книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

313

17.1. Расчет установившихся режимов длинной линии

ВОПРОСЫ

1. (О) К входу воздушной линии длиной 3 км приложено напряжение: à) u Um sin 2#50t; á) u Um sin 2#105t (при использовании линии в качестве канала высокочастотной связи); â) изображенное на рис. B17.1 вида (грозовой импульс). В каком случае при анализе электромагнитных

процессов в линии ее можно рассматривать как цепь с со- Ðèñ. B17.1 средоточенными параметрами?

2.Вследствие каких физических явлений параметры r, L, C, g длинной линии могут зависеть от частоты?

3.Являются ли сопротивление r и проводимость g на единицу длины линии взаимно обратными величинами?

4.Чему равен ток, ответвляющийся от одного провода к другому на отрезке линии длиной dx, если ток в линии не изменяется от времени?

5.Какова размерность коэффициентов: à) затухания , á) ôàçû Π, â) распространения Ξ?

6.Чему равно входное сопротивление линии, замкнутой на приемник, сопротивление которого равно волновому сопротивлению линии?

7.Каким должно быть сопротивление приемника, чтобы коэффициенты отражения напряжения qu è òîêà qi были равными?

8.При каких значениях Zïð коэффициент отражения напряжения qu достигает максимального (минимального) значения, если волновое сопротивление Z линии и сопротивление Zïð приемника активные?

9.Зависит ли длина волны напряжения (тока) в линии от параметров линии?

10.Могут ли величины qu è qi быть мнимыми?

11.Равны ли друг другу фазовая скорость и скорость распространения волны напряжения и тока вдоль линии?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Определите параметры Т- и П-образных эквивалентных схем двухпроводной линии при установившемся синусоидальном режиме.

2.(Р) По известным A-параметрам четырехполюсника, эквивалентного линии в установившемся синусоидальном режиме, определите меру передачи, коэффициент затухания и коэффициент фазы четырехполюсника. Сопоставьте полу- ченные выражения с выражениями для коэффициента распространения, коэффициента затухания, коэффициента фазы линии.

3.(О) Напряжение U1 è òîê I1 в точке с координатой x x1 линии длиной l èç-

вестны. Запишите выражения для напряжения U 2 è òîêà I 2 в точке с координатой x x2 линии для приведенных в таблице значений x1 è x2.

314 Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

Вариант	à	á	â	ã	ä	å
x1	0	l	l/2	0	l	l/2
x2	l	0	0	l/2	l/2	l

4.Определите длину l линии, у которой сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями составляет #/4, #/2, #, 2#, åñëè 0, Π 5 10–4 рад/км и линия: à) замкнута на волновое сопротивление, á) работает в режиме холостого хода.

5.Линия без потерь замкнута на сопротивление, равное ее волновому сопротив-

лению. Найдите зависимость Ux/U1 от координаты x, отсчитываемой от начала линии (U1 è Ux — действующие значения напряжения, соответственно, в начале линии и в точке линии с координатой x).

6.(О) Получите соотношение между параметрами r, L, g, C линии, при котором волновое сопротивление линии: à) активное; á) имеет индуктивный (емкостный) характер.

7.На входе линии длиной l Χ 170 км действует напряжение u1(t) Um sin t. Линия замкнута на волновое сопротивление. Постройте кривые распределения

напряжения вдîль линии для моментов времени t Χ/4v, Χ/2v, 3Χ/4v, Χ/v. Примите Um 2202 Â, 1,4 10–2 Íï/êì, Π 3,6 10–2 ðàä/êì.

8. (О) Параметры линии имеют значения r 4 Îì/êì, g 5 10–8 Ñì/êì, C 5 10–10 Ф/км. Определите индуктивность линии длиной l 1 км, если известно, что ее волновое сопротивление не зависит от частоты.

9.(О) На входе однородной линии длиной l 1 км действует источник постоянного

напряжения U1 100 кВ, при этом ток в начале линии I 250 А. Линия замкнута на волновое сопротивление. Параметры линии r 0,2 Îì/êì, g 5 10–6 См/км. Постройте кривые распределения напряжения и тока вдоль линии.

10.(О) Используя систему телеграфных уравнений, изобразите одно звено цепной схемы, эквивалентирующей: à) двухпроводную линию; á) трехфазную линию.

11.Определите частоту среза ñ для одного звена цепной схемы, моделирующей линию без потерь (r 0, g 0). Заданы индуктивность L и емкость C на единицу длины, длина линии l и число звеньев m цепной схемы.

