книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы

193

цепную схему, а соединение всех четырехполюсников цепной схемы при соблюдении указанных условий называют х а р а к т е р и с т и ч е с к и с о г л а с о в а н - н ы м с о е д и н е н и е м.

Так как при согласовании Zk âûõ Zk âõ, то при этом можно опускать индексы, указывающие выход и вход, и писать просто Zk. Характеристические сопротивления принято отмечать дополнительным индексом c. Соответственно характеристические сопротивления k-го четырехполюсника обозначаются — на входе

Zkc и на выходе Z(k+1)c.

В дальнейшем, поскольку рассматриваемые свойства будут справедливы для любого k-го четырехполюсника, с целью упрощения индексации будем рассматривать первый четырехполюсник и, соответственно, полагать k 1 è k + 1 2.

Рассматривая отдельно первый четырехполюсник при условии согласования,

мы должны полагать его замкнутым на сопротивление нагрузки Z2c. Пользуясь
системой A-параметров четырехполюсника и учитывая, что U																				Z	2c	I	, можем
написать																			2			2
U	A U				B I				(A Z				2c		B )I				;
1	1		2			1 2				1					1			2
I	C U		2		D			I	(C Z			2c		D			)I	2	.
1	1					1		2		1					1
Разделив первое уравнение на второе, получим
						U			A Z	2c	B
	Z					1			1					1		.
		1c
						I			C Z		D
										2c					1
						1			1

В § 13.1 было сказано, что для четырехполюсника со стороны выходных зажимов уравнения остаются теми же самыми, и только À è D меняются местами. Учитывая это, а также то, что нагрузочное сопротивление теперь будет Z1 Z1c, для выходного сопротивления первого четырехполюсника получаем формулу

Z 2c D1Z1c B1 . C1Z1c A1

Решив совместно два последних уравнения, находим

Z			A1B1	; Z			D1B1	.
	1c				2c
			C1D1				C1A1

Для симметричного четырехполюсника имеем Z1c Z2c Zc B1C1 . Â ýòîì

случае характеристическое сопротивление называется п о в т о р н ы м с о п р о - т и в л е н и е м, так как, нагружая четырехполюсник на сопротивление Zc, на входе четырехполюсника будем иметь такое же сопротивление Zc. Полученные два параметра Z1c è Z2c недостаточны для описания свойств четырехполюсника, так как в общем случае четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами. Необходимо ввести еще один параметр, связывающий процессы на входе и выходе.

Определим третий характеристический параметр из соотношения

Ρ		1	ln	U1I1	.
1		2 U 2 I 2

194 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Величина Г называется м е р о й п е р е д а ч и четырехполюсника. В системе

A-параметров, определив отношенияU1												U 2 è I1			I 2 через характеристические со-
противления, путем простых преобразований можно получить
	1					B C A						B C D	1			ln						.
Ρ		ln A				1 1 1		D				1 1					A D				B C
									1									1
1	2	)	1			D1						A1			,		1				1 1
		)													,
		(													+

Для симметричных четырехполюсников вследствие равенства A D при наличии согласования имеют место соотношения:

U1

I1 Z c

U 2 I 2

B1C1

è Ρ1 ln A1

.

Поэтому U

U

I

I

eΡ1

è

1

2

1

2

Ρ ln

U1

ln

U1

ej u1 u 2 ln

U1

j(

) jΠ.

u

u

1

U 2

U 2

U 2

1

2

Величина ln U1 показывает, насколько изменяется по модулю при перехо-

U 2

де через четырехполюсник напряжение (или ток), и носит название к о э ф ф и - ц и е н т а з а т у х а н и я , так как U2/U1 I2/I1 e– . Величина Π u1 u2 показывает, насколько изменяется фаза напряжения (или тока), и носит название к о э ф ф и ц и е н т а ф а з ы. Безразмерные величины и Π измеряются: — в неперах (Íï) è Π — â радианах (ðàä). Åñëè . Нп, то это означает, что напряжение U2 меньше напряжения U1 â 2,718 ðàçà.

