепи

под синусоидальное напряжение

Исходные предпосылки. В инженерной практике радиоинженеру постоянно приходится иметь дело с устройствами, обладающими ёмкостью приходится иметь дело с устройствами, обладающими ёмкостью при синусоидальных напряжениях. К ним относятся конденсаторы, телевизионные приёмники, электрические реактивные фильтры, кабельные линии электропередачи, распределительные кабельные сети и т.п., питаемые от сети переменного напряжения. Включение перечисленных устройств под синусоидальное напряжение является одной из самых распространённых операций.

Несмотря на всё многообразие перечисленных устройств, характер переходных процессов в них определяется общими закономерностями, характерными для последовательной RC–цепи, подключаемой к источнику синусоидального напряжения.

Анализ переходных процессов в таких устройствах ведется на основе единой схемы замещения, изображенной на рис.11.11.

Условия задачи. В качестве иллюстрации может быть рассмотрена предыдущая задача при условии, что напряжение сети изменяется по синусоидальному закону u = U_m . sin(ωt + ψu), а начальные условия нулевые.

РЕШЕНИЕ

1. Схема замещения цепи представлена на рис.11.11. Начальные условия нулевые, т.е. u_C(0) = 0 (по условию).

r

R

t=0

R

C

R

гu=U_m sin(ωt+ψ_u)

R

~

u_r

R

i

R

u_c

R

Рис.11.11.

1. Система уравнений цепи остается прежней (11.23), только вместо постоянных напряжений используется синусоидальное напряжение источника u = U_m . sin(ωt + ψu).

2. Система уравнений (11.23) сводится к одному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

(11.29)

3. Решение уравнения (11.29) относительно искомого переходного напряжения u_с может быть найдено через его составляющие u_cy u_{c св}:

4. Свободное напряжение на емкости u_{c св} как общее решение уравнения (11.29), имеет вид:

(11.30)

5. Установившееся напряжение на ёмкости U_cy, находим подбором функции по её физическому смыслу. Напряжение U_cy должно быть синхронизировано и иметь сдвиг по фазе относительно тока в цепи на угол π/2, т.е.:

, (11.31)

где

Подстановка функции (11.31) в уравнение (11.29) приводит к тождеству, что свидетельствует о правильном подборе этой функции.

6. Переходное напряжение на ёмкости с учетом составляющих (11.30) и (11.31) можно записать следующим образом:

7. Постоянная интегрирования определяется из последнего уравнения, записанного для момента коммутации (t=0):

откуда

8. Окончательная функция переходного напряжения на ёмкости имеет вид:

(11.32)

Соответственно переходный ток i и переходное напряжение на сопротивлении u_r можно определить и записать в следующем виде:

(11.33)

(11.34)

9. Анализ соотношений (11.32) – (11.34) показывает, что характер переходного процесса существенно зависит от начальных фаз напряжений и тока в цепи, т.е. от соотношения сопротивлений r и x_с .

Вариант 1

Переходные функции всех величин в цепи для данного варианта включения цепи имеет вид:

(11.35)

Из соотношений (11.35) следует, что при данном варианте коммутации свободных составляющих тока и напряжений не возникает и все эти характеристики сразу принимают установившиеся значения. Этот вариант соответствует начальной фазе напряжения на ёмкости, равной нулю (ψ_uc=0), когда в момент коммутации цепи напряжение на ёмкости отсутствует и нет необходимости в скачке энергии для обеспечения той же величины напряжения uc сразу же после момента коммутации. Это означает, что второй закон коммутации выполняется и при таком варианте коммутации.

Вместе с тем, в рассматриваемой цепи, как и при её напряжении к источнику постоянного напряжения, в момент коммутации наблюдается скачок тока.