12.(Р) Изображенная на рис. В17.2 схема эквивалентна участ-

ку линии. Определите длину этого участка при известных скорости распространения волны по линии и значениях L ý è Cý.

13. Каждое Т-образное звено цепной схемы, моделирующей

линию длиной l 1 м, собрано из катушек индуктивностью Ðèñ. B17.2

L 30 мкГ и конденсатора емкостью 240 пФ. Определите сдвиг по фазе между напряжениями на входе и выходе одного звена линии (f 1 ÌÃö).

14. (О) Найдите сопротивление Zïð приемника, на которое замкнута линия с волновым сопротивлением Z, если известны прямые и отраженные волны напряжения и тока в конце линии, приведенные в таблице.

Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

315

Вариант	U ! , êÂ	I ! , êÀ	U , êÂ	I , êÀ	Z, Îì
1		2 + j		2 + j
2	3 – j		–3 + j
3	1 – 3j			1 + j2	1 + j
4		2 – j	3 – j		–1,4 – j0,2
5		–2 – j		2 + j
6	3 – j		3 – j
7	–1 + j3		1 + j2		1 + j
8		2 – j	3 + j		1 + j
9	3 + j			0	2 – j
10		1 + j	0		2 + j
11	1			–1	1 + j
12		j	1 + j		–j

15. (О) Линия без потерь (r 0, g 0) состоит из трех участков (рис. В17.3). В конце каждого участка включен резистор сопротивлением r. Найдите волновое сопротивле-

ние каждого из участков линии, если из- Ðèñ. B17.3 вестно, что отраженные волны в линии отсутствуют.

16. Линия с волновым сопротивлением Z 50 Ом замкнута на сопротивление Zïð (50 + j100) Ом. Определите модуль и аргумент коэффициентов отражения напряжения и тока.

17.2. Неискажающая длинная линия

ВОПРОСЫ

1.Зависит ли волновое сопротивление однородной неискажающей линии от сопротивления r проводов на единицу ее длины?

2.У двух неискажающих кабельных линий параметры r è g одинаковы, а индуктивности L различаются в два раза. Во сколько раз различаются фазовые скорости волн в этих линиях?

3.Являются ли линии без потерь (r 0, g 0) неискажающими?

4.Диэлектрические проницаемости вещества изоляции двух неискажающих кабельных линий одинакового исполнения связаны соотношением Υ1 > Υ2. Êàê ñî-

относятся величины Z1 è Z2, Χ1 è Χ2, Π1 è Π2, 1 è 2 этих линий?

316 Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

ЗАДАЧИ

1.(Р) Неискажающая линия длиной l 100 км характеризуется параметрами r 0,2 Îì/êì, g 5 10–6 См/км. Рассчитайте требуемый коэффициент усиления напряжения устройства на конце линии, обеспечивающего одинаковые уровни напряжения на входе и на выходе линии.

2.(Р) Рассчитайте индуктивность катушек, при включении которых через каждый километр линии связи с параметрами r 2,5 Îì/êì, g 10–6 Ñì/êì, L 2 10–3 Ãí/êì, C 8 10–9 Ф/км, она становится неискажающей.

17.3. Режимы холостого хода и короткого замыкания длинной линии

ВОПРОСЫ

1. (О) Зависят ли сопротивления на входе линии в режимах холостого хода Z0 и короткого замыкания Zê от частоты напряжения, на которой проводятся опыты по их определению?

2. В некоторой точке x неискажающей линии определены величины à) U ! ;

I !

á) U ; â) U . Остаются ли эти величины неизменными в различных точках ли-

I I

íèè?

3.(О) Каковы параметры линии, у которой синусоидальный ток в начале линии в режиме короткого замыкания приемника равен нулю?

4.Синусоидальный ток в конце линии при x l Χ в режиме холостого хода равен нулю. Существуют ли другие значения x, при которых ток равен нулю: à) в некоторые моменты времени; á) в любой момент времени?