На практике такая единица затухания часто оказывается слишком большой,

и поэтому используется еще одна единица измерения затухания, называемая äåöè-

1

áåë (дБ). При этом надо писать 20 lg U1 . Åñëè 1 äÁ, òî U1/U2 10 20 1,12.

U 2

Очевидно, имеют место равенства:
								1 Íï 8,686 äÁ; 1 äÁ 0,115 Íï.
Òàê	êàê		eΡ1												è		A	D			– B		C			1, то легко заметить, что
						A D		1			B C								1						1
						1				1		1					1					1
e Ρ1
	A D	1			B C . Для гиперболических синуса и косинуса от аргумента Г																										1
	1			1		1
найдем
										ch Ρ					1		Ρ1			Ρ1
																		e				) A D
																	(e											1		;
										1					2											1
										sh Ρ					1		Ρ1			Ρ1
																		e				) B C ;
																	(e
										1					2											1	1
															cth Ρ						A1D1		.
																	1				B1C1

Выразим A-параметры четырехполюсника через характеристические. Не приводя достаточно простых выкладок, можно записать

Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы

195

Z1c

ch Ρ ;

B

sh Ρ ;

A =

Z

1c

Z

2c

1

Z 2c

1

1

1

C =

1

sh Ρ ; D

Z 2c

ch Ρ .

1

Z1c Z

2c

1

1

Z1c

1

В частности, уравнения симметричного четырехполюсника в системе A-ïàðà-

метров можно записать в виде

U

U

ch Ρ I

Z

sh Ρ

; I

U

sh Ρ1

I

ch Ρ .

1

2

1

2

c

1

1

2 Z c

2

1

Наиболее простые выражения для характеристических сопротивлений можно получить, если выразить их через параметры холостого хода и короткого замыкания. Учитывая, что A1/C1 Z10; B1/D1 Z1ê; D1/C1 Z20 è B1/A1 Z2ê, имеем

	Z1c		Z10 Z1ê			;	Z 2c	Z 20 Z 2ê		;
th Ρ		Z1ê			Z 2ê		; sh Ρ		Z1ê		.
1		Z10			Z 20		1		Z10 Z1ê

Замещая симметричное звено эквивалент-

ной Т- или П-образной схемой, введем для па-

раметров этих схем обозначения, показанные

íà ðèñ. 14.2, отличающие от ранее принятых, но

более удобные для цепных схем и фильтров.

При этом характеристические параметры запи-

Ðèñ. 14.2

шутся через параметры эквивалентных схем

â âèäå:

для Т-схемы

Z

1

Z

Z

2

Z 2

4

Z

Z

Z

Z

1

; th Ρ

1

1

;

c

c ò

2

1

4Z 2

1

Z1

2 Z 2

для П-схемы

Z

2

4

Z c ï

Z

Z

2

; th Ρ1

Z

Z

2

Z c

1

1

1

.

2 Z 2

Z1 (4Z 2 )

Z1

1

14.2. Передаточные функции согласованных цепных схем

В предыдущем параграфе мы дали определение цепных схем как последовательности каскадно соединенных четырехполюсников. При наличии характеристи- ческого согласования легко определить передаточные функции по напряжению и по току, если имеются характеристические параметры отдельных звеньев. Из определения меры передачи при характеристическом согласовании (см. рис. 14.1) для входящего в каскад k-гo четырехполюсника имеем

U k I k e2Ρk ; U k I k Z kc ; U k 1 I k 1Z k 1, c ,

U k 1I k 1

196 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

и, следовательно, передаточные функции по напряжению и току k-ro звена будут

k

U

Z k 1, c

Ρ

K

k 1

e

k ,

U

U k

Z kc

K

k

I k 1

Z kc

eΡk .

I

I

Z

k

k

1, c

Передаточные функции всей цепной схемы будут

n

U

1

2

n

Z n 1, c

Ρk

K

n 1

K

K

K

e k 1

;

U

U1

U

U

U

Z1c

n

I n 1

Ρk

K

1 K 2 K

n

Z

1c

K

e k 1 .

I

I

I

I

I

Z

1

n 1, c

Äëÿ однородной цепной схемы, составленной из одинаковых симметричных звеньев, имеем

K		K		e	nΡ	,
	U		I		1

òàê êàê ïðè ýòîì Zn+1, c Z1c è Ã1 Ã2 ... Ãn.

14.3. Электрические фильтры

Четырехполюсники, частотные характеристики передаточных функций которых имеют резко выраженную избирательность для отдельных частот или полос частот, называют ч а с т о т н ы м и э л е к т р и ч е с к и м и ф и л ьт р а м и или, просто, э л е к т р и ч е с к и м и ф и л ьт р а м и. Правильно сконструированный фильтр должен пропускать к приемнику сигналы практически без изменения их амплитуды в некотором диапазоне частот, называемом п о л о с о й п р о п у с к а - н и я или з о н о й п р о з р а ч н о с т и, и не пропускать сигналы, частоты которых лежат вне полосы пропускания, т. е. находятся в так называемой п о л о с е з а - д е р ж и в а н и я. По виду полосы пропускания различают: ф и л ьт р ы н и ж - н и х ч а с т о т , полоса пропускания которых лежит в диапазоне от 0 до

ñ; ф и л ьт р ы в е р х н и х ч а с т о т , полоса пропускания которых находится в диапазоне от ñ до ; п о л о с о в ы е ф и л ьт р ы , полоса пропускания которых лежит в диапазоне от = 1 äî = 2 и, наконец, з а г р а ж д а ю -

щ и е ф и л ьт р ы, полоса пропускания которых находится в диапазоне от 0 до 1 è îò 2 до . Фильтры последнего типа не пропускают сигналы, частоты которых лежат в диапазоне от 1 äî 2.

Вышеприведенная классификация фильтров не единственная, так как фильтры можно также классифицировать по характеру их элементов. Элементом в теории фильтров называют каждую индуктивную катушку, каждый конденсатор, каждый резистор или другие определяющие процесс детали, из которых собирается фильтр. В зависимости от вида элементов фильтры разделяются на следующие типы: р е а к т и в н ы е, состоящие из реактивных катушек и конденсаторов;

Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы

197

б е з ы н д у к ц и о н н ы е, состоящие из конденсаторов и резисторов; п ь е з о -

ýл е к т р и ч е с к и е, состоящие главным образом из кварцевых пластин, и др. Классификация может быть осуществлена также по способу соединения эле-

ментов и по числу отдельных звеньев.

Далее рассмотрим фильтры, состоящие из реактивных элементов, собранных в цепные схемы. При этом сможем использовать соотношения, полученные в предыдущих главах, содержащих теорию четырехполюсников.

Воспользуемся характеристическими параметрами четырехполюсников для выработки некоторых общих положений, которым должны удовлетворять фильтры. Наиболее простой путь получения желаемой частотной характеристики передаточной функции заключается в том, что фильтр разделяется на отдельные четырехполюсники, которые соединяются между собой в виде характеристически согласованных цепных схем. При этом коэффициент затухания ( ) всей цепной схемы получается как сумма коэффициентов затухания отдельных четырехполюсников — отдельных звеньев. Наиболее простые выражения полу- чаются для меры передачи Г при характеристическом согласовании всей цепной схемы между ее звеньями и с сопротивлениями источника и приемника. Однако точное согласование возможно только для определенной частоты. Насколько это практически выполнимо в диапазоне частот, будет изложено в следующих параграфах. Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять элементы реактивного фильтра, чтобы в полосе пропускания было наименьшее искажение сигнала. В идеальном случае мы должны обеспечить нулевое затухание сигнала ( 0). Действительно, при полном характеристическом согласовании

		U âõ	e jΠ èëè	ln	U âõ		.
	U				U	âûõ
âûõ
При 0 имеем Uâûõ Uâõ.
Для меры передачи всей цепной схемы получаем
th Ρ th( jΠ	sh ch + jsinΠcosΠ					sh2		j	sin2Π	.
					ch2 cos2Π				ch2 cos2Π
		sh2 cos2 Π