5.(О) Какой должна быть длина линии без потерь с параметрами L 2 10–3 Ãí/êì,

C 8 10–9 Ф/км, чтобы на частоте f 1 МГц входное сопротивление Z0 линии при холостом ходе (или входное сопротивление Zê короткозамкнутой линии): à) было равно нулю; á) было равно бесконечности; â) имело емкостный (индуктивный) характер?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (О) К началу линии (длина линии l, Ξ + jΠ, Z zej!) приложено синусоидальное напряжение u1(t) Um sin t. Найдите напряжение u2(t) è òîê i2(t) в конце линии, а также ток на входе линии i1(t) при нагрузке линии, равной волновому сопротивлению z линии. Постройте кривые распределения по линии мгновенных значений напряжения для моментов времени t 0; #/4 ; #/2 ; #/ . Как изменятся напряжение и ток в приемнике, если длину линии уменьшить вдвое? Изменятся ли при этом активные мощности: отдаваемая источником и потребляемая приемником?

2. (Р) К короткозамкнутому отрезку линии длиной l 1 м с волновым сопротивлением Z 200 Ом приложено синусоидальное напряжение u(t) 100sin t,

Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

317

f 50 МГц. Определите мгновенное значение тока в конце линии, принимая скорость распространения волн в линии равной v 3 108 ì/ñ.

3.Разомкнутый на конце отрезок двухпроводной линии длиной l 3 м и волновым сопротивлением Z 450 Ом подключен к синусоидальному напряжению

амплитудой Um 200 В и частотой f 50 МГц. Рассчитайте амплитуду напряжения на конце линии и амплитуду тока на входе линии.

4.(О) К входу линии без потерь с параметрами L 2 10–3 Ãí/êì, C 8 10–9 Ô/êì

и длиной l 100 км приложено напряжение u1(t) 500 sin t, f 4 кГц. Рассчи- тайте волновое сопротивление Z линии, фазовую скорость, длину волны Χ. Найдите мгновенные значения напряжения u2(t) è òîêà i2(t) в нагрузке линии, при-

нимая, что линия замкнута на сопротивление Zïð , причем: à) Zïð Z; á) Zïð ; â) Zïð 0.

Как изменится амплитуда напряжения в конце линии при изменении частоты напряжения на 10 % при различных значениях сопротивления приемника?

5. Линия (фидер) с волновым сопротивлением 100 Ом соединяет источник синусоидального напряжения частотой 500 МГц с приемником r 36 Ом. Рас- считайте характеристическое сопротивление и длину четвертьволнового отрезка линии, с помощью которого фидер может быть согласован с приемником (скорость распространения волны v 3 105 êì/ñ).

18.1. Переходные процессы в одной длинной линии

ВОПРОСЫ

1.Каким условиям должна отвечать линия, чтобы форма волн напряжения и тока в ней не изменялась и была одной и той же в любой момент времени?

2.Возникает ли переходный процесс в линии при мгновенном изменении ее нагрузки r?

3.В некоторой точке двухпроводной линии передачи происходит замыкание проводов. Будут ли распространяться волны напряжения и тока от места короткого замыкания к началу и концу линии?

4.Почему представляет интерес изучение переходных процессов в длинных линиях при действии в них постоянных напряжений?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Получите дифференциальное уравнение для операторного изображения напряжения U(p, x) в длинной линии при ненулевых начальных условиях.

2.(О) На рис. В18.1 изображены напряжение u!(x, t1) прямой волны и ток i x, t2) обратной волны вдоль линии без потерь длиной l. Постройте ток i!(x, t1) прямой волны и напряжение u x, t2) обратной волны вдоль линии.

3.К линии без потерь приложено напряжение u 200 e 103 t кВ. Запишите выражения u(x), i(x) и постройте эти зависимости при t 0,3 10–3 с, принимая длину линии равной 300 км, ее волновое сопротивление z 400 Ом, скорость распространения волн v 3 105 км/c, начальные условия нулевыми: u(x, 0), i(x, 0) 0.

318 Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

Ðèñ. Â18.1

4. (О) Рассчитайте энергию электрического и магнитного полей в линии без потерь с параметрами L 2 ìÃí/êì, Ñ 6 10–9 Ф/км, длиной l 150 км после подключения к ней: à) постоянного напряжения u 100 êÂ; á) импульса напряжения u 100 e 103 t кВ для момента времени, когда волна напряжения проходит расстояние, равное 3/4 длины линии.

18.2. Переходные процессы при соединении нескольких длинных линий

ВОПРОСЫ

1. (О) При каких соотношениях между волновыми сопротивлениями z1 è z2 двух соединенных линий в точке их сопряжения справедливы равенства: à) | u 1| u!2; á) | i 1 | i!2; â) p 1 0; ã) u1 u2 1,5u!1; ä) i1 i2 1,5i!1?