Равенство 0 означает, что th Г является мнимой величиной. Но для th Г имеем еще выражение:

th Ρ th( jΠ)			Z1ê
			Z10
è ïðè 0
th Ρ j tg Π		Z1ê		.
		Z10

Отсюда вытекает, что отношение Z1ê /Z10 должно быть величиной отрицательной. Если имеем частотные зависимости Z1ê è Z10 для цепи, состоящей только из реактивных элементов, то, пользуясь ими, можем сразу же указать полосы пропускания и полосы задерживания. Например, для цепи, показанной на рис. 14.3, частотные зависимости Z1ê è Z10, которые были рассмотрены в § 6.3, 6.6, приведены на рис. 14.4.

198 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

	Из рисунка видно, что для данной схемы при
	сопротивлении нагрузки, равном Z2c, и сопротивле-
	нии источника Z1c имеются две полосы пропускания
	(2 è 4), когда x10 è x1ê имеют разные знаки, и три по-
	лосы задерживания (1, 3 è 5), когда x10 è x1ê имеют
	одинаковые знаки.
	Нетрудно заметить, что в полосе пропускания ко-
	эффициент фазы Π меняется, а в полосе задерживания
	он остается неизменным. Действительно, в полосе за-
Ðèñ. 14.3	держивания знаки x10 è x1ê одинаковы, и поэтому
	th à — вещественная величина, т. е. sin Π · cos Π 0,

è åñëè 0, òî Π 0, #2, #, 3#2, /#, 5 #2, Σ#...

На рис. 14.4 показана зависимость ( ) для рассматриваемой цепи (рис. 14.3).

		Желательная частотная характеристика, которая
		в идеальном случае должна иметь диапазоны частот
		с нулевым затуханием и диапазоны частот с беско-
		нечно большим затуханием, недостижима даже при
		полном согласовании звена из реактивных элемен-
		тов с источником и нагрузкой. Как видно из рис. 14.4,
		коэффициент затухания в полосах задерживания не
		равен бесконечности. С целью получения больших
	Ðèñ. 14.4	значений коэффициентов затухания фильтр состав-
		ляют из нескольких таких звеньев, соединенных кас-

кадно, так как при этом при наличии характеристического согласования коэффициенты затухания отдельных звеньев суммируются.

Кроме того, трудность получения желаемых характеристик заключается еще и в том, что для полного согласования в диапазоне частот сопротивления приемника и генератора должны изменяться с изменением частоты по такому же закону, как и характеристические сопротивления

фильтра. Последнее трудно осуществимо. Рассмотрим простейшие звенья, из кото-

рых можно получить составные многозвенные фильтры.

		В § 13.2 было показано, что минимальное
		число ветвей эквивалентной схемы четырех-
		полюсника в общем случае равно трем. По-
		этому простейшей эквивалентной схемой
	Ðèñ. 14.5	звена являются эквивалентные Т-образные и
		П-образные схемы. Однако эти схемы, в свою

очередь, можно представить в виде каскадного соединения двух еще более простых Г-образных схем (рис. 14.5).

Таким образом, исследование и конструирование сложных многозвенных фильтров при характеристическом согласовании сводится к исследованию про-

Ðèñ. 14.8

Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы

199

стейших Г-, П- и Т-образных звеньев, причем каждая ветвь этих звеньев, в свою очередь, может содержать несколько элементов. Для таких схем характеристиче- ские параметры можно определить особенно просто. Например, для Г-образной схемы (рис. 14.6) характеристическое сопро-

тивление со стороны «П-входа», обозначаемое Zc ï, определится просто:

Z1Z 2

(Z1Z 2 )12

Z c ï Z10 Z1ê

2Z

2

2Z 2 Z1

2

[1 Z1 (4Z

1 .