2.При каких волновых сопротивлениях двух линий коэффициенты преломления и отражения принимают предельные значения?

3.(О) Может ли мощность p!2 преломленной волны превышать мощность p!1 падающей волны?

4.Какие соотношения возможны между мощностями p 1 отраженной и p!2 преломленной волн?

5.Могут ли в месте сопряжения двух однородных линий выполняться неравенства: à) u!2 < 0; á) i!2 < 0; â) u 1 < 0, i 1 < 0?

6.На рис. В18.2 изображено сопряжение двух и четырех однородных линий. При каком соотношении между волновыми сопротивлениями линий процессы в первой линии в обоих случаях будут одинаковыми?

Ðèñ. Â18.2

7. Почему именно первые витки обмоток трансформаторов выполняют с усиленной изоляцией? Как изменится фронт волны перенапряжения при прохождении первых витков обмоток трансформаторов?

Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

319

Ðèñ. Â18.3

8. Выразите напряжение uL è òîê iC реактивных элементов, включенных в месте

сопряжения двух однородных линий (рис. В18.3), через известные величины u!1, u 1, u!2, i!1, i 1, i!2. Покажите величины uL , iC на рисунке.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Покажите, что напряжение (ток) преломленной волны не может быть больше удвоенного значения падающей волны напряжения (тока).

2.(Р) Чему равно сопротивление r0 в месте соединения двух длинных однородных линий (рис. В18.4), если известно, что u!2 u!1? Определите величину отношения p/p!1 для этого случая (здесь ð — мощность, выделяемая в сопротивлении r0). Почему при ограничении перенапряжений с помощью сопротивления более опасен случай, когда z1 < z2? Как изменится мощность в резисторе r0 в установившемся режиме, если параллельно с ним включить катушку индуктивности?

Ðèñ. Â18.4

Ðèñ. Â18.5

3.(Р) В месте соединения двух однородных линий включен резистор (рис. В18.5).

При каком сопротивлении резистора справедливо равенство i!2 i!1? Чему при этом равно отношение p/p 1? (Здесь ð — мощность, выделяемая в сопротивлении r0.) Как изменится мощность в резисторе в установившемся режиме, если последовательно с ним включить конденсатор?

4.(Р) Получите выражения для отраженных и преломленных волн напряжения и тока в месте сопряжения изображенных на рис. В18.6 однородных линий, принимая их волновые сопротивления равными.

320 Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

Ðèñ. Â18.6

Ðèñ. Â18.7

5. (Р) Между двумя неискажающими линиями без потерь (z1 400 Îì, l1 100 êì, z2 50 Îì, l2 50 км) (рис. В18.7) включена электрическая цепь, схема которой приведена на рис. В18.8. Ко входу первой линии подключают напряжение u (рис. В18.9). Получите выражения для отраженной и преломленной волн напряжения и тока и постройте распределение напряжений и токов вдоль линии для момента времени, когда преломленные волны достигнут середины второй линии, считая, что в момент подключения напряжения токи и напряжения во всех точках обеих линий равны нулю.

Ðèñ. Â18.8

Ðèñ. Â18.9

Примечание. На рис. В18.8 значения сопротивлений указаны в омах, емкостей конденсаторов — в микрофарадах, индуктивностей катушек — в миллигенри. Скорость распространения волн в первой линии v1 3 105 км/c, во второй — 2 105 êì/c.

18.3. Отражение волн от конца длинной линии

ВОПРОСЫ

1. (О) Какую цепь следует присоединить к оконечным зажимам линии, чтобы при приложении к ней постоянного напряжения отраженные волны напряжения

Ðèñ. Â18.10

Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

321

и тока отсутствовали: à) в любой момент времени переходного процесса; á) только в момент времени, когда волны напряжения и тока достигают конца линии?

2. (О) Линия замкнута на цепь с параллельно соединенными участками r, L. Можно ли выбрать значение r таким, чтобы в конце линии в момент времени, когда волны напряжения и тока достигают конца линии, выполнялось равенство: à) u 0; á) u 3u!; â) u 0,5u!; ã) u 1,5u!; ä) i –0,5i!; å) i –i!?

3. (О) Линия замкнута на цепь с последовательно соединенными участками rC. Можно ли подобрать значение r таким, чтобы в конце линии в момент достижения волнами напряжения и тока конца линии выполнялось равенство: à) i 0; á) i 5i!; â) i 1,5i!; ã) i –0,5i!; ä) u –u!; å) u 0,5u!?