2 )] 2

Ðèñ. 14.6

Характеристическое сопротивление со стороны «Т-входа», обозначаемое Zc ò, определится в виде

																																			12
					Z		1								Z		1		Z						1					Z	1
Z									2Z													Z			2			1						.
	c ò											2											2
					2									2					1											4Z 2
Для меры передачи имеем формулу
																																				Z12
th Ρ th( jΠ)						Z ïê								Z òê									Z1		2															.
						Z		ï0						Z		ò0					2Z		2	Z			1	2					4(Z Z			2	Z 2		4)
																																			1			1

Ðèñ. 14.7

Г-образные звенья используются для согласования сопротивлений нагрузки (Zïð) и источника (Zèñò) и согласования Т- и П-образных звеньев между собой. Пример сложного составного фильтра приведен на рис. 14.7.

14.4. Электрические фильтры нижних частот типа k

В предыдущем параграфе для характеристических параметров мы получили выражения, куда входит произведение Z1Z2. Расчет существенно облегчается, если Z1Z2 — величина положительная, не зависящая от частоты, и вещественная, т. е. Z1Z2 k R02 . Фильтры, где есть это условие, называют ф и л ьт р а м и т и п а k.

Если рассмотреть Г-схему (см. рис. 14.6), то очевидные физические соображения подскажут, что при достаточно больших частотах напряжение U2 будет при заданном U1 мало в том случае, если на выходе

(в ветвь Z2) включен конденсатор, так как при этом с

ростом частоты величина Z2 будет стремиться к нулю. Ток в приемнике с ростом частоты будет тем меньше, чем больше сопротивление Z1 при высоких частотах, т. е. если Z1 является индуктивным сопротивлением. Таким образом, Г-образная схема, пока-

200 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

занная на рис. 14.8, пропускает низкие частоты и задерживает высокие. Для этой схемы имеем

Z	Z		j	L		1		L	R2 .
		2
1			2			j C 2		C	0

Для Т- и П-схем это условие обеспечивается, если сопротивления Z1 è Z2 взяты равными: Z1 j L è Z2 1/(j C). Характеристические сопротивления Г-схе- мы (см. рис. 14.6) со стороны «Т- и П-входов» и характеристические сопротивления симметричных Т- и П-схем (см. рис. 14.2) в данном случае равны, соответственно (см. § 14.1 и 14.3):

Z

R

1

Z1

R

1

j L

R

c ò

0

0

0

4Z 2

4 ( j C)

Z c ï

R0

R0

Z1 (4Z 2 )

1 2 LC 4

1

1 2 LC ;

4

.

Мера передачи Г-образной схемы определится из формулы

	th Ρ		2 L2			.
			4(R2	2 L2	4)
			0

В предыдущем параграфе мы отметили, что 0, если th Г — мнимая вели- чина, что имеет место, если R02 2 L24 8 0, т. е. в пределах частот от 0 до

ñ 2R0/L. При частотах выше ñ величина th Г является вещественной, и поэтому 0. Зависимости затухания и отношения U2/U1 от частоты в идеальном случае полного согласования приведены на рис. 14.9, à, á. Нетрудно видеть, что для Т- и П-образных схем величина ñ будет такой же, как и для Г-образной схемы, но величина ( ) для них будет в два раза больше (штриховая кривая на рис. 14.9, à).

Ðèñ. 14.9

Здесь необходимо отметить, что условие характеристического согласования требует, чтобы приемник и генератор обладали сопротивлениями, равными либо Zc ò, ëèáî Zc ï (смотря, какова схема), т. е. их частотные характеристики должны иметь вид, показанный на рис. 14.10.

В тех случаях, когда сопротивления приемника rïð и генератора r1 являются постоянными величинами, их согласование производится с сопротивлениями Zc ò è Zc ï при низких частотах. Как видно из приведеííûх формул, при 0 имеем Zcò R0 è Zc ï R0. Поэтому величина R0 LC должна быть принята

Ðèñ. 14.10

Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы

201

равной сопротивлению rïð приемника. Этой же величине R0 rïð необходимо сделать равным и сопротивление генератора r1. Кроме тоãî, îбычно задана частота среза ñ,

равная			2R0	2	1	. Из этих условий определяют-
	ñ
			L		LC

ся значения L è C Г-образного звена. При согласовании только на самых низких частотах реальная частотная характеристика (штриховая кривая на рис. 14.9, á) рассматриваемого звена будет отличаться от частотной характеристики (сплошная кривая на рис. 14.9, á) â èäå-

альном случае полного согласования во всем диапазоне частот. Число звеньев выбирают, исходя из условия получения желаемого коэффициента затухания.

14.5. Электрические фильтры нижних частот типа m

Электрические фильтры типа k имеют тот недостаток, что для получения большой крутизны роста () в полосе задерживания необходимо применять соединение многих звеньев. Кроме того, характеристические сопротивления этих фильтров сильно меняются в полосе пропускания, что приводит к усложнению условий согласования, а при согласовании сопротивлений нагрузки и источника только при нулевой частоте — и к появлению затухания в полосе пропускания (см. рис. 14.9). Фильтры типа m не обладают этими недостатками. Как и прежде, весь ход рассуждений проведем для Г-образного звена фильтра нижних частот. Простые физические соображения помогают указать на два способа увеличения скорости роста ( ) в полосе задерживания. При первом из них в плече Z2 осуществляется резонанс напряжений при частоте > ñ, вследствие чего плечо при этой частоте окажется короткозамкнутым (Z2 = 0 è U2 = 0). Поэтому при частоте получим = . Г-образное звено (рис. 14.11, á), основанное на этом принципе, и фильтр, составленный из таких звеньев, носят название п о с л е д о - в а т е л ь н о - п р о и з в о д н ы х. Второй способ основан на том, что в плече Z1 осуществляется резонанс токов при частоте > ñ. Тогда при частоте имеем= , так как Z1 = è U2 = 0. Г-образное звено, изображенное на рис. 14.11, â, а также и фильтр, составленный из таких звеньев, называют п а р а л л е л ь н о - п р о и з в о д н ы м и. Термины «параллельно-производный» и «последователь- но-производный» показывают, что звенья типа m íà ðèñ. 14.11, á è â являются производными от звена типа k íà ðèñ. 14.11, à, называемого п р о т о т и п о м. Выбор частоты — частоты пика затухания — определяется по условиям задачи, т. е. из желаемой скорости роста ( ).

Ðèñ. 14.11

202 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Подчиним выбор параметров фильтра типа m условиям хорошего согласования его с постоянным сопротивлением и звеном фильтра типа k.

Пусть задано число

m 1 2c 2 ,

ãäå

2	1	è c2	1	.
	LC
			L0C0

Здесь ñ — частота среза прототипа — фильтра типа k (ðèñ. 14.11, à); — частота пика затухания фильтра типа m (ðèñ. 14.11, á, â). Нетрудно убедиться, что, связав параметры элементов последовательно-производного звена (рис. 14.11, á) с параметрами элементов прототипа (рис. 14.11, à) соотношениями

L mL	;	C mC		è L			1 m2	L	,
			0		x
0							m	0

получим равенство характеристического сопротивления Zñ ò m звена типа m со стороны «Т-входа» и соответствующего сопротивления Zñ ò прототипа:

Z cò m Z cò .

При этом характеристическое сопротивление звена типа m со стороны «П-входа» определится через соответствующее сопротивление прототипа в виде

Z		Z	1	2 (1 m2 )	.
	cïm
			cï )	c2	,
			(		+

Определив параметры элементов параллельно-производного звена (рис. 14.11, â) из соотношений

L mL

;

C mC

è

C

1 m2

C

,

0

x

0

m

0

получим

Z cò

Z cïm Z cï è Z còm

.

1

2

(1 m2 )

2

c

Зависимости Zc ï m è Zc ò m от частоты для различных m приведены на рис. 14.12 и 14.13.

Ðèñ. 14.12

Ðèñ. 14.13

Ðèñ. 14.14