4. Линия замкнута на цепь, содержащую параллельно соединенные участки r, L. Как изменяется (уменьшается или увеличивается) с течением времени напряжение на этой r, L цепи после того, как волны напряжения и тока достигают конца линии?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (О) На входе 1–1 разомкнутой линии без потерь длиной l, изображенной на рис. В18.10, à, действует импульс напряжения U0(t) длительностью T l/v (ðèñ. Â18.10, á), ãäå v — скорость распространения напряжения в линии. Изобразите зависимости: à) напряжения u(t) è òîêà i(t)

в точке с координатой x 0,5l; á) напряжения u(x) è òîêà i(x) в моменты времени t 0,5T; t T; t 1,5T; t 2T.

2.Изобразите эквивалентную схему для определения напряжения и тока в конце линии, когда линия замкнута на пассивный двухполюсник.

3.В результате расчета переходного процесса в эквивалентной схеме определе-

			e	t			U 0	e	t
	ны напряжение u (t) U	0		è òîê i		(t)			в конце линии (рассматриваем
							z

линию без потерь). Запишите выражения для напряжения u(x) è òîêà i(x) в линии в момент времени, когда отраженные от конца линии волны пройдут расстояние 0,5l, ãäå l — длина линии. Напряжение на входе линии — постоянное.

4.(Р) Длинную однородную линию, замкнутую на à) катушку индуктивности

èëè á) конденсатор, подключают под постоянное напряжение U0. Запишите выражения для отраженных волн напряжения и тока как функцию координаты õ, отсчитываемой от конца линии, для момента времени, когда они пройдут рас-

стояние l1 < l (волновое сопротивление линии равно z, скорость распространения волн напряжения и тока равна v).

5.(О) Постройте качественные кривые зависимостей

напряжения u(x) è òîêà i(x) в линии без потерь, изо-
браженной на рис. В18.11, для момента времени, когда
волны, отразившись от конца линии и далее от ее нача-
ла, пройдут половину длины линии (E const).	Ðèñ. Â18.11

322 Вопросы, упражнения и задачи к главам 15–18

6. (О) Изобразите зависимости напряжения u2(t) в конце и u1(t) в середине линии без потерь, показанной на рис. В18.12, при à) r0 0, r1 0; á) r0 0,

r1 ; â) r0 z/2, r1 0; ã) r0 z/2, r1 , ãäå z — волновое сопротивление линии.

7. Кабельную линию (z 50 Îì, l 50 êì) áåç ïî-	Ðèñ. Â18.12
терь, замкнутую на одну из цепей, изображенных

на рис. В18.8 (варианты 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12), подключают к источнику напряжения, вид которого показан на рис. В18.9. Рассчитайте и постройте зависимости u(x, t0), i(x, t0) для момента времени t0 1,5l/v после подключения источника (v — скорость распространения волн в линии, равна 2 105 êì/ñ).

8.(Р) В условии упр. 5 предыдущего параграфа вторая линия замкнута на одну из цепей, приведенных на рис. В18.8 (варианты 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12). Рассчитайте

зависимости: à) u1(t0, x), i1(t0, x) в первой линии для момента времени t0, когда отраженные от места соединения линий волны пройдут 2/3 ее длины; á) u2(t1, x), i2(t1, x) во второй линии для момента времени t1, когда отраженные от конца второй линий волны пройдут 1/3 ее длины.

9.Две линии без потерь подключают к конденсатору емкостью C, заряженному

до напряжения U0 (рис. В18.13). Сопротивления нагрузки линий равны их волновым сопротивлениям (z1 è z2, соответственно, для первой и второй линий), их длины равны l1 è l2. Найдите зависимости напряжения u1(t) на входе и u2(t), u3(t) на выходе линий.

Ðèñ. Â18.13
	Ðèñ. Â18.14

10. (Р) Ко входу линии без потерь длиной l и волновым сопротивлением z подключен источник ЭДС E const с внутренним сопротивлением r0. Найдите ток Iïð после замыкания ключа (рис. В18.14), принимая, что до замыкания клю- ча в линии существовал установившийся режим. Величины r0 è rïð приведены в таблице.

Вариант	à	á	â	ã	ä
r0	z/2	z	z	z	2z
rïð	z	z/2	z	2z